On doit remarquer que si Ton a

fl/v = o j

pour toutes les valeurs de i inférieures à y. Je déterminant (a) se réduit à son terme principal. En effet, quelles que soient les quantités (i), on a (n^ 238)

~+" fla^t x.~ ^4/' ^»,3»»* ^«,«—2 Oi,m>—i Oi,m "♦-••• 5

dans notre hypothèse, les déterminants partiels de cette expression s'évanouissent tous à Texception du premier, car chacun des termes dont ils sont formés renferme an facteur égal à zéro. On a donc

D = fl,j ^db «2,2^3,3» •• ^«^f *

SBCTIOR ti. — ca&¥nriic vr. S3S

par le m«me raisonnement, on troaT«ra

X^-^ ^ifi— 1,1»— I ^m,m ^^= û/n— i.jw— 1 ^m,«>

et on a, par conséquent,

243. Soient D le détermioant de m} quantités aij et D' ce qu'il devient quand on donne à chaque élément ai^^ rdccroissement a/,^; il est facile de trouver Texpression de D' ordonnée par rapport aux accroissements a.

Le déterminant D étant une fonction linéaire et homogène des quantités

si Ton donne k ces quantités les accroissements respectifs

D deviendra

en désignant par Di ce que devient D quand on y remplace les quantités (i) par les quantités (2).

Si, dans cette dernière expression, on donne aux quan^ tités

les accroissements

et que l'on désigne par Df et Dt,s ce que deviennent ÏX et Di par la substitution des quantités (4) aux quantités (3), on obtiendra pour résultat

536 coii&s d'algèbre supéaieure.

en poursuivant cette série de substitutions, on parviendra à Texpression de D' qui sera évidemment

D' = D -h S, -h Sa* -h ...-*- S,„;

dans cette formule S désigne généraleaient la somme

j m{m — i). . Jm — fA-Hi) j/ . i» i

des — ^— ' — - déterminants que 1 on ob-

tient, quand on remplace la lettre a par a dans fx lignes horizontales du déterminant D.

Nous pouvons tirer de ce résultat une conséquence qui nous sera utile. Si les quantités a.j sont telles que

soient proportionnelles à

pour toutes les valeurs des indices f* et v, chacun des déterminants contenus dans les sommes Ss, S3,..., S„ s'évanouira ; car dans chacun d'eux, deux lignes horizontales seront formées de quantités proportionnelles. La formule précédente se réduira donc à

ou à

Di, Dt,. • . , D,„ étant les valeurs que prend D quand on remplace a par a dans chacune des lignes horizontales successivement.

244>. Nous compléterons ces notions sur les déterminants en démontrant un théorème qu'on doit regarder comme fondamental et auquel Bînet et Cauchy sont parvenus l'un et l'autre, en généralisant des résultats obtenus précédemment par Lagrange et par Gauss.

SECTfOir n. — CHAPITRE IV. 53^

Théorème. — Étant donnés deux systèmes de nin quantités y sai^oir:

^l,m9 ^i,iny • • • 5 ^n,my

posons

et formons le déterminant de m* quantités j sai^oir :

Cm,k Cm, 2

^«,fll>

Cm, m

Si m est supérieur à n^ on aura

Si m est égal à n, et que Von désigne par A e^ B les déterminants formés ai^ec les quantités [a) et (i) respectii^ementy on aura