C=:AB

Enfin y si m est infé/,ieur à n^ que Von désigne par A le déterminant formé en prenant m colonnes verticales du tableau (à), par B le déterminant formé av^ec les colonnes correspondantes du tableau (6), de manière que B se déduise de A par la transposition des lettres a et b, on aura •

le signe ^ embrassant autant de produits AB que Von

peut former de combinaisons as^ec n choses prises m o m\

!>38 COURS d'algbbre sopérisueb.

En eifety si Ton représente, pour abréger, par

la iraleur de c,-,i, le terme principal du déterminant C sera

chacun des m nombres A, fx, y,. . . devant recevoir les valeurs i , a, • . . , n ^ on peut écrire aussi

Cela posé, pour avoir le déterminant G, il faut ajouter à ce terme principal, avec un signe convenable, tous ceux qu on en déduit quand on échange entre eux, de toutes les manières possibles, les seconds indices des lettres c, en laissant invariables les premiers indices. D'ailleurs, par ces substitutions, les deux indices de chaque lettre a restent invariables dans l'expression de C/^^ , et les seconds indices des lettres b changent seuls. On a donc^ par k formule précédente.

ou.

en posant

Dans cette dernière formule les m indices i, fx, v,... sont invariables, et comme chacun d'eux doit avoir l'une des n valeurs i, a, . . . , /i, on voit que si m est supérieur à «, deux au moi ils des indices A, ft, v, . . . seront égaax

SECTION II. — CHAPITRE IV. SSp

entre eux ] il y aura donc deux colonnes verticales identiques dans le déterminant i& et Ton aura ifi» = o, d^où

Si Ton a m = 71, le déterminant i)l> sera encore nul, à moins qu'on ne prenne pour la suite

celle des m nombres

dans ce cas, soit s le nombre des transpositions qu'il faut effectuer dans cette dernière suite pour la faire coïncider avec la précédente, on aura évidemment

aft, = (— i)'B, et, par suite,

Or il est évident que la somme contenue dans le second membre de cette formule est égal au déterminant A des quantités (a); donc