Considérons une fraction rationnelle — supérieure
à I , et supposons qu'en la réduisant en fraction continue on ait trouvé
«ii-i '
la dernière des réduites successives tt'tt'* ••»^ sera égale à — j et l'avant-dernière aura pour valeur
D'un aut^e côté, on a
P» = Pb-I û;, -h P„-î, Q„ — Qb^.ÛT;,-, 4- Q«2,
P»— I ^^=^ P»— 2^/1— 2 ~l~ P»— 3> Qo— I ^^== Qn— t^/i— a -h Qb— 3>
P3 =:P,«,4-P„ Q., =Q,fl2-hQ„
P, = p, a, -+- Po, Q, — Q. «. -+- Qo,
puis
P,r=û, Po=:I, Q.= I, Qo=0;
3o COURS d'algèbre supérieure.
ces formules donnent
On voit que les quotients de la fraction continue (3) sont précisément ceux de la fraction (i) pris dans un ordre inverse; la fraction (4) est l 'avant-dernière réduite delà fraction continue (3).
Il résulte de là que si Ton a
•ji — I — x»?
mais seulement dans ce cas, les fractions ( i ) et (3) seront égales entre elles, et la suite des quotients
sera réciproque^ c'est-à-dire que les termes extrêmes seront égaux entre eux, ainsi que deux termes quelconques pris à égale distance des extrêmes. Comme on a
(6) P„Q„.-Q„P^. = (-i)", la condition (5) équivaut à
(7) P.Q«-.-Qi=(-i)", on Q,==!l^J L,
et elle exprime que Ton a
Q'±:i {8} — - — :== un nombre entier.
SECTION I. — CHAPITRE I. 3l
Réciproquement, si les nombres entiers P et Q <^ P satisfont à la condition (8), on peut être assuré que la frac-
tion rr- se réduira en une fraction continue dans laquelle
les quotients formeront une suite réciproque.
En effet, réduisons la fraction — en fraction continue,
en nous arrangeant de manière que le nopibre des quotients soit pair ou impair, suivant que le signe ambigu zt exprime -h ou — dans la formule (8). Alors, en désignant par n le nombre de ces quotients et par Q' la valeur du premier membre de la formule (8), on aura
mais -r^ étant la réduite qui précède tt ou rrj la for-
mule (6) a lieu, et en là retranchant de la précédente il vient
comme P„ doit diviser le second membre de cette formule, et que ce nombre est premier avec Q„, il doit diviser Q„ — Pn-n celte différence étant inférieure à P„, elle doit être nulle et l'on a
La première de ces égalités démontre la proposition que nous avions en vue.
15. Les résultats qui précèdent nous seront utiles plus tard ; mais il n'est pas sans intérêt de montrer dès à présent comment on peut en tirer une démonstration fort simple d'une proposition importante dans l'Arithmétique supérieure. Cette proposition est la suivante.
Théorème. — Tout nombre entier qui dii^ise la somme
de deux carrés premiers entre eux est lui-même la somme de deux carres.
En effet, supposons que le nombre entier P divise la somme R* + S®, R et S étant des entiers premiers entre
eux. Si Ton réduit la fraction — en fraction continue et que
l'on désigne par —7 la réduite qui précède —■> on aura
RS'— SR'=:±i;
en outre, le nombre P divisant R' -h S*, il divisera le produit
(R» + S^)(R''4-S'?)=(RR' + SS')»4-(RS'— SR')'; il divisera donc, quel que soit K, la somme de deux carrés
