Considérons Téquation

PA-hQji=H,

dans laquelle P, Q, H sont des nombres entiers positifs ou' négatifs. Comme on peut supposer que ces trois nombres n'ont aucun diviseur commun, l'équation proposée ne pourra évidemment être satisfaite par des valeurs entières de X et dey^ que si les coeflBcients P et Q ^ont premiers entre eux. Supposons que cette condition soit remplie •, ré-

duisons la fraction zh — en fraction continue, et calculons

les réduites successives. Si pr> désigne T avant-dernière réduite, on aura

±:(PQ' — QP')=:i,

d'où

P(=hQ'H) + Q(qpP'H)=:H,

ce qui montre que l'équation proposée sera satisfaite en

posant

jr=r±:Q'B, /=±:P'H.

Désignons par Xo et^o ces valeurs des indéterminées x

eijj l'équation proposée pourra se mettre sous la forme

ou

et, comme les nombres P et Q sont premiers entre eux, les quantités x et j^ ne seront entières que si x — Xq est divisible par Q. Ou aura donc, en désignant par Q le quotient de cette division,

c'est-à-dire

a7z==tQ'H + 9Q, j = qzP'H + ôP;

ces valeurs satisfont à Téquation proposée, quel que soit l'entier positif ou négatif 0.

Il faut remarquer que la valeur absolue de x sera inférieure à Q si Ton prend pour B l'un des deux entiers consécutifs entre lesquels est comprise la fraction positive ou

négative qz -!=— -5 on peut même ajouter que l'une de ces deux valeurs de 0 donnera à x une valeur absolue inférieure à - Q. Il résulte de là qu'il existe une valeur unique

de X entre les limites o et Q ou Q et H — Q, pour la-

quelle l'expression

Pjt — H

se réduit à un nombre entier.

L'équation dont nous venons de nous occuper peut s'écrire de la manière suivante :

PQ P q'

et Ton voit que : toute fraction — — > dont le dénominateur est le produit de deux nombres P ef Q premiers entre eux^ peut se décomposer en deux autres fractions ayant respectivement pour dénominateurs les nombres P et Q.

Théorème relatif à la réduction des fractions rationnelles en fraction continue,