MéTHOuE DE DÉCOMPOSITION.— Pour effectuer la
décomposition d'une fraction rationnelle ^, S on déter-
minera la partie entière et les fractions qui correspondent aux facteurs réiels du premier degré du dénominateur, comme on l'a vu aux n^* 217 et suivants. Quant aux fractions qui correspondent aux facteurs réels du second degré, on pourra les déterminer successivement par le procédé même' qui nous a servi à démontrer le théorème I. On pourra aussi faire usage de la méthode des coefficients indéterminés.
Dans le cas où les racines imaginaires de l'équation
5o4 COURS d'algèbre supérieure.
f[x\=^ o sont toutes inégales, on peut déduire la nouvelle expression de la fraction rationnelle ' de celle
qui a été établie au n** 217. Soient, en effet h-^k yf^i et
h — A'V — i deux racines simples imaginaires et conjuguées de l'équation y(x) = o-, Texpression de la frac-
tion -= — i contiendra les deux termes suivants :
F(/i — ^y/HTj I
dont la somme a la forme
A -h B v^— I A — B id7
et peut en conséquence se réduire à une expression telle que
Px-4-Q
Px -+- 0 Il résulte de là que la fraction r. ,,, ^ , » où P et O dé-
^ [x — hy-hk* ^
signent des constantes réelles, pourra remplacer, dans Tex-
F (x) pression de-~ — ^ les deux fractions simples qui corres-
pondent aux racines h±k y — i •
Conditions pour que ^intégrale d'une différentielle
rationnelle soit algébrique,
228. L^une des applications les plus importantes de la théorie qui vient d'être exposée est l'intégration des diflférentielles rationnelles. Nous n'avons pointa nous occuper
SECTION II. CHAPITRE III. 5o5
ici des détails de cette intégration, et nous nous bornerons à donner les conditions pour qu'une difTérentielIe rationnelle ait une intégrale algébrique. Soit une différentielle rationnelle
et
a^b^, , ,^l étant des quantités réelles ou imaginaires ;. on mettra la fraction }, , sous la forme
F(-=P) .M/ V A A, Aa~i
B B, . . Bg,
(ar— ^)^ (x— 6)
[jn — l]^ {,T—lf-^
F(x) Pour avoir l'intégrale de ^V-^ dx^ il faut multiplier par
dx chaque terme de cette valeur de -t^—t» et intégrer tous
les résultats. Or, les seuls, parmi ces résultats, dont l'intégrale n'est pas algébrique sont ceux qui ont pour dénominateur la première puissance de l'un des binômes x — a, X — J, etc.
On a en effet, si o/ n'est pas égal à i ,
Adx A
constante,
(x— fl)« (a' — i){x--a)
et, si a' = I,
Afix
Alog(ar — a) -f- constante.
5o6 COURS D^LafeBKB SVPÉRIBITRB.
Donc, pour que -^r^ dx aît une intégrale algébrique, il
faut et il suffit que, dans le développement de -^r^ en
fractions simples, il n'y ait aucun terme dont le dénominateur soit du premier degré, c'est-à-dire que Ton ait
Cela exige d'abord que le polynômey(j:) ne contienne aucun facteur linéaire simple. Nous avons vu, au n® 221, qu'en posant
on a
-jf-^ dx soit algébrique sont
don
quelles que soient les quantités a, 6, . • . , c, réelles ou imaginaires.
Ces conditions sont en même nombre que les racines a, &,..., /; mais si le degré deF(x) est inférieur de deux unités au moins à celui de f(x)^ l'une déciles sera comprise dans les autres. Désignons, en effet, par mie degré de f{x)^ et supposons que F (a:) soit au plus da
degré m — a ; la partie entière E(a:) de -77— | sera nulle,
et si l'on réduit au même dénominateur toutes les fractions simples, pour les ajouter et recomposer la fraction
fY\> on voit, sans peine, que le numérateur de la frac-
SBCTIOM II. CHAPITRE III. 5oj
tîon ainsi obtenue contiendra or^"* avec le coeflScient
Ce coefficient doit être nul, puisque F(j:) est du de^é m — a au plus ; on a donc
et, par conséquent, Tune des conditions pour que
