La première réduite -~ étant - ouoo , et la deuxième
-^ étant égale à âr, on voit qu'on peut énoncer la propo-
sition suivante qui résume les résultats principaux que
nous avons obtenus :
Lorsqu'on réduit une quantité quelconque x enfrac^ tion continue, les réduites de rang pair, toutes infé- Heures à x^ forment une suite croissante, tandis que les réduites de rang impair^ foutes supérieures à x, forment une suite décroissante. Ces deux suites se terminent quand X est un nombre rationnel; mais, dans le cas contraire, elles sont illimitées et les réduites de chacune d^ elles conv^ergent vers la valeur de x dont elles se rap^ proclient indéfiniment.
C'est en raison de cette propriété que les réduites ont reçu le nom de fractions com^ergentes , On voit que si a, ^1, âEj, as, • . . désignent les quotients incomplets obtenus dans la réduction de x en fraction continue, il est permis
SECTION I. CHAPITRE l. IJ
écrire
Ot
puisque Texpression contenue dans le second membre de cette formule tend vers une limite égale à x, quand le Dombre qui marque le rang du quotient auquel on la
suppose terminée augmente indéfiniment. La réduite^
a pour valeur
et, par suite, la quantité x est la limite de la série conver* génie
A 7. Théorème IV. — Si une fraction irréductible -
est comprise entre deux réduites consécutii^es -^^ -^9
le dénominateur H de la fraction est supérieur au dénominateur de chaque réduite.
En effet, la fraction — étant comprise entre — ^ et ~ > les deux différences
Pn— I P»i P»»— 1
sont de même signe, et la valeur absolue de la première différence est inférieure à la valeur absolue de la seconde. I. 2
l8 cou as D^LGÈBRE SUPélllBUIlE.
Or celle-ci est égale à ^- — -^^ donc on a
ou
{-.)''(AQ^.-BP^,)<1;
le premier membre de cette inégalité est un entier qui, par hypothèse, ne se réduit pas à zéro, et Ton a, en conséquence,
Le nombre B est, à plus forte raison, supérieur à Q„i.
Corollaire. — Chaque réduite d^une fraction continue X approche plus de la valeur de x que toute autre fraction dont le dénominateur est moindre que celui de la réduite.
En effet, si la fraction irréductible -- approche plus dex
que la réduite -^î elle sera, à plus forte raison, plus près
de X que la réduite précédente j^—^* D'ailleurs^ la quan-
tité X vêtant comprise entre -r^ et ;r^» la fraction - sera
Qii-l Qn D
nécessairement comprise entre les mêmes réduites^ donc, d'après le précédent théorème, le dénominateur B sera supérieur à Q„.
Il résulte de là que si B est inférieur à Q„, la fraction •approche moins de x que la réduite ~ •
