CHAPITRE IV

DES FONCnONS ALTERNÉES ET DES DÉTERMINANTS. APPLICATION A LA THÉORIE DES ÉQUATIONS.

Des fonctions alternées^

235. On nomme fonction alternée de plusieurs quanlilés, toute fonction qui change de signe, mais en conservant au signe près la même valeur, lorsqu^on échange deux quelconques de ces quantités entre elles. Nous ne nous occuperons ici que des fonctions alternées rationnelles.

Il résulte de la définition précédente que le carré d'une fonction alternée est une fonction symétrique.

Quand on échange plusieurs quantités entre elles, d'une manière quelconque, on dit que Von a exécuté sur ces quantités une substitution: la substitution qui a pour objet de remplacer deux quantités Tune par l'autre se nomme transposition. Nous reviendrons avec détails, dans la suite de cet ouvrage, sur ces importantes notions; pour le moment, il nous suffit de remarquer que route substitution, qui ne se réduit pas à une transposition, peut être exécutée par le moyeu de plusieurs transpositions successives. Car si, pas la substitution dont il s'agit, une certaine quantité a doit venir prendre la place occupée par la quantité b^ on pourra produire ce premier effet par la simple transposition des lettres a et &; la quantité a occupera ainsi la place qu'on veut lui assigner, et il restera à exécuter une certaine sul35tilution sur les qaan-

5q4 cours d'algèbre supérieure.

tités restantes. On peut appliquer à celle-ci le raisonnement que nous venons de faire et, en continuant ainsi, il est évident qu'on aura exéculé la substitution proposée au moyen de plusieurs transpositions.

Cela posé, soit V une fonction alternée. Une première transposition changera V en — V, une deuxième transposition reproduira la valeur primitive V, et ainsi de suite ^ on peut donc énoncer la proposition suivante :

Une substitution qui équii^aut à un nombre pair de transpositions ne change pas la valeur d* une fonction alternée V \ au contraire ^ toute substitution qui équivaut à un nombre impair de transpositions change V en — V.

336. II est facile de former Texpression générale des fonctions alternées de. m quantités

(i) tf, ^, c, r/, , . ., A-, L

Désignons, en effet, par P le produit des — dif-

férences

je dis que P est une fonction alternée. En eûet, soient a et o deux quelconques des quantités (i) dont nous écri^ rons la suite de cette manière,

la différence

fera partie des facteurs (2) qui composent le produit P;

SECTION II. --^ CHAPITRE iV. 5a5

écrivons ceux. des autres facteurs de P où la quaulité a ligure en regard des facteurs qui dépendent de S :

(a — fl),. . ., (a — ef).

(6 — fl),..., (6 — e»), (6-5^),..., (6-/0,

Les facteurs qui composent l'une quelconqlie des trois lignes de ce tableau peuvent être groupés deux à deux, de manière que le produit des différences d'un même groupe tel que

(« — «)(S — «) ou {g — a){^ — g) ou (y — a) (y — 6),

ne change pas quand on transpose a et ë ; d'ailleurs, par celle transposition, S — a se change en a — 6; donc aussi P se change en — P, et, en conséquence, le produit P est une fonction alternée.

Soit maintenant Y une fonclion rationnelle et alternée quelconque des quantités (i) ; le rapport

ne changera par aucune transposition; donc ce rapport est une fonction symétrique S et, par conséquent,