THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES

Définition des fractions continues.

1 . Désignons par x une quantité positive, rationnelle ou irrationnelle, et posons

Il I

a, Uiy as,... étant les plus grands entiers qui soient contenus dans a:, oTi, arj,. . . respectivement. Le premier de ces nombres a peut être nul, mais chacun des suivants est au moins égal ai.

Si la quantité x est rationnelle, l'un des nombres de la suite Xy Xu x^y. • . sera entier, et il terminera la suite, car le nombre suivant serait Tinfini, d'après la loi de formation. Pour justifier cette assertion, supposons que Ton

ait

A et Al étant des entiers premiers entre eux. Soient A^, As, . . . , A„, I les restes successifs auxquels conduit la recherche du plus grand commun diviseur des nombres A et Al, et a, ai,. . ., a„.i les quotients fournis par cette opération; on aura

Azz: Aitf -+- Aj, Ai^rAjûTi -4- Aa, . . . , A,^i =: A„ ^«i -f- 1 ,

d'où, par la définition des nombres Xi^ x^, . . . ,

x=a-+'--'% X, = a, -f- 7-?'*'9 Xfl^i = a,^i + •— 1 x„=:A„.

A| Aj An

Mais si la quaniitë x est irrationnelle, aucun terme de la suite x, Xi, x^, . . , ne sera entier ni même rationnel, et Ton pourra en conséquence prolonger cett9 suite indéfiniment. En eflFet, si quelqu'un des nombres x^ x^^ Xj , . • . est rationnel^ il est évident que tous ceuic qui le précèdent le sont aussi.

Si l'on élimine les quantités Xi^ x^y . . , , Xn^x entre les n premières des égalités (i). la valeur de x prendra la forme

âr,

lorsque x est un nombre rationnel, il existe, comme on vient de le voir, une valeur de n pour laquelle x„ est oo ;

on peut alors supprimer la fraction — dans l'expression

précédente. Il n'en est plus ainsi lorsque a: est une quantité irrationnelle, mais il sera démontré qu'après la suppression de la fraction — j le second membre delà formule (a)

converge vers la valeur de x quand on fait croître le nombre n indéfiniment.

Nous sommes ainsi conduits à étudier les expressions de la forme

ftx

Cln

OÙ a, a^, A]^. . . désignent des entiers positifs dont le

nombre est limité ou illimité, et parmi lesquels le premier seulement peut être zéro. On donne à ces expressions le nom Ae fractions continues.

Lorsqu'on réduit ainsi une quantité x en fraction continue, on donne le nom de quotients complets aux quantités X, Xi^ x%y • . dont les valeurs sont fournies par les formules (i) ; les entiers a^ a^^^ a^y . , , contenus respectivement dans les quotients complets sont dits quotients incomplets. Enfin on nomme ymc//o/i^ com^ergentes ou réduites les valeurs que Ton obtient quand on arrête la fraction continue à un quotient incomplet quelconque. Ainsi, dans la fraction continue (3), a est la première

réduite, a -| est la deuxième, a H est la

troisième, et ainsi de suite. t>f.^f^t^i^>^^^ Uj.

On considère, dans certaines questions d'analyse mathématique, des fractions continues plus générales que celles dont il vient d'être question et qui ont la forme

a, Aj, a^y . , . y ai, fft , . . . y étant des quantités quelconques. Mais ces expressions nouvelles ne sont d'aucune utilité pour l'objet que nous avons en vu«, et il n'en sera point question dans ce qui va suivre.

De la formation des réduites.