RR'-H SS'— KP)'-4- (RS'— SR

or, le second de ces carrés est i; quant au premier, il est

le carré d'un nombre Q qu'on peut supposer inférieur à P,

P et même, si Ton veut, inférieur à - 5 à cause de l'indéter-

minée K. Il résulte donc de notre hypothèse qu'on peut

trouver un nombre Q inférieur à P, tel que l'on ait

-^:-— — :=: entier.

Cela posé, réduisons la fraction -- en fraction continue,

en opérant de manière que le nombre des quotients soit pair. D'après la proposition établie plus haut, la suite de ces quotients sera réciproque et elle pourra être représentée par

.fly fl|, (liy , , . , flm— I) ^m— !>•••> ^2) ^1> ^« r . Pm

La (m .-f-i)'^'"'' réduite — ^ embrasse les quotients de la pre-

SECTION I. — CHAt»ITAE ! 33

mière moitié de celte suite, et si l'on désigne par -^ la

réduite précédente, par x^ le quotient complet de rang m + 1 9 on aura

mais le quotient complet x^ est égal à

et cette fraction n'est autre chose que ^^^ \ donc on a

Il est évident que le second membre de cette formule est une fraction irréductible. D'ailleurs on s'en assure immédiatement en remarquant que la différence

. P«(P«Q« + P«.-.Qi«-.)-Q«.(Pi-f-Pi J

a pour valeur