La première des formules (i) donne
,,. fla:, -4-1.
(4) ^=-ir-'
lO GOUR9 d'algèbre SUPÉRIEURE.
et si 1 on remplace Xi par la valeur -î— ^ • tirée de la
deuxième formule, il vient
(5) ^{aa,^\)x,'ha^
on peut de même remplacer le quotient complet x^ par sa valeur tirée de la troisième formule (i), et ainsi de suite. En général, la valeur de jr, exprimée par le moyen du quotient complet x„i , aura la forme
(O) Jîzz:— ,
Qa— ï ^m^\ -i~ Q»— 2
P/x-15 Qn-1 ? P#»-8î Qn-i étant des nombres entiers. En effet, on vient de voir qu'il en est ainsi lorsque n — i. est égal ai ou à 2 ; et en conséquence, pour justifier notre assertion, il suffit de constater que si elle s'applique au quotient x^^^ , elle subsiste aussi pour le quotient j:„. Or, en remplaçant, dans la formule (6), x„i par sa valeur
^/»-i H OU 9 il vient
J'n vCn
(Pn, fl^i -f- Pn.,,) Xn-^ ?„. ^
notre proposition est donc établie. On voit en outre que, si l'on pose
(7) P„ =: P;^, «;^. -+- P«__, , Q„=:Q«-l«*-i-4-Qn-2,
l'expression précédente de x prendra la forme
et celle-ci se déduit de l'expression (6) par le changement de « en /z -f- 1 .
Pour avoir la réduite de rang «, il est évident qu'il suffit de remplacer, dans la formule (6), le quotient com-
plet Xn^i par le quotient incomplet correspondant a„i ; on voit alors, par les formules ( 7) , que cette réduite a pour
valeur -^« Au reste, il faut remarquer qu'on peut lob-
tenir aussi en remplaçant x^ par 00 dans la formule (8). Les formules (7) peuvent donc être employées pour calculer le numérateur et le dénominateur des réduites successives, et on peut énoncer à ce sujet la proposition suivante :
Le numérateur de la réduite de rang n est égal au produit du numérateur de la réduite de rang n — i par le n""** quotient incomplet^ augmenté du numérateur de la réduite de rang n — 2. Et de même le dénominateur de la 71**"** réduite est égal au produit du dénominateur de la réduite de rang n — i par le n'^"^ quotient incomplet, augmenté du dénominateur de la réduite de rang n — 2.
L^ application de cette règle exige que les deux premières réduites aient été formées; on a, par les formules (4) et (5),
Pa=:ûra,-4- I, Qj — a,;
mais si Ton pose
les formules (7) seront vérifiées pour n = 2 ; d'où il ré-
p suite que Ton fera rentrer la deuxième réduite -^ dans
la règle générale, en introduisant la réduite fictive -^^ = -
que l'on peut regarder comme occupant le premier rang dans la suite des réduites ; c'est ainsi que nous procéderons
désormais, et, en conséquence, ~ représenlera la réduite
de rang n -h i. Au moyen de cette convention, on peut
disposer comme il suit le calcul nécessaire pour la forma* tion des réduites:
as
flfl, -h I
Les quotients incomplets a, ai, at, a, , . . . sont écrits sur une première ligne horizontale. Au-dessous des deux premiers quotients a et a^, on place les deux premières
réduites -? -: on forme ensuite chacune des réduites suio 1
vantes, en opérant conformément à la règle, et on écrit
le résultat au-dessous du quotient qui lui correspond.
Propriétés des réduites.
3. Théorème I. — Les réduites étant supposées formées diaprés la règle précédente^ et -~ désignant gé-
néralement la réduite de rang n -h i, on a
En effet, soit a„i le /i'*"*' quotient incomplet, on aura
P» ^^^= Pu— l ^B— i ~l" Pn— 2 } Q« ^^^ Qn— t Û^B^I ~l" Qj»— 2 9
si Ion ajoute ces égalités après avoir multiplié la première par Q„i et la Seconde par — P„i , il viendra
(P« Q«-i — Q« P«-.) = — (P,^i Qr^.— Q»-i P»-2),
ce qui montre que la quantité
a la même valeur, quel que soit n ; mais cette quantité
SECTION 1. CHAPITRE I. l3
est égale à i quand « = i , car Qo = o et Qt =r ?<> = i ; donc elle est égale à i, quel que soit n.
Corollaire I. — Les nombres P„ et Q„ sont premiers entre eux, et en conséquence la fraction ~ est irréduc^
Qn
tible»
L'égalité qu'on vient d'établir prouve effectivement que les nombres P„ et Q„ ne peuvent avoir aucun diviseur commun autre que l'unité. C'est en raison de cette propriété que l'on a donné le nom de réduites aux frac-
lions—»
Corollaire II. — La différence entre deux réduites consécutives est égale à une fraction quia pour numérateur V unité ^ et pour dénominateur le produit des dénominateurs des deux réduites.
En effet, si l'on divise par le produit Q„Q„i l'égalité qui fait l'objet du précédent théorème, il vient
Q« Q«^i Qn Q«-.
4. Théorème IL — Si ('on réduit une quantité quel^ conque x en fraction continue et que Von forme les réduites successii^es, la valeur de x sera toujours comprise entre deux réduites consécutis^es et chaque réduite approchera plus de X que la réduite précédente,
p En effet, ~ étant la réduite de rang n -h i , et Xn le quo-
tient complet correspondant, on a
P« ^H ~i~ Pn— I xz=: ^ •
Q» Xn + Q/i-l
i4 COURS d'algèbre supérieure.
Si Ton résout celte équation par rapport à j:„, on trouve
jr =:: » (1 ou ■ Xn = ^^-^ •
P,-Q.ar " Q,, " P.
Cette formule montre : i° que les diiTérences x — rr^
et r-^ — jc sont de même signe, d'où il résulte que x est
comprise entre —^ et -~ •, 2** que la valeur absolue de la
seconde différence est moindre que la valeur absolue de
la première, car les quantités ^-- et x^^ dont le produit
forme le premier membre de la formule précédente, sont Tune et Tautre supérieures à Tunité.
5. Théorème III. — Si Von réduit une quantité quel^ conque x en fraction continue^ la différence entre une réduite quelconque et la valeur de x sera moindre qiiune fraction ayant pour numérateur V unité et pour dénomi-nateur le produit des dénominateurs de la réduite consi^ dérée et de la réduite sui^ante^
En effet, d'après le théorème U, x est comprise entre
les deux réduites — ^ et ~ ; par conséquent, la différence
entre x et rr^ est moindre que la différence entre r^
et 7~^î mais, d'après le théorème I (corollaire II), cette
dernière différence est égale à ^ — ^5 si donc on désigne
par 6 une quantité comprise entre o et Tunité, on pourra
écrire
Q«-l ' ' Qn^lQn
SECTION I, — CHAPITRE I. l5
Comme Q„ est supérieur à Q„t,on a aussi
^-^ = (-«)"ô?- ou Q^,jr-P.=(-i)''-L,
6 désignant encore une quantité comprise entre o et i, mais qui n'a pas ici la même valeur que dins la précédente égalité.
Cette dernière formule exprime que si Ton prend une réduite quelconque pour valeur approchée de la quantité a:, Vérreur commise sera moindre que Vanité dit^isée par le carré du dénominateur de la réduite.
Remarque. — On peut encore démontrer le précédent théorème en partant de la valeur de x exprimée en fonction du quotient complet x„. On retrouve par ce moyen la limite supérieure que nous venons d'assigner à la différence ( — i)" I a: — TT^) * ^' ^^ obtient en même temps
une limite inférieure de la même différence. Cette dernière limite a moins d'importance que l'autre, mais elle mérite cependant d'être mentionnée. On a
Q«i ~ Q„jr„ -4- Q«^i Q„^. Q„^i (Q„ ^/, -4- Q;^-. ) '
ou, d'après le théorème I,
^"-^ Q;^-.IQ«H--Q
Or x„ est compris entre i et oo 5 donc la différence
X— -^-^ est comprise entre
Qi.-.
