AB

On a donc

le signe ^ embrassant tous les produits AB qui répondent aux — systèmes de valeurs que

Ton peut attribuer aux indices X, fx, v, . . .

Remarque. Si, au lieu de définir les quantités c^-^t comme nous Tavons fait, on pose

le déterminant des n^ quantités Ci^^ est égal à zéro quand m est inférieur à n. Lorsqu'on a m = «, ce déterminant est égal au produit des déterminants formés, Tun avec les quantités a, l'autre avec les quantités b. Enfin, lorsque m est ^ 72, le déterminant des quantités C/^j est égal à la somme des produits obtenus en multipliant le déterminant formé avec n lignes horizontales quelconques du tableau (a) par celui qui est composé des lignes correspondantes du tableau [b).

Effectivement, on fera rentrer cet énoncé dans celui du théorème que nous venons d'établir, si l'on dispose les tableaux (a) et (b) de manière que les lignes horizontales deviennent les colonnes verticales, et qu'on change les lettres m et n l'une dans l'autre.

Corollaire. — Soient mn quantités ai^i, Vindice i

variant de \ à n et V indice k de i à m. Si Von a m<^ou:=:: n et que Von fasse

le déterminant des quantités c sera égala la somme des carrés de tous les déterminants que Von peut former avec m} quantités a composant m colonnes verticales du tableau formé av^ec les quantités a, cest^à-dire que Von aura

I «r^',2.. '^r^'^Km ] »

le signe S se rapportant à toutes les combinaisons r', r",..., r^'"^ des nombres i, 2,..,, n, pris m à m.

Pour démontrer ce corollaire, il suffit de remarquer que les déterminants représentés par Â et B dans le tbéorème précédent deviennent ici égaux entre eux.

2i5. Le théorème que nous venons d'élablir conduit à de nombreuses conséquences dont on verra le développement dans ce qui va suivre. Mais nous ne pouvons nous dispenser ici de remarquer qu'on en déduit immédiatement ce- théorème d'Euler.

Théorème. — Le produit de deux sommes de quatre carrés est lui-même la somme de quatre carrés.

On a, en effet, d'après le théorème du n^ 244,

Cette égalité ayant lieu identiquement, soient

fl, h, Cy dy

543 COURS D*AI.QÈBRE SUPÉRIBURB.

huit quantités quelconques, et posons

flt.î = H- fl ~ ^ ^— I , ^,., = -^/j — g V^— ^» fli,! = -f- r -h d\l—i , '^,,j = -h r 4- 5 v^— I, «».! = — c -4- r/^— I , A,,, =r — r + ^ y'— i ,

notre identité deviendra

( /i' -h ^^ -4- C -4- //') {/>' -4- ç» -4- r» -h s^) = {ap — ùq -^ cr — dsy -t- {aq -^ bp — es — dry -h («r — bs — c/î -4- dqY -h [as -h br -h cq -\- dpY,

ce qui démontre le ihéorème énoncé.

II convient de remarquer que Tégalîté précédente peut être écrite de plusieurs manières différentes, car on a le droit de changer le signe de Tune quelconque des huit quantités a, 6, c, //, p^ q^ r, 5.

Des fonctions entières et homogènes du deuxième

degré,

246. Nous avons fait connaître au n^ 192 une pro« priété importante des fonctions homogènes du deuxième degré 5 cette propriété et les notions que nous venons de présenter forment la base sur laquelle repose l'analyse que nous nous proposons de développer ici. On recounaitra toute l'importance de cette analyse, en étudiant les conséquences que Ton en tire pour la théorie des équations.

Soit/ une fonction entière et homogène du deuxième degré des m variables

Nous représenterons indifféremment par a/i^^y ou 2û,y le coefficient du produit des deux variables distinctes Xi^ Xj\

S£CTI01i II. — CHAPITRE IV. 543

C|uant au coefficient du carré de Tune des variables jc„ nous le désignerons par û;^,-. D'après cette notation, l'expression de y sera

avec la condition

Ainsi, dans le cas de deux variables, on aura

Désignons par m nouvelles variables, et posons

Xj == ai, 2 Xi -4- a3,2 Xj -f- . . . -h (im,i Xfl,,

«^fli — Of|,mXi -f- iX2,m^2 H" • • • ~T- (X,if,^inA.m9

les quantités a^,,- étant des constantes arbitraires. Si Ton substitue ces valeurs dans l'expression (i) dcf, celle-ci se changera en une fonction F des nouvelles variables, qu'on peut représenter par la formule

(3) F ==2 2^'VX./Xy;

les coefficients Aiy sont des fonctions entières des coefficients Oi^j iefei des coefficients «,-,,• ; on a, en outre,

Ay,, -in: A/,y .

544 COURS d'algèbre supéribdre,

Le déterminant

ût|,fli» «s.my* • •» *«,

sera dit le de terminant de la^ substitution linéaire (2). ' Si ce déterminant n'est pas nul^ on pourra résoudre les équations (a) par rapport aux variables X qui seront ainsi des fonctions linéaires des variables x. Alors chacune des formules (i) et (3) pourra se déduire de l'autre par le moyen d'une substitution linéaire.

247. Nous avons démontré au n^ 192 que la fonction/ peut être exprimée par une somme de carrés de fonctions linéaires, et que, dans le cas général, le nombre de ces carrés est égal au nombre m des variables. Cette décomposition de la fonction f en carrés peut se faire de plusieurs manières différentes ; cela résulte évidemment du procédé dont nous avons fait usage pour l'effectuer, et on le reconnaît immédiatement aussi, quand on emploie, pour le même objet, la méthode des coefficients indéterminés. Effectivement, si Ton pose

que l'on effectue les opérations indiquées dans le second membre, et qu'on égale entre eux de part et d'autre les coefficients des termes semblables, on formera seulement

— i- équations de condition, tandis que le nombre

des indéterminées A; „ est égal à m*.

Considérons l'un quelconque des systèmes de valeurs

5BCTION II. *- CHAPITRE lir« 5^5

des indéterminées A;^^ telles, que l'équation (i) ait lieu identiquement. Posons

Xi — A|,i .r, -+- Aj,! J?2 -f- . . . H- Afl,,i x^j X2 ^= Aj,j Xj -f- A 2^2 Xj -+• . . . -f- Ag|,2 .r^n,

Xgi::^ At,|R.t:| -f- As^Hj-rj -f- . . . -f- Ant^m^mi

on aura

/=:XJ-4-X;-4-... + Xi> Si le déterminant

Ai,2j As,} 9* •) A/n^j

Ai,OTj A:t^j|iy • . . , A

«i«fii

n'est pas nul, on pourra tirer des équations (2) des yaleurs déterminées des variables x^ savoir :

*2,a Xj

• • • • *m, i Xfli f

^l.wXj + OCj.inXs H- . . . + fiSm«mXm9

et, en conséquence, la réduction de la fonction f à une somme de carrés pourra être réalisée par le moyen de la substitution linéaire (3); il importe d*examiner ce cas avec attention.

La dérivée -7— de la fonction

dan

par rapport à x^ est égale à la somme des dérivées de ses termes •, or la dérivée de a,-^y Xi Xj par rapport à Xi est nulle â moins que l'on n'ait i=: h ou j =^k\ dans le premier I. 35

S'4ff COimS D*ALGfeBftB SVPÊKIEUliB»

aas, la dérivée est ^i,/*r,> elle est ai^iXidéxiB le second cas; enfin, sî i:^j = k^ cette dérivée est 2ai^Xi ou «*,i'^* -H «i,* -3:4 , d'où il suit que l'on a

i=r Al

Si Ton multiplie par 1X1 cette équation (4)9 qu^on donne ensuite a A' les valeurs i, 2,. . ., m, et qu'on ajoute tous, les résultats, on obtiendra la formule

qui exprime, dans un cas particulier, une propriété des fonctions homogènes.

Comme on a aussi, par hypothèse,

il viendra, en prenant les dérivées des deux membres par rapport à X}, et divisant par 2,

La comparaison des formules (4) et (6) donne c'est-à-dire

«/,4 = A/,i Ai,i 4- A/,a A*,2 H- . . • -f- A,',m Ai,« ,

SKCTIO» II. -^ CHÀPIXRB lY* $4/

pour loutes les valeurs des indices i et A. Si donc ou pose.

on aura (n° 244, Remarque)

Il récite de là que le déterminant do la substitution (a) ne peut être nul que dans le cas où Ton a A = o^

Ce déterminant A, formé avec les coefficients des fonc-> tions linéaires

joue un rôle considérable dans la tbéorie qui nous occupe. M. Sylvester lui a donné le nom iHinyarianl qui est adopté aujourd'hui par les géomètres.

D'après cela, nous pouvons énoncer la proposition suivante :

«Si V invariant (V une fonction homogène du deuxième degré nest pas nul, toute réduction de la fonction à une somme de carrés pourra être obtenue par h moyen d'une substitution linéaire.

248. La dénomination d'invariant, donnée au déterminant A, se trouve justifiée par la proposition suivante ;

TflÉoaBME. T— Lorsqucy dans une fonction entière et homogène du deuxième degré, on substitue aux m variables des fonctions linéaires de m nouvelles variables, Vinvariant de la transformée est égal à V invariant do la proposée, multiplié par le carré du déterminant de la.

548 ceOUS D*ltGàBftE sotékieueii.

substitution. En sorte ^ue si ce dernier déterminant est égal à I, Vini^ariant n'est pas altéré par la substitution,

'En effet, la fonction proposée y* pouvant, dans tous ks cas, être réduite à une somme de carrés, posons

(l) /=]^ (<^i,*-»?iH-<-j.*'iH-. . H-f«.*^-i;%

et considérons la substitution définie par la formule

où fA doit recevoir toutes les valeurs i, 2, . . . , m. Si Ton exécute cette substitution, f se changera en une fonction F, telle que

k=zm

(3) F =2 (C.,*X» -f- CmX, -+-. . . -+- C„,itX.)%

et on aura évidemment

pour toutes les valeurs de i et de A, ce qui montre que le déterminant des quantités Q-^jt <^t égal aU déterminant des Ci^i, multiplié par celui des oti^i. Mais si Ton nomme i& Finvariant de/*, A' celui de F, et D le déterminant de la substitution (2), les déterminants des quantités Q^jt» ^i,i ^^ ront respectivement égaux (n^ 247) à ^A', ^; donc on a ^=sfK. D'où

A'zzzAD*,

ee qui démontre la proposition énoncée^

De la fonction adjointe.

249. C^est ici roccasion de présenter la notion de la fonction adjointe que Gauss a le premier introduite dans l'analyse.

Reprenons la fonction homogène du deuxième degré

OÙ Ton suppose Pos ons

^1, 1 ^1 ■+" ^t, I ■îîa -h . . . -h fljn, i ^« — Xi j

"i,» *l ~^~ ^a,»*^! ~^"» • «"H ^m,3^m ^^^ Xj^ .)

l <'i,jii«*i -I- ^i,m^i H- ... -h ««!,»,*«, = X»,

et rappelons que Ton a

(5) /r=X,Jr, -^X,J?l -4-. . .-f-X»,x„=2x,x,-.

Nous nous proposons de résoudre les équations (3) ou (4) par rapport aux variables x et de trouver la fonction F dans laquelle se change/*, lorsqu'on y remplace les variables x par leurs valeurs en fonction des nouvelles variables X.

Si Ton résout les équations (4) par rapport aux variables X, le dénominateur commun des expressions que

Ton obtiendra sera précisément Pin variant A de la fonction f. Mais JQ supposerai que Ton calcule A sans faire les riduciions auxquelles donnent lieu les équations de condition exprimées par la formule (2), et que l'on opère comme si les coefficients a«*,y étaient des indéterminées n*ayaut entre elles aucune dépendance. Qn aura alors, pour Pinçon nue jr«-, la valeur suivante :

en représentant par

la dérivée partielle de A prise, par rapport à a^^;, dans rhypothèse où les quantités a sont indépendantes.

La fonction cherchée F est égale à la valeur que prend le second. membre de la formule (5) quand on substitue aux variables x les valeurs tirées de la formule (6) ; on a donc

Il est permis, a cause des relations (a), de transposer les deux indices de chaque lettre a dans les équations (4)) cti en- faisant cette transposition, ou aura, au lieu de la formule (6),

•SEGHOEf II. — CHAPÏTRE IV;- 55^

La comparaison de cette Valeur de Xi avec cellf déjà trouvée montre que Ton a »

«n v^rtudeé relations (6) *, alors la formule (7) doune

2 ^X/ A 2à \dajjj ^*' et, en conséquence, les formules (6) se réduisent à

Désifirnons maintenant par -; — la dérivée de A prisé

par rapport à Oj^i en ayant égard aux relations (2). On aura, à cause de la formule (8), si 1 et ; sont inégaux,

da et, si j = I,

flfa;,; \''/«,-,,7 '

la formule (7) peut alors être écrite de la manière suivante: , ,

.-+-. , X| Xj 1 ■ XiXj'i .. 1 ' ■ ■ Xfle-

55 a covfts D^ALotemB sirpimisnitB.

Le produit AF de la fonction F par Tinvariant A est ce que Gauss a nommé la fonction adjointe de la fonction /•

Soit £i' Tinvariant de F ; comme la fonction ^se déduit de F, en exécutant dans celle-ci la substitution (3), dont le déterminant est A, on a (n^ 248) A = A' A', et, par conséquent,

il résulte de là que Tinvariant de la fonction adjointe AF est égal à A"*""*.

250. Pour trouver la fonction F, on peut suivre une autre marche que nous devons indiquer, parce qu'elle nous conduira a une conséquence importante» Il est évident qu'on atteindra le but proposé, en éliminant les m variables x entre les m équations (4), savoir :

2 tiXi

- — = Xy ou 2^ Oi jXi =: Xy,

et Féquation

(la) F = X,^, -^Xj-r, -I-. . . -4- X« .Ta, =r= ^X^ n»

Pour faire cette élimination, multiplions les équations (4) par Téquation (i^), nous obtiendrons m équations qui se déduiront de la suivante :

(i3) ^(Fa,j-XiXj}x,= o

«n donnant à / les valeurs i , 2 , . . . , m. Les m équa* tions (i3) sont homogènes par rapport aux variables Xf

Mcvtoj* II; — <aii9iTftE nr.< SS3

donc, pour éliminer ces variables, il suffit d'égaler à sero le déterminant des m* quantités

(l4) F«,,y-X,Xy.

Ce déterminant peut se conclure très-facilement de celui des quantités Fa,,,-, lequel est égal à F"* A. En effet, l'indice y étant le même pour tous les termes d'une même

ligne horizontale, il est évident que deux lignes quelconques du déterminant X,Xy sont formées de quantités proportionnelles ; dès lors, d'après ce qui a été établi au 11*^243, le déterminant des quantités (i4) s'obtiendra en retranchant du déterminant des quantités Fa,-^y chacun de ceux qu'on en déduit quand on y remplace successivement chaque ligne horizontale par la ligne horizontale correspondante du déterminant des quantités X/ X,-. Or, en conservant les notations dont nous avons déjà fait usage, on a

et si l'on remplace par

JL| Xy, Xj Xy, • • • , Xgi Xy,

on obtiendra pour résultat

donc, pour avoir le déterminant des quantités (14)9 îl suffit de faire la somme des valeurs que prend l'expression (i5) quand on donne à j les valeurs 1, 2, . . . , m, et de' retrancher ensuite cette somme de F"' A. Si enfin on égale à zéro la différence obtenue et qu'on suj^rime le facteur F'"~\ on aura une équation qui donnera précisé-

SS4 covas d'aloébre svpA«isc«s.

ment pour F la valeur [y ) trouvée plus haut et de laquelle

nous avons conclu Texpression définitive (to).

251. Voici maîmenant la conséquence que Ton tire de la méthode précédente. Si Ton pose

? = F/— (X, J?, -4- X, JP, -f- . . . -+- Xm^mY,

les équations (i 3) seront évidemment

d'où îl résulte que le déterminant des quantités (i4) n'est autre chose que Tîn variant CD de (p considérée comme fonction des variables x^^ j:,,. . ., ar,„. Cela étant, considérons la substitution quelconque

(l6) (^^i = OLi^%x^ -t-a.i,,Xj -t-- . .-h ««,2 J^m ,

dont nous désignerons le déterminant par d. Par cette substitution, fse changera en une fonctiony^^^ que nous représenterons par

iz=.m j =zm ...

et si l'on pose, en outre,

X^ = a,, , X| -4- ai^jX2 -4- • . . + ai,jiiXai,

/jgj < ^» = «a, I X| -f- a2,2Xï H~. . .-f- aa,«X«,,

X«i ^^ f^m,i X I H- a»i^j X j -+-.•. .4- 3/ii,ii< X»i ,

SBCmOlî II. -^ CHAPITRE IV. 555

la fonction.^ se changera en une fonction f^^^ ayant pour valeur

et dont Tinvariant sera égal à (E)5'. L'équation

qui peut servir pour calculer F, s'obtiendra donc en égalant à zéro rîttvariantde cp ou de Y^^ à volonté.

En employant successivement ces deut invariants, on conclura deux valeurs de F qui devront être identiques, et il en résulte ce théorème :

La Jonction F reste invariable, quand on y remplacé les coefficie^nts a^^j par .a^^U poiuvu qu'au lieu des variailesX^on mette en même temps

Supposons que la substitution (16) soit choisie de manière à réduire y à une somme de carrés -, Téquation (17) prendra la forme

(^9) y^'^^Si-^, "+-£3*3 +... + ««.2"^ ■

tl est évident que Finirariant de f^^^ est égal au produit

616,.. •£,„ eton a (n°247)

(ao) , «, I,. . .g„r^A^,

ce qui montre que, si l'invariant A est différent de zéro ainsi que le déterminant de la substitution (16), aucune des quantités e ne pourra être nulle. On tire de l'équation (19)

^(•) « 'f/^*^ ^ f.) ,.(•) I fi/jo) " lé) ■

5S6 COVmS d'ALGÊBRB SDPÉfttBURB.

et en Substituant, dans là même équation (19), les valeurs de xj » Tj ? • • •> tirées de ces formules, il vient

Cela étant, pour avoir la fonction F, il suffit, d'après ce qui précède, de substituer à X| 5 X^* > • • • i dans la formule précédente, les valeurs tirées des équations (18). On aura donc, en se servant de la formule ( ao) et en couservant les variables X^^^ qui sont des fonctions linéaire» des variables X,

(ai) AF=:fa«3. . .f„ -|- -h. . .-h B.ej. . .f«K-i -»- •

Supposons maintenant que Finvariant A soit nul; d'après la formule (ao), Tune au moins des quantités e sera nulle^ et par conséquent tou» les termes du second membre de la formule (ai) disparaîtront à rexception d'un seul. On peut conclure de là cette proposition :

Théorème. — Si V invariant A d'une fonction ho^ mogène du deuxième degré est nul, la fonction adjointe A F est un carré parfait,

252. Exemples. — Considérons en premier lieu la fonction homogène

des deux variables x et y. On aura

. 1 dx 2 elx

/^Xx-i-Yy;

mS/tTlÙU tu — CHÀPITEE IT«

l'invariant A a ici pour valear