s/T^ - 97 + V^'îôp

la racine du plus grand carré entier contenu dans lopS est 33. Voici le résumé du calcul de chaque racine, calcul qui repose sur l'emploi des deux formules

établies au n° 18.

Première racine.

Er=:97, D.= — l54, Dr=r54,

rt = 2,

E, =ill, Ej=:25, E3=r27, £4 = 29, E5 = 25 = Ej ,

D,= i8, D, = 26, D3=i4, D4— 18, Di=26 = D,, û, = 2, ârjr=z2, ûr3=z4? «4=3, les quotients incomplets sont donc

Deuxième racine.

ûr= I, £1 = 43, E,= 27, £3=25, £4 = 29, E5=:27 = E2, D,=il4, D,=:26, D3=:l8, D4=:l4, T), = 7.6=D,,

ai=:5y «2=2, «3=3, «4 = 4? les quotients incomplets sont donc

Pour que la période soit inverse de celle de la première racine, il faut la faire commencer au quatrième quotient.

25. Théorème V. — Si a désigne la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans un nombre entier

donné A qui n'^est pas un carré exact, l irrationnelle VA se déi^eloppe en une fraction continue périodique mixte dans laquelle la période commence immédiatement après le premier quotient. Le dernier terme de la période des quotients incomplets est égal àia^et les autres termes de cette période forment une suite symétrique dans laquelle deux termes également distants des extrêmes sont égaux entre eux. Enfin les numérateurs et les dénominateurs des quotients complets forment également des suites périodiques dont les périodes sont symétriques.

En effet, la fraction continue égale à v^A ne saurait être périodique simple, puisque les valeurs absolues des deux racines de l'équation .r* — A = o sont supérieures à l'unité. D'ailleurs, ces racines étant de signes contraires, il ne peut y avoir qu'un seul quotient avant la première période, dans le développement de y^A, d'après le corollaire

du théorème II. Il résulte de là que l'irrationnelle y A — a se développera en une fraction périodique simple, et la

même chose aura lieu aussi à l'égard de vÂ-h a, puisque ces deux quantités sont les racines d'une même équation du deuxième degré à coefficients entiers. Cela posé, soient

les quotients incomplets de la fraction continue égale

à vA 4- a, la suite des quotients relatifs à \/A — a sera, d'après le théorème III,

Mais du développement de v^A + a on passe à celui de yA en retranchant a du premier quotient ; pareille-

56 COURS d'alcebke supérieure.

ment on passe de y/A — a à ^A en ajoutant a au premier quotient; donc la suite des quotients incomplets dans le

développement de v^A peut être représentée de l'une ou de Fautre des deux manières suivantes :

a (flit-i, ^3r*j,..., û,, ia) («4^1, ...)•• •>

on voit que le dernier quotient de chaque période est égal

à 2<7, et que les' quotients qui précèdent forment une

suite

rti, Hj, . . . , «*— a, ^74—1

dans laquelle deux termes également éloignés des extrêmes sont égaux entre eux.

D'après le théorème IV, si

a-^sf E, + v/ E*i -h sfk E*, -+- v^Â

est la suite des quotients complets relatifs à V^ •+- a, la

suite correspondante pour -^ sera

yJK — a

a + sj'k E*^, -4- v/Â . E, -f- v/a E, + v^

il est évident que ces deux suites coïncideront si l'on efface le premier terme de la première suite ; par conséquent on a El =: a^ et, dans chacune des deux suites

E» , E3 , . . . , Ej^i ,

D, , Dj , D3 , . . . , D*, ,

les termes également éloignés des extrêmes sont égaux tîntre eux. Il suit de là que la période des quotients complets obtenus dans le développement de v^ peut être re-

SEGTIOn I.. — CUAPITBE II. 5y

présentée par

fl-f-V^ E3-+-\/Â. E3-f-\/Â E^-hs/A a-hs/Â

> =r > îT î'^'î

26. L'équation x* — A = o, à laquelle se rapporte le théorème précédent, appartient à une classe d'équations remarquables qu'il est intéressant d'étudier. Nous nous proposerons, à ce sujet, la question suivante :

Problème. — Trouver les équations du deuxième degré à coefficients rationnels dont les racines se rfeVeloppent en des fractions continues teiininées par les mêmes quotients.

Si X désigne l'une des racines d'une telle équation^ l'autre racine (n^ 15) devra être de la forme

a.T -h b a'x-hb''

a, by a\ b' étant des entiers positifs ou négatifs liés par la relation

(i) ab'-^ba' = ±i.

Cela posé, soit — P la somme des deux racines, on aura

^ ajT -h b

a'œ-hb' ou

Vb'-hb

Jr'-H I FH : — | X -\ ^~: = O

ce qui doit être l'équation demandée ; mais pour que la somme des racines soit eifectivement égale à — P? il faut

que Ton ait

après quoi la condition (i) donne

58 COURS d'algèbre SDPÉRIEURF'

L'équaliop demandée est donc

P est une quaniîlé rationnelle quelconque, a est un nombre entier quelconque, enfin a' est un diviseur quelconque de a' dz I .

Les fractions continues dans lesquelles se développent les racines de l'équation (a) ont donc nécessairement la même période; d'un autre côté, d'après le théorème III, la période de l'une de ces fractions continues est inverse de la période de l'autre. Il en résulte que chaque période est une suite symétrique ou qu'elle est formée par la juxtaposition de deux suites symétriques, dont l'une peut se réduire à un seul terme. En effet, soit

^o> ^i> ^a> • • • »^ii— 1

la période dont il s'agit^ d'après le théorème III, ou pourra aussi considérer la période comme étant

.II peut arriver que les termes de cette seconde suite soient respectivement égaux aux termes qui occupent les mêmes rangs dans la première \ dans ce cas, la période est symétrique. Mais pour que les deux suites dont il s'agit puissent être considérées comme périodes de la même traction continue, il n'est pas nécessaire que les termes de même rang soient égaux, car on est libre de prendre un ^ terme quelconque pour origine de la période. La condition nécessaire et suffisante est que les termes de la suite précédente soient égaux aux termes qui occupent respectivement les mêmes rangs dans la suite

m étant un indice indéterminé. Cette condition s'exprimera donc par Tégalité

qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs o, i , 2 , . . . • (/i — i ) de l'indice k ; en conséquence, la période sera composée des deux suites

dans chacune desquelles les termes également éloignés des extrêmes sont égaux entre eux.

Remarque I. — Il faut remarquer que les racines de Téquation (2) donnent lieu à des fractions continues qui se terminent par les mêmes quotients, lors même que la quantité P serait irrationnelle. Seulement, dans ce cas, ces fractions continues ne sont plus périodiques, d'après le théorème II.

Remarque II. — Nous savons que l'équation {2) comprend comme cas particulier l'équation x^ — A = o, où A désigne un nombre entier. Pour la réduire à celte forme, il faut faire P = o et

— = A ou a'^A — a^ = ±ii

ce qui prouve que Téquation indéterminée

admet toujours des solutions entières, si le signe du second membre est convenablement choisi. Nous retrouverons plus loin cette propriété remarquable.

6o couns d'algèbre supérieuri^

Comparaison des réduites qui répondent à des quotients complets égaux entre eux, dans une fraction continue périodique*