Une série

ordonnée par rapport aux puissances entières et croissantes de la variable x, est dite récurrente, lorsque, pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite, le coefficient de x^ peut s'exprimer, quel que soit /i, par une même fonction linéaire des coefficients des puissances inférieures pris eiî nombre fixe. En d'autre termes, la série que nous considérons sera récurrente, si, pour toutes les valeurs de n qui surpassent une certaine limite, on a identiquement

5l8 COUHS D^LGàBRE supérievue.

m étant un entier quelconque, et «o, (Xf,.-., oL,n de» quantités constantes. La suite de ces quantités

est ce qu'on nomme V échelle de relation de la série récurrente.

Cela posé, nous établirons à l'égard de ces séries les deux propositions suivantes :

Th^or^e I. -*- Lorsguune séné ordonnée suiî^ant les puissances croissantes de la 'variable x est à la fois eon^ s^ergente et récurrente , elle a pour somme une fraction rationnelle.

En effet, soient (p [x] la somme de la série proposée

et

son échelle de relation, en sorte que Ton ait

pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite.

Posons

f{x) =: a.^*" 4- a,^'-'' 4- . , . -4- dm^yX 4- a«

et multiplions la série (i) par le polynôme y*(x). Chaque terme de ce multiplicateur donnera pour produit une série convergente, et la somme des m4- i séries qui répondent ainsi aux m -h i termes de f{x) sera évidemment une série convergente qui aura pour somme le produit o(x) f{x). Or, en ordonnant- cette dernière série suivant les puissances de x, on trouve que le coefficient de X" est précisément le premier membre de Tidentité (2), et comme ce premier membre €{&t nul, pour les

SBCTtON II. CHÀPITRB III. Sip

valeurs de n qui sarpassent une certaine limite, la série que nous considérons se réduit à un polynôme F [x) composé d'un nombre fini de termes ; on a' donc

d'où

ce qui démontre le théorème énoncé .

Théorème II. «^ Réciproquement , toutes les fois qnune fraction rationnelle peut se développer en une série conv^ergente ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable, cette série est récurrente»

Eji effet, supposons que la fraction rationnelle yj — •

soit développable en une série convergente, et que l'on ait

(0 -2rr-r = a^-haiX -4-«aX' 4-... -hAnX^-f-. . .,

pour certaines valeurs de la variable x. Soit aussi

(2) /(a:) = aoa-»-+-a,j:'"-'-4-. . . -h a«,a? -f- a«.

Le produit de la série (i) par le polynôme (2) est une série convergente qui a pour somme le produit

donc, pour toujtes les valeurs de n qui surpassent une certaine limite, le coefficient de x" dans le produit dont il s'agit doit se réduire à zéro. Or, ce coefficient a pour valeur

donc ou a

5ao cours d^algèbrb supérieure.

pour toutes les valeurs de n, à partir d'une certaine limite ; cette condition exprime que la série proposée est récurrente.

234. On peut obtenir de la manière suivante le développement d'une fraction rationnelle en série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de la variable.

Décomposons la fraction rationnelle donnée -ttÀ ^

fractions simples, et supposons que Ton ait trouvé

[a:^.ar

Pour résoudre la question que nous avons en vue, il suffit de développer en série, par la formule du binôme,

chacune des fractions simples

On a ainsi

-ou kix — a) ".

— flC

IH h-^ ■-^'^•" I

la 1.2 <4' I

et si pn désigne le coefficient de x" dans E (a:), le terme

général du développement de y —

T en série sera

^rpn+2("-o

Dans le cas particulier où les racines a, etc., de/(a:) = o sont toutes simples, on a « = ! et A = ' \; le lerme

SECTIOn II. — CBAPITIVE III. 521

général se réduit à

Ainsi la série récurrente dans laquelle se développe la

Y (je) fraction -jr—!. peut s'obtenir par l'addition de plusieurs

séries provenant des développements de diverses puissances négatives et entières des binômes a — x^b — x, etc. D'ailleurs ces séries sont convergentes pour toutes les valeurs de X dont le module est inférieur au plus petit des modules des quantités a, &, etc.; on peut donc énoncer la proposition suivante, qui est un cas particulier d^un théorème de Caucby relatif au développement des fonctions i

Théokeme. — Une série provenant du dév^eloppement

d!une fonction rationnelle est contrer gen te pour

toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x dont le module est inférieur au plus petit module des racines de Véquation J (x) = o.

Exemple. — Proposons-nous de former la série récurrente dans laquelle se développe la fonction

* ' I — 20? COSw 4- X*

OÙ P, Q et 0) désignent des constantes données.

Décomposant cette fraction en fractions simples et employant, comme nous Tavons déjà fait précédemment, la notation usuelle des exponentielles imaginaires, savoir,

<r— "V '=rrcosù>±\/ — 1 sinu,

on a

, ^.^y^V-» i—jc^-coV-

5aa couas d'algkbre supéribvee.

A et B étant des constantes qui ont respectivement pour valeurs

2sin

in 6)^ — I 2 sino) ^ — i

Développant en série chacune des parties de 9(x), on trouve

ou, en remplaçant A et B par leurs valeurs,

** 2sino)y — I

En remettant à la place des exponentielles imaginaires leurs valeurs, on a, toutes réductions faites,

P-f- Q.r -^ Psin(/z -4- i)w H- Qsin/iw

i — IX cosw 4- x^ ^^ sinw

Le terme général du développement est donc

/ sin (/i -f- i) w sin/?w\ \ smu sin» /

SECTION II. — CHAPITRE IV. 5a3