P^. ( P«.Q««. — Q«P«-, ) HT ( — I )"• P«

un facteur commun aux deux termes de la fraction dont il s'agit diviserait donc Pm^i; mais alors il diviserait aussi P^, ce qui est impossible, puisque P« et P«i sotit premiers entre eux. D'après cela, la formule que nous avons obtenue donnera

Non-seulement la première de ces égalités démontre le I. 3

théorème énoncé, mais encore elle fait connaître les deux carrés dans lesquels le nombre P peut être partagé (*).

Condition pour que les fractions continues qui repré^ sentent deux irrationnelles soient terminées par les mêmes quotients,

16. Si deux irrationnelles positives x et x' sont telles, que les fractions continues dans lesquelles elles se développent aient un même quotient complet y, on aura, par les propriétés des fractions continues^

P, Q, P', . , . étant des entiers positifs qui satisfont aux deux conditions

PQ' — QP'r=:±:i, RS'— SR' = =ti.

Si Ton élimine^ entre les équations (i), on trouvera

axA-b

a'x^b' en posant

a 1= QR' — RQ', b:=i RP' — PR' ,

fl'=QS' — SQ', ^'=:SP'— PS',

et l'on déduit de ces dernières formules

«^' ^«' — (PQ' __ QP') (RS'— SR') =: db I.

Donc y pour que deux irrationnelles positii^es x et^ x^ puissent se déi^elopper en des fractions continues sHscep'tibles d^être terminées par des quotients complets égaux

{*) J'ai donné pour la première fois cette démonstration dans un article qui fait partie du tome XIII du Journal de Mathématiques pures et appliquées (i*^* série).

entre eux ^ il faut quelles soient liées l^une à Vautre par une équation de la forme

OÙ a, h^ a\ V désignent des entiers positifs ou négatifs qui satisfont à la condition

(3) ab'-^ba'=:±n.

Je dis maintenant que cette condition est suffisante. En

effet, réduisons x en fraction continue, désignons par —

une réduite aussi élo^née qu'on voudra, par — la réduite

précédente, et par y le quotient complet qui répond à la

réduite -r ; on aura Q

//N Pr-f-P'

et, en substituant cette valeur de x dans Téquation (3), il viendra

(tfP + èQ)r + («P'-f-*Q')

Cela posé, quels que soient les signes des nombres a^ b, a\ b\ les rapports

Q Q-^ci'

€iP'-h6Q' Q' F b

' sont positifs et supérieurs à i , car on a Q ^ Q' et Ton

P P' peut supposer les réduites — > ^, assez éloignées pour que

leur différence soit plus petite qu'une quantité quelconque

donnée. D*ailleurs y et x'sont positives, donc k valeur précédente de x* est de la forme

'R, R', S, S' étant des nombres entiers positifs tels que

D'ailleurs ces nombres ont respectivement pour valeurs

Riiz:±(flP-4-i^Q), R'r=±(flP'-f-*Q'),

les signes supérieurs ou inférieurs devant être pris ensemble. On déduit de là

RS' - SR' =r db ( ab' — ba' ) (PQ' — QP') ;

on a d'ailleurs

PQ'QP'— ±1 et ah' —ba=z±x, donc

(6) RS' — SR'r=±i.

Réduisons maintenant la fraction -^ en fraction conti^

nue et soit -^ Favant-dermère réduite^ comme le calcul

peut être fait de manière que -^ soit à volonté de rang

pair ou de rang impair, on peut écrire

RSo — SRo =^!ii 1 9

le signe du second membre étant ici le même que dans la formule (6). Et alors, à cause de celle formule (6), Téga* liié précédente donnera

R(S'-Sa) = S(R'-Ro);

SECTIOW I. CHAPITRE I. 3^

or le nombre R est premier avec S, et il surpasse R' — Rq , diflerence de deux nombres inférieurs à R; il faut donc que l'on ait

On voit enfin par la formule (5) que j^ est un quotient complet commun h x etk x*.

Remarque. — Nou.s avons supposé Içs quantités ^ et x' positives, mais rien n'empêche de les supposer négatives. En effet, si Ton change x en — a: ou j:' en — x\ la formule (3) restera la même 5 seulement quelques-uns des coefficients changeront de signe sans cesser de satisfaire à la condition (4). Au surplus, dans le développement d*une irrationnelle en fraction continue, on n'a à s'occuper que de la valeur absolue de cette irrationnelle.