On retrouve les résiiltats qui précèdent par la con
sidération des réduites. Soit pr^ la (n -h i )'*'"* réduite delà
fraction continue égale à a:; on a
P„ ^n -+- P«-l Q/i ^n H- Qn-I OU
E H- v^Â (P„ E„ -+- P^, D„) -h Vn n/Â
^ (Q«E„H-Q,^.D«)-hQ„v/A
si Ton chasse les dénominateurs et que Ton égale ensuite de part et d'autre les parties rationnelles et les parties irrationnelles, îl viendra
{ 8 ) Q„ E„ -f- Q,^. D„ =z DP„ — EQ„ ,
(9) (DP„ - EQ,)E» H- (DP.^, - EQ„^,)D„ :^ AQ„ .
En résolvant ces équations (8) et (9) par rapport à E„ et D„, et en faisant usage de la relation
P«Q«-. •-Q«P«-. = (— i)% ou irouve
(10) E„ ^ L:^[AQ^.Q,- (DP^.-EQ„^.)(DPn- EQ«)],
(11) D„ = ^il"[(DP«^EQ,)'---AQ„'];
il est évident que la quantité entre crochets, dans l'eupression de E^ ou de D„ , se compose de termes qui contiennent D en facteur, et d'un terme multiplié par le nombre A — E* qui est divisible par D, Donc les formules (10) et (11) montrent que E„ et D„ sont des entiers, ce que nous savions déjà, mais elles vont aussi nous conduire à un autre résultat fort important.
Je dis effectivement que si n est supérieur à une certaine limite, les entiers E„ et D„ seront toujours positifs.
La formule (ii) démontre immédiatement ce fait I l'égard deDn*, en effet, on peut l'écrire comme il suit :
or, d'une part, le facteur -~, ^^ K — ^ * ^^
signe de ( — i)"? et d'autre part, comme cette différence peut devenir aussi petite que l'on veut, en prenant n suffisamment grand, le dernier facteur de notre expression
de D„ approchera autant que l'on voudra de 2 v/A, et il sera, en conséquence, positif pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite j donq.aussi D» sera positif.
On pourrait établir la même propriété à Tégard de E„ en se servant de la formule (10), mais il est plus simple de partir de l'équation (8). Celle-ci donne
et en divisant par
D„a:„i=v^Â-f-E„, on a
Qn ^n V^ A + E„
Pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite,
(D--^ — E j différera de \/A d'une quantité plus petite
qu'une quantité donnée quelconque; il en résulte que le nombre entier E„ ne pourra pas être négatif, car, si cela arrivait, le second membre de la formule précé- ' dente serait plus grand que i, et il ne pourrait être égal au premier membre, lequel est évidemment inférieur à i .
44 coulis d'algèbre supérieure.
Si donc, pour quelques-unes des premières valeurs de /i , o , 1 , 2 , . . . , les nombres D„ et E„ peuvent êt^ e négatifs^ cette circonstance ne pourra plus se présenter dès que n aura atteint une certaine limite.
20. Nous pouvons maintenant établir la proposition suivante due à Lagrange :
Théorème I. — La fraction continue, dans laquelle se déi^eloppe une irrationnelle du deuxième degré , est périodique, c'est-à-dire que la série des quotients complets ou incomplets, à partir de celui qm occupe un cer-tain rang^ est formée d^une suite limitée de termes ou période qui se reproduit indéfiniment la même.
En effet, soit l'irrationnelle du deuxième degré
(0 •^— jy '
que nous supposerons positive ; le nombre  est un entier dont la valeur est donnée par la formule
et D i , E, D sont des entiers positifs ou négatifs. Si
désigne généralement le quotient complet de rang n -4- 1 , et que a„ soit le quotient incomplet. correspondant, on aura, par ce qui précède,
(4) K,î -+- D,. D„ =r A , et
(5) E^-i-FV, — D„J«„,;
en outre, nous savons que E„ et D„ sont des entiers, et que^ pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite^ ces mêmes nombres sont positifs. Considérons le développement en fraction continue, à partir de cette limite. La formule (4) montre qu'alors on a constamment
la formule (5) nous donne ensuite, en écrivant n au lieu de n — I,
D„ <; 2 v^ et «„ < 2 sfK.
Ainsi les nombres £„, D„, a„ sont limités, et les quotients complets Xn ne peuvent avoir qu'un nombre^wi de valeurs différentes. Donc, après un nombre d'opérations plus ou
moins grand, mais qui ne peut excéder 2 V^A X V^ ^^ 21 -A? on retombera nécessairement sur un quotient complet déjà obtenu; après quoi le reste de la série des quotients complets ou incomplets sera formé d'une même suite ou période de termes déjà trouvés, laquelle se répétera indéfiniment.
H convient de remarquer que la relation (4) donne Drt i D„ <[ A, et l'on aurait de même^ en changeant n en n — 1 , D„i D„i <^ A . Si donc on a
on aura
D^,<V^Â et Dn<^y
d'où il résulte que si le dénominateur d^un quotient complet est supérieur à y^A, le dénominateur du quotient précédent et celui du quotient suivant sont l'un et l'autre
inférieurs à /A.
La démonstration précédente repose sur ce seul fait que D„ est positif pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite; elle subsisterait donc, lors même que
nous n'aurions pas établi que R„ est également positif pour des valeurs de n suffisamment grandes. Enfin, il est évident que si x., est le quotient complet qui commence la première période, les deux nombres E„ et D„ seront nécessairement positifs à partir de la valeur « = v.
21. Théorème II. — Réciproquement^ toute quantûé ijuise développe en une fraction continue périodique est une irrationnelle du deuxième degré.
En effet, considérons une irrationnelle x qui se déve-
P loppe en une fraction continue périodique ; soient -r^ la
réduite de rang /i -4- ï et a:„ le quotient complet correspon • dant, on aura
Pa xk -+- P*-i
Si la fraction continue est périodique simple^ c'est-à*dire si la période commence au premier quotient, et que cette période ait /t termes, on aura
alors la formule (i) donnera ou
{2) Q*ar« — (P* — Q4^,) ^ — Px-i ==0;
X est donc racine d'une équation du deuxième degré à coefficients entiers. Il faut remanjuer que le nombre k peut èlre égal à i, et que, dans ce cas, on a Pjt i =1,
Qa-1 = o.
Si la fraction continue proposée est périodique mixte ^ c'est-à-dire si la période ne commence qu'à partir du
SECTIOn I. CHAPITRE II. 4?
quotient de rang fr» -+- 1 > et que cette période ah k termes, ou aura
avec
chacun des nombres m et k pouvant être égal à i, Si l'on résout par rapport à x,n et Xf„^i les deux équatîpns comprises dans la formule (3), puis qu'on égale entre elles les valeurs obtenues, on aura
équation qu^on peut mettre sous la forme
(5) L*^-h 2Mj7H- N =r O,
en posant, pour abréger,
On voit donc que x est encore, dans ce cas, Tune des racines d'une équation du deuxième degré à coefficients et>^ tiers.
CoKOLLÀiKE. — U équation du deuxième degré à coef" ficients rationnels ^ à laquelle satisfait une fraction con» tinue périodique donnée^ a ses deux racines de signes contraires si la fraction continue est périodique simple^ et elle a toujours ses racines de même signe lorsque^ la fraction continue étant périodique mixte j ilj a plusieurs termes avant la période.
En effet, s'il s'agit d'une fraction périodique simple or, Téquation (2) à laquelle cette quantité doit satisfaire a
évidemment ses racines de signes contraires. Si l'irralionnelle x se réduit en une fraction périodique mixte, elle satisfera à une équation telle que (5 ), dans laquelle le produit des racines est, d'après les formules (6),
■W * m— 1 ^m-Jrk — * <n "«-+-*— i
Supposons qu'il li'y ait qu'un s6ul quotient a avant la période, on aura
et^ par suite^
ce rapport peut être positif ou négatif 5 donc, dans ce cas, les racines de Téquation (5) peuvent avoir le même signe ou des signes contraires. Supposons maintenant qu'il y ait plusieurs quotients avant la période, et soient 42^.1 ^ a,„+i.i les quotients incomplets de rang m et de irang m -h /:, on aura
Qw ^^= QiW— 1 ''m— 1 ~+" Q/îi— a 9 Qm-Ht ^^^^ Qfli+*— 1 ^m-i-*— 1 H~ Qjii-4-*— « >
au moyen de quoi l'expression générale de - devient
(Ofli+jt-, — ^m-i) •+•
PlW-f-*— i P»l— 2
Np p V "/«-1-A— . -««-. / • v p , p
L Qm— I Q/n-i-A—i / ;^ ^ \ , f Qm-hk—i Qm— s
Q111+*— 1 Qjii— 1
(àm-hk-\ — ^m^i) ■+■ (
La différence «„4.i i — û^-i n'est pas nulle, car autrement la période commencerait un rang plus tôt qu'on ne Ta supposé ; d'ailleurs le deuxième facteur du second membre de la formule précédente est une fraction dont chaque
terme s^obtîeut en ajoutant une quantité positive ou négative, mais fractionnaire, à l'entier û|„+i«i — ««.-i 5 donc le facteur dont il s'agit est positif, et il en est de même
du rapport - ; ce qui achève la démonstration de la pro-
position énoncée.
22. Théorème III. — Les périodes des quotients incomplets, dans les fractions continues qui expriment les racines irrationnelles d'une équation du deuxième degré à coefficients entiers^ sont inverses l'une de l'autre^ cest- , à'dire que les quotients dont se compose Vune des périodes sont précisément ceux de Vautre période disposés dans un ordre inverse.
Supposons d'abord que l'une des racines de réquaiion proposée se développe en une fraction continue périodique simple. On peut admettre que cette racine j: est positive et supérieure à i, car on ramènerait le cas contraire à celui-là en changeant ,r en — x ou en dz -••
Cela posé, ^ représentant généralement la réduite de rang w + i, et x„ le quotient complet correspondant, on a
P* Xk -h P*, ., , Q*, Jn — P*,
^=7;^ : — > a ou J^* = — :r •
Qit^t-hQ*, P; — Q*^
Si h exprime le nombre des quotients contenus dans la période, on reproduira l'équation dont x est racine en remplaçant x* par x dans Tiine ou l'autre des formules précédentes; cette équation peut donc se mellre sous la forme
"""^ P* — Qitx ' et si Ton représente par 7 sa deuxième racine qui est
5o COURS d'algèbue supérieure.
négative, on aura
Or, —- étant supérieure à i, on sait (n° 13^ que — et -— - Q; X ^ * y^ P^j
se développent en des fractions continues formées des
mêmes quotients mais en ordre inverse; en outre, - —
est Tavant-derriière réduite de la fraction continue égale
à - — ; donc x^ est égale à une fractiop continue périodi-
<jue simple, dans laquelle la période eât inverse de celle de X.
Considérons en second lieu le cas où les racines de l'équation proposée se développent en des fractions périodiques mixtes. Soit x Tune de ces racines; nous pouvons supposer x positive, et si la période commence au quotient de rang /w -+- 1, on aura
la quantité pc,,, est supérieure à i, et elle est exprimable par une fraction périodique simple^ elle est donc racine d*une équation du deuxième degré, dans laquelle la seconde racine 7- ^st telle que les fractions continues
x'„ et Xn aient des périodes inverses. D'après cela, on obtiendra la seconde racine x' de Téquation proposée en
remplaçant x^ par r dans la formule précédente; on
a ainsi
m jT —
\2m — i «^m ViB
Or, à cause de l'égalité
SECTION I. CHAPITRE II. 5l
les fractions continues x^ et x'„ se terminent par les mêmes quotients (n** 15); d'ailleurs, dans une fraction continue périodique, on est libre de faire commencer la période à l'un quelconque des quotients qui viennent après la partie réellement non périodique, donc on peut considérer comme inverses l'une de l'autre les périodes des fractions continues x et x'. Mais il faut bien remarquer que ce n'est qu'en entendant les choses de cette manière, que le théorème énoncé est exact.
23. Théorème IV. — La période de la suite formée par les numérateurs ou par les dénominateurs des quo-
tients complets relatifs à l'une des racines irrationnelles d'une équation du deuxième degré à coefficients entiers^ est ini^erse de la période analogue qui se rapporte à la deuxième racine.
En effet, d'après ce qui précède, les périodes des quotients incomplets, relatives aux deux racines, peuvent être représentées par
a, rt,, ûj,..., ûA-a, û*-i,
Soient
fit 1 1
les quotients complets qui répondent respectivement aux quotients incomplets (i) et (2).
Si n désigne un entier quelconque compris entre o et/r, on peut regarder la suite
^nj ^n-l-i ) • • • > ^k—x-i Û, ^lî • • • » <'n— 1
comme étant la période des quotients incomplets de la première racine, et cette période sera en même temps
celle que fournira le développement du quotient complet x„. Pareillement, on peut prendre la suite
pour la période de la deuxième racine, et cette même suite sera la période de la fraction continue égale au quotient complet x\^n*
Cela posé, les irrationnelles x„ et wk4__„ étant égales à des fractions continues périodiques simples, dans les* quelles les périodes sont inverses Tune de l'autre, x^^^
et seront les racines d'une même équation du
deuxième degré à coefficients entiers. Si donc on pose
... E,-hv/Â EUn + V^
A, E„, D„, Ei— nî D'à— ■ étant des nombres entiers, la
quantité .x'^„ sera égale à la valeur que prendra
quand on aura changé le signe du radical ^^ en conséquence, on a ^
les formules (3) subsistent pour n = o et pour tz = A, ^ar on a Xi, = x et x\ = xf\ il en est de même à l'égard de la formule (4)9 pourvu que l'on supprime l'indice o, quand les lettres D, E, D^ E' sont affectées de cet indice.
La formule (4) donne
{5) Ei„=E„, ,
puis El -HD„Di„=A5 mais commeon a El -i-D„.i D^= A, la précédente égalité se réduit à
Les égalités (5) et (6) démontrent la proposition énoncée; il en résulte que si la période des quotients complets de l'une des racines est
E H- v^Â E, H- v/Â E*, -h \/a E*__, -h s/Âl
la période des quotients complets de la deuxième racine sera
Comme les périodes {7) et (8) se répètent indéfiniment, les termes qui viennent après ceux que nous venons d'écrire sont respectivement
et, diaprés la loi de formation des quotients complets, on aura
Cette égalité montre que si les fractions continues auxquelles se rapportent les périodes (7) et (8) ne sont pas périodiques simples, les dénominateurs des quotients complets qui termineront les parties non périodiques seront respectivement Dii i et D. Il résulte évidemment de cette remarque, que la période des dénominateurs des quotients complets commence un rang plus tôt que la période des numérateurs des mêmes quotients.
24, Application a uk exemple. — On propose de développer en fraction continue les racines de l'équation
Les expressions des racines sont
