partie Âo a^ du déterminant D on transpose les indices o

.et i^ on obtiendra les termes en a^ changés de signe, mais

53o COURS d'ai^bbhb sovérieobe.

les signes seront rétablis si l'on fait ensuite U transposition des indices o et m — i ; on a donc

^'jn— 1 1 ^m— I » • • • » ^m — I

et, en continuant ainsi, on voit facilement qu'on obtiendra, quel que soit fjt,

^/A-hl» V-+-»'***' ^'*-*-»

Att -,—

Il résulte de là que sachant former le déterminant relatif à (m — i)* quantités, ou saura former également le déterminant qui se rapporte à m' quantités.

Cot^me la fonction P change de signe quand on transpose deux des lettres £t, &,..., ou deux des exposants o, I, 3, • . . , il est évident que le second membre de la formule (2) changera également de signe si Ton transpose soit deux lettres, soit deux indices^ on a par conséquent cette proposition :

Un déterminant change de signe en conservant la même valeur absolue quand on échange entre elles soit deux lignes horizontales, soit deux colonnes verticales^

Et il eu résulte cette conséquence :

Un déterminant s'évanouit lorsque deux lignes horizontales ou deux colonnes verticales sont composées des

. SKCTION lU — CHAPITRE IT. 53 1

mêmes termes y ou lorsque les termes de Vune sont pro' portionnels aux tenues de Vautre* '

Ainsi la formule (4) donnera

O = Ao 60 H- A| ^1 -+- . . . -h km^x bm-i , O = Ao ^0 "i" Al Cl -4- . . . -f- Am^i Cm~~i y

O = Ao /o H- A, /i •+-...-!- Afl,, 4,-t •

239, Remarquons encore que les fonctions P et D deviendront identiques si l'on a, quel que soit fx,

d'où il résulte que la fonction

est égale à l'un ou à l'autre des déterminants

ly . . y Oy, , • y

I, a, 11%. . ., Il"-"'

1, by ô%. .., 6""'

D'ailleurs, si l'on pose

F(dF) = (j: — fl) (o: — *) (« — • c)* . .(« — 0>

on a

53a GOCJBS d'algèbre supÉniEunE.

et on couclut de là

240. Résolution db m équations, du premier degré k m INCONNUES. — Les formules du n? 238 donnent immédiatement la résolution d'un système d'équations du premier degré entre un pareil nombre d'inconnues. Car soient les m équations

flo « H- If^y -4- c« z H- . . . -h /« a = ,fg, fl, j? -4- 6,^ -h c, 3 4-. . .-h /i a =.ç,,

entre les m inconnues x, /, 2, . . . , ii. Conservons les notations du n^ 238, et ajoutons les équations proposées, après les avoir multipliées respectivement par les facteurs

A.Qy A{y A]}. . y Ajn — ly

on aura, par les formules (4) et (6) du n° 238,

UX zzz Ao 5o -+- Al 5| -4- ... -4- Aju^i Sa, — i, OU

Dj:=:X,

en désignant par X ce que devient le déterminant D quand on y remplace la lettre a par 5, en conservant l'indice. Si donc on représente par

les valeurs que prend D, quand on remplace par la lettre s chacune des lettres

sBCcessivement, les valeurs des inconnues seront repré-

senlées par les expressions suivantes :

dans lesquelles le dénominateur commun est précisément égal au déterminant D.

241. Il n'entre pas dans nos vues de présenter une élude complète des déterminants, et, pour ce qui regarde les détails de cette théorie, nous renverrons le lecteur au Mémoire de Jacobi publîé dans le tome XXII du Jour~ nal de Crelle, Mémoire dans lequel l'illustre géomètre a présenté une exposition d'ensemble qui ne laisse rien à désirer. Nous nous bornerons ici à établir les propositions qui sont indispensable^ pour l'objet que nous nous proposons.

Il convient, dans ce qui va suivre, de faire une légère modification aux notations dont nous avons fait usage jusqu'à présent. Au lieu d'introduire plusieurs lettres affectées d'un indice, pour représenter les quantités données, je n'emploierai désormais qu'une seulelettre affectée de deux indices.

D'après cela, un système de m* quantités données sera représenté par

^1,2» '•'j,2> • • • > ^lfl,2l

l'expression générale de ces quantités sera ainsi

^ij »

chacun des indices i etj pouvant prendre les m valeurs

534 coi3as d'algèbre supérieure.

et le déterminant sera

qnant au terme principal il sera toujours

et tous les autres s'en déduiront en conservant la série des premiers indices dans Tordre naturel, et en exécutant sur la série des seconds indices toutes les substitutions possibles. Chacun de ces termes sera d'ailleurs pris avec le signe 4- ou avec le signe ^-^ suivant que la substitution qui Va fourni équivaut à un nombre pair ou à uo nombre impair de transpositions.

D est évident qu'au lieu de faire porter les substitutions sur les seconds indices, on peut, si on le juge à propos, les exécuter sur les premiers indices.