V = SP

On a ainsi cette proposition :

Théorème. — Tonte fonction rationnelle et alternée de m quantités est égale au produit d^ une Jonction .^-

métrique et des — différences obtenues en com^

binant deux à deux les m quantités données.

Si la fonclion aliernéeV est entière, la fonction symé-

5a6 COURS D'AL^a^ÉBKE SUPÉRIÊUHB.

trîque S sera aussi eniîère. En effet, V se changeanl en — V par la transposition des lettres a et i, il est évident que l'on a V = o, quand on pose b = a^ et, en conséquence, le polynôme V est divisible par la différence b — a ou. a — h. D^ailleurs, a et & désignent deux quelconques des quantités données, et il en résulte que Y est divisible par P.

237. D'après ce qui précède, l'étude des fonctions alternées est ramenée à celle de la fonction P.

Si l'on effectue le produit des différences (2) et qu'on opère la réduction des termes semblables, on aura la valeur de P sous la forme d'un polynôme homogène du

degré par rapport aux quantités û, 6,.... L m-

spection du tableau des différences (2) montre que, dans la partie de P multipliée par /'""S le coefficient de Z'""* s'obtient en i*ejetant la dernière ligne du tableau (2) et en faisant le produit des diflérences restantes; pareillement ^ dans la partie de ce coefficient qui est multipliée par A"*~*, le coefficient de À"*~* s'obtient en rejetant les deux dernières lignes du tableau (2) et en multipliant les autres différences; en continuant ainsi, on reconnaît que la fonction P renferme le terme

avec le coefficient -+-i. Nous donnerons à ce terme le nom de teime principal.

Cela posé, je dis que Ion a

^±a'^b'c'dK . .X^'-V'"-' .

Dans cette formule, le signe V embrasse les 1.2... m

termes qu'oQ peut former, par les substitutions, au moyen du terme principal. Celui-ci a le signe 4-, et chacun des termes qui suivent a le signe -f- ou le signe — suivant qu'il se déduit du terme principal par un nombre pair ou par un nombre impair de transpositions .> Pour justifier notre assertion, soit

un terme quelconque du second membre de la formule précédente, les exposants a, 6, 7,. ••5 ^ étant les nombres o, i, 2,..., (m — i) pris dans un certain ordre. La même fonction renfermera aussi le terme

qui se déduit du précédent par la transposition des lettres a et i^ ces deux termes ont d'ailleurs des signes contraires, car les substitutions au moyen desquelles on les déduit du term^ principal, équivalent l'une à un nombre pair, l'autre à un nombre impair de transpositions •, enfin la somme des deux mêmes termes est divisible par b — a. Il résulte de là que la fonction considérée est divisible par le produit des différences (a), c'est-à-dire divisible par la fonction P; en outre elle est du même degré que celle-ci et elle a avep cette fonction un terme commun, donc elle lui est égale.

On doit remarquer qu'au lieu d'exécuter les substitutions sur les lettres

on peut, si on le juge à propos, les faire porter sur Icâ exposants

o, I, 2,. . ., {ni — i).

3a8 COURS d'algèbbc supêribube.

Des déterminants.