Problème. — Étant donnée une fraction — dont

SECTION I, CflAPITRe f. «§

la différence ai^ec une quantité quelconque x est ± --,

0 étant plus petit que V unité ^ on demande la condition

p pour que - soit l'une des réduites fournies par le déve^

loppement de x enfra>ciion continue.

P Réduisons —■ en fraclîon continue eX formons les ré-

faites rp? TT' '" ' 77" ^^*^^ ^* dernière n'est autre que -•

Si cette fraction est Tune des réduites fournies par le développement de a:, et que Ton désigne par x„ le (» -+- i)"*»* quotient complet, on aura

, ^ Pn<^i«-l- P«— I \t y p» ( — ')"

(i) xz=L— — 9 dou X— --==

Q» ^n -i- Q»-. Q« Q« (Q« ^, + Qn-.)

H faut remarquer que l'on peut toujours s'arranger de manière que le signe du second membre de cette formule soit le même que celui de la différence donnée

X — — =± :r^- En d'autres termes, dans la fraction con-

tinue égale à -» on peut toujours faire en sorte que-r^

ou— soit à volonté une réduite de rang impair ou de

rang pair. En effet, soient û„.j, fl„i les deux derniers

quotients incomplets de la fraction continue «égale à rr-:

d'après la manière dont on opère habituellement , le dernier quotient n'est pas égal à i, car si cela avait lieu on pourrait supprimer ce qqotient, en augmentant d'une unité le quotient précédent qui deviendrait alors «„:, + i . Donc, puisque a„.i est au moins égal à 2, on peut le

remplacer par (a„i — 1) H — 1 c'est-à-dire quon peut

introduire un quotient de plus égal à i en ayant soin

de retrancher une unité du quotient qui était le dernier.

On j>eut donc faire en sorte que le nombre /i, qui in-

dique le rang de la réduite -^= — ? soit à volonté pair ou

impair^ ce nombre n étant ainsi choisi de manière que le

signe de ( — i)" soit celui de la différence donnée ± — ?

on aura

(2) __ î — -=1-, d'où 0--=- — 5^î— —

Or Xn est positif et supérieur à i, donc on a

Je dis que réciproquement, si cette condition est salis-

p faite, la fraction -- sera l'une des réduites de j:. En effet,

x.„ étant alors définie par la formule (i), Téquation (2) donnera pour cette quantité une valeur positive et supérieure à l'unité 5 d'ailleurs, d'après la formule (1), la valeur de x sera évidemment de la forme

d'où il résulte que la fraction - est l'une des réduites qui

convergent vers x.

Il faut remarquer que la condition (3) sera toujours

satisfaite si 0 est inférieur à -> car le rapport -r — -— — est supérieur à -; donc la fraction — sera nécessai

re-

SECTIOM I. CHAPITRE I. ' 21

ment l'une des réduites de la quantité a:, si la diliérence X — -rr est, en valeur absolue, inférieure à

Des fractions convergentes intermédiaires,

9. On a vu que les réduites de rang pair et celles de rang impair forment deux suites qui sont Tune croissante, l'autre décroissante^ et qui convergent toutes les deux vers la valeur de la fraction continue. Considérons deux réduites consécutives

Qii— l Qn+I

de l'une ou de l'autre des deux suites, le nombre n pouvant être égal à i . Si â„ désigne le quotient incomplet de rang « -f- 1, les valeurs de ces deux réduites seront comprises dans l'expression générale

A" Pn -h Pn— t

X^Qn-hQ

et elles répondront aux valeurs fc = o, A = «„ de Tindélerrainée k.

Lorsque le quotient a„ est supérieur à i , et que Ton donne à k les valeurs successives

O, I, 2, 3, . . ., (£7„— l), On,

Texpression précédente fournit, indépendamment des Jeux réduites considérées, a^ — i autres fractions dont les dénominateurs sont compris entre Q„«i et Q„+i, et auxquelles on a donné le nom de fractions convergentes in^ terme diaires .

Si Ton pose, pour abréger Técrilure,

R; zrz k P„ -h P„„ Sa r-: h Q„ + Q

ùfi coùns d'algèbre supérieure.

On aura"

R*^., =: R^ H- P„, Sk+i = S* -4- Q«,

d'où

R*+,S*— S*^.,R*= P„S*— Q„Ra= P„Q«-., — Q«P„^.y

R*+,S^ — Sa+.R*= (— i)", P«S* — Q„Ra=: (— I)"

et, par conséquent,

Ri.^, R^^(^i)« P„ ftl(— i)*

Ces formules sont analogues à celles qui se rapportent à deux réduites consécutiyes quelconques, et on peut en conclure les propositions suivantes :

1° Les fractions com^ergentes intermédiaires^ formées comme il a été indiqué^ sont des fractions irréductibles ,

7? La différence de deux fractions conv^ergentes in^ termédiaires consécùtix^es est égale à Vanité dii^isée par le produit des dénominateur^ des deux fractions ,

i^ Si Von considère la suite des réduites de rang pair et celle des réduites de rang impair^ puis qu entre chaque réduite de Vune et de Vautre suite ^ et la réduite suivante, on ecnVe toutes les fractions conv^ergentes in^ termédiaires qui s'y rapportent , de telle manière que les dénominateurs forment une suite croissante ^ on obtiendra deux noui^elles suites qui seront , la première croissante^ la seconde décroissante, et qui, en conséquence, cons^ergeront sans cesse j l'une et Vautre "vers la valeur de la fraction continue»

4^ Si une fraction — est comprise entre deux fractions

conv^ergentes consécutii^es — > ^~^' appartenant au groupe dont les réduites -^^ et — ^ sont les termes cx~

SECTION I. — CHÀPITHE I. 23

Ri-

trêmes^ ou H elle est comprise entre la fraction — et la

réduite —j le dénominateur B de cette fraction — sera

supérieur au dénominateur de chacune des fractions coni^ergentes qui la comprennent,

10. Lorsque la fraction continue est limitée, les deux suites formées avec les réduites et les fractions intermédiaires se terminent d'elles-mêmes. Mais il faut remarquer que l'on peut encore considérer l'une des deux suites comme illimitée. En effets dans le cas dont il s'agit, l'une

des réduites — ^ exprime la valeur exacte de la fraction con-

tinue^ cette réduite termine l'une des deux suites, tandis que

l'autre suite s'arrête à -^^-^^ Maison peut évidemment in-

troduiredans la fraction continue un nouveau quotient J;:,, égal k 00 5 celle-ci sera alors représentée par Texpres-

sion -^-^ r^^ équivalente à ~i et à celle de nos deux

suites qui se termine à -r^ on pourra ajouter les fractions

intermédiaires,

P«-hPn-. 2Pn-hP„-. 3 P„ H- P,^.

dont le nombre est illimité. La suite indéfinie que Ton formera ainsi convergera vers la fraction continue, couime si celle-ci représentait la valeur d'une quantité irrationnelle.

11. La théorie que nous venons d'exposer nous fournit la solution de cette importante question :

Problème. — Déterminer^ parmi toutes les fractions

dont le dénominateur ne surpasse pas une- certaine //mite K^ celle qui approche le plus d^une irrationnelle donnée x.

Concevons que la quantité x ait été réduite en fraction continue, puis qu'avec les réduites et les fractions intermédiaires on ait formé les deux séries, l'une croissante, l'autre décroissante, qui convergent toutes deux vers la valeur de x.

Si le dénominateur Q„ de Tune des réduites est égal à la limite donnée K, la fraction demandée sera la réduite

-^« Mais je dis que, dans tous les cas, cette fraction fera

partie de l'une des deux suites formées avec les fractions convergentes. En effet, s'il en était autrement, la fraction

demandée | tomberait entre deux termes consécutifs -^^5 — de l'une de ces deux suites: mais alors B serait

supérieur à S^, la fraction -r- serait d'ailleurs plus appro-

chée de x que — ? et par conséquent cette dernière fraction

ne satisferait pas à la condition requise.

Donc, pour résoudre le problème proposé, il suf&t de réduire l'irrationnelle x en fraction continue, de former la série des réduites de rang pair et celle des réduites de rang impair, avec les frac lion s intermédiaires correspondantes •, de prendre enfin dans chaque suite la fraction qui a le plus grand dénominateur au-dessous de la limite K. Les deux fractions que l'on obtient de cette manière comprennent entre elles la quantité x^ et elles fournissent les valeurs les plus approchées, par défaut et par excès, de cette irrationnelle, quand on exclut les fractions dont le dénominateur est supérieur à K.

On voit que la réduction en fraction continue doit être employée toutes les fois qu'il est question d'exprimer par les fractions les plus simples et les plus approchées qu'il est possible, soit la valeur d'une irrationnelle, soit celle du rapport de deux nombres entiers très-grands.

• Théorème de Lejeune-Dînchlet.

12. La théorie des fractions continues nous a révélé l'existence d'une infinité de fractions r— susceptibles d'exprimer la valeur d'une irrationnelle donnée a:, à —y près.

Ce fait si remarquable peut être établi directement par un procédé ingénieux dû à l'illustre géomètre allemand Lejeune-Dirichlet.

Le théorème que nous nous proposons d'établir peut être énoncé dans les termes suivants :

Théorème. — Dans la séné des fractions qui ont pour dénominateurs les nombres 1,2, 3,. -^ 'î? il ^n existe au moins une de dénominateur v qui diffère d'une quantité

moindre que ~, par défaut ou par excès, d'une irrationnelle donnée x.

Représentons par m^ le nombre entier immédiatement supérieur à va:, et considérons la suite des quantités

nii — Xy /Wj — 2.x, /7Î3 — 3;r, ,../7in — nXy

qui seront toutes moindres que l'imité. Si l'on était assuré que l'un au moins des produits

/2(/w,-^x), n[m^ — 2*^)^ «(/W3 — 3a:),..., /2(/w„ — nx)

eut pour partie entière zéro, le théorème serait démontré,

car on aurait, par exeniple,

n(mv — var)<C[i,

d'où

/Wy — va:<^- et '^<C —

Mais, s'il n'en est pas ainsi, comme ces parties entières ne peuvent être que

l'exclusion du nombre zéro exige que Tune d'elles soit la même dans deux produits diiTérents. Soient donc

n (/Wy — va:) =z E -f- g,

/2 ( W/A — - fAX) = E -f- >I,

£ désignant un entier, e et y? étant des quantités positives inférieures à i. Si l'on retranche ces égalités Tune de l'autre, il vient

n [(/Wy — m^A) — (v— p)x] = s — »j,

d'où

/Wy — mu. i — Yi

/»(v — fz)

On peut supposer que v soit le plus grand des nombres v et fx 5 la différence v — fx de deux nombres inférieurs à n est elle-même moindre que n-^ enfin la valeur absolue de e — m est inférieure à i. Le théorème énoncé résulte donc de la formule précédente, puisque celle-ci montre que la valeur absolue de la différence

Wy — nty.

est inférieure à — -*

Dans ce qu'on vient d'établir, le nombre n est quelconque. En le faisant croître indéfiniment, on voit la pos-

sibllité d'obtenir une suite infinie de fractions convergea les vers la valeur de x, telles que Terreur par défaut ou par excès, relative à chacune d'elles, soit moindre que Funité divisée par le carré du dénominateur^ car dans

Texpression — indiquée par Ténoncé du théorème, v est

an plus égal à n : cette limite sera donc en général

moindre que — •

Résolution d'une équation du premier degré à deux inconnues y en nombres entiers^ par la méthode desfrac' tiens continues,