CHAPITRE II

des' fractions continues Périodiques.

Développement des irrationnelles du deuxième degré

en fraction continue.

17. On nomme irrationnelle du deuxième degré toute qiiantité irrationnelle qui est racine d*une équation du deuxième degré à coefficients rationnels. Il est évident qu'on peut préparer une telle équation de manière que les coefficients soient des nombres entiers^ il est même permis de supposer que le coefficient de la première puissance de Tinconnue soit un nombre pair, car on ramène le cas contraire à celui-là, en multipliant Téquation par 2.

Soit en conséquence

Lx^-f- 2M.r H- N=i:o

une équation du deuxième degré dans laquelle les coefficients L, M, N sont des entiers positifs ou négatifs tels«

que la quantité

]VP— LN=rA,

supposée positive, ne soit pas un carré exact. Les racines de celte équation seront représentées par l'expression

±lVH-\/Â ±:L '

le radical \A étant pris positivement,' et le signe ambigu rb devant être remplacé successivement par -H- çt par — tant au numérateur qu'au dénominateur. Mais, comme nous ne voulons considérer <]ue les valeurs absolues des racines, nous donnerons au dénominateur de

{expression précédente le signe qui rend cette expression positive. Alors si Ton pose

puis que Ton désigne par D i la valeur de N prise avec un signe tel que LN = — D iD, toute irrationnelle du deuxième degré prise positivement pourra être représentée par la formule

dans laquelle EetD sont des entiers positifs ou négatifs et À un entier dont la racihe carrée est irrationnelle. En outre^ on aura

D| étant un nombre entier positif ou négatif.

18. Cela posé, nous nous proposons de développer en fraction continue Tirrationnelle définie par la formule (i ).

Après avoir déterminé la racine du plus grand carré entier contenu dans Â, on aura immédiatement, par la division, le plus grand entier a contenu dans X] alors on fera, conformément à la méthode générale,

jrrr: a H »

et le nouveau quotient Xi sera donné par la formule

*^ — (Da--E) + v^Â'

si Ion multiplie les deux termes de celte expression par

(Da — E) 4- V^A, afin de rendre le dénominateur rationnel, elle prendra la forme

4o CQURS d'algèbre SUPÉRIEURE.

El et D| désignant des nombres rationnels. On opérera sur Xi comme on a fait sur x^ et ainsi de suite; en sorte qu'on obtiendra successivement les formules suivantes :

qui sont toutes semblables à la proposée, car on va voir que les nombres rationnels E„, D„ sont toujours des entiers. La valeur de x„i est

et on en lire

- ( D„^, a^, - E^, ) 4- V'Â "~ ^ - ( ^'•-' ^'^' - ^^«-' )' alors on aura, diaprés nos notations,

d'où

cette formule (5) subsistera pour n = o, si l'on convient que D„ et E„ représentent D et E respectivement, quand Tindice n est nul; car^ dans ce cas, les formules (a) et (5) coïncident. La formule (5) ayant lieu quel que

SEGTIO» I. — ^ €HAPTTRE II. 4'

soit a^ on peut, dans la formule (3), remplacer A par E^, -h Dn t D„i, et il vient alors

(6) Dn — Dn 2 H- 2 E„, a^^ — D^, a^^ , j

enfin, en remplaçant D^^i par la valeur tirée de la for-^ mule (4)> on obtient

(7) D^= D^, + (E^i — ' E„)ûf^, .

Les formules (4) et (7) subsistent, d'après ce qu'on vient de dire, quand on suppose n=z i. Elles contiennent la loi de formation des quotients complets x„ , et , elles montrent que si les nombres D,j j, E„i, D„i sont entiers, les nombres E^ et D„ seront aussi entiers. Or, par hypothèse, D i, E, D sont des nombres entiers, donc El et Dj seront eux-mêmes des entiers, ainsi que E^ et Dgy . • . , Ë„ et Da. Les formules (4) et (7) montrent encore que si D i et D sont pairs et que E soit impair, tous les nombres D„ seront pairs, tandis que les nombres E„ seront impairs.

Remarque. — Il convient de remarquer que les trois nombres entiers Dh i, E„, D„ ne peuvent avoir un diviseur commun 6 supérieur à Tunité. En effet, si un tel diviseur existe^ il divisera E^^i à cause de la formule (4) et D,^8 à cause de la formule (7)5 il sera donc un diviseur commun des trois nombres Dn« , E„i , D„i . On en conclura de même qu'il est diviseur commun à D„8 , E^n-.t9 Dn^s^ et ainsi de suite. Le nombre 6 sera donc un diviseur commun à D i , E, D, et, par suite, A aura le diviseur 6'. Or on peut toujours admettre qu'il n'eu est

pas ainsi-, car si, dans l'expression proposée^ — u""' ^

et D sont divisibles par 0, A par 6', rien n'empêche de supprimer ce facteur.