Considérons Tirrationnelle du deuxième degré

qui est l'une des racines de Téquation

Dx^— sEo: -h F = o;

les nombres D, E, F sont des entiers positifs ou négatifs et Ton a

E^ — DF rrr A.

Soit x' Tun quelconque des quotients complets qui se reproduisent périodiquement dans le développement dq x, on aura

E' et ly étant des nombres entiers essentiellement positifs. On peut faire commencer la période de la fraction continue au quotient incomplet contenu dans x\ et nous la désignerons par

enfin, nous représenterons par - la valeur de la fraction

continue formée avec ces mêmes quotients, en sorte que l'on aura

Cela posé, nous nous proposons de trouver la loi des ré-

SECTION I. — CHAPITRE II. 6l

duites

//\ Po *i P»

de la fraction continue égale k x, qui répondent, dans les périodes successives, au quotient complet jcf,

K Si l'on représente généralement par -^ celle des ré-

P« duites de x qui précède p-^» on aura d'abord

iffx *n—i^ "t~ "n — I

et il est évident que la formule (5) donnera la valeur de

r^ si Ton y remplace xf par -; on aura donc

P» a.Pn i -f- 6 P;,ï

Le second membre de cette formule est une fraction irré- v ductible ; car si Ton retranche ses deux ternies l'un de l'autre après les avoir multipliés respectivement par Q„i etP„,, puis parQ'„i etP'„, , on obtient pour différences les nombres a et S qui sont premiers eniie eux. 11 résulte de là que l'on a

,^, ( P»=:aP„.,-f-6P;^.,

{ Q,r=aQ^.-l-6Q„-x.

Si l'on porte dans la formule (5) les valeurs de P;^j et de Q[n-^x tirées des équations (6), il viendra

P,-(a-ea:^)P,,.

d'où l'on tire

Donnons, à ii les valeurs i, 2, 3, . . .,n dans la formule (7), et multiplions entre elles les n égalités ainsi obtenues, on aura

(8) P„-Qa^ = (Po-Qo^) (a-6ar')».

Si Ton fait, pour abréger,

puis que Ton désigne par «„ et j^„ deitx nombres rationnels définis par Téquation

(10) Un—VnSl^= {Ui — Pt y/Â)",

la formule (8) donnera, en remplaçant x et x' parleurs valeurs (1) et (2),

' Si l'on effectue les calculs, qu'on égale de part et d'autre les parties rationnelles et les parties niultipliées par v'A,

qu'on remplace enfin le rapport — - — par sa valeur — F,

on aura

Le développement de la formule (10) fera connaître les quantités i/^ et i^^, après quoi les formules (12) donneront les valeurs de P^ et Q„, et résoudront ainsi le problème que nous nous étions proposé.

28. Considérons les expressions des quantités Uj et Ui qui nous sont données par les formules (9). Si l'on re-

présente par - la réduite qui précède - dans le dévclop-

pcment du quotient complet x^, on aura

g^;-^-^, d'où 6^'^(«6')j;'-a':=0;

remplaçant od par sa valeur — — — 5 et égalant ensuite

à zéro la partie rationnelle, ainsi que la partie multipliée par Va, il vient

6 ^-t Ë!! (a — 6'V|^ - a' = o, 2 6 1-' - (a — 6') rz: o, doù

Au moyen de ces relations, les formules (9) deviennent

et comme la difTérence aS' — Sa' est égale à + i , on aura

(i5) «î — Aff=±i.

Nous pouvons conclure de tout cela une propriété remarquable, qui consiste en ce que les quantités u^ et Vy^ ont Jes mêmes valeurs, quel que soit le quotient complet à partir duquel pn fait commencer la période, pourvu que le nombre des quotients que Ton fait figurer dans cette période reste le même. En effet, supposons que Ton fasse commencer la période au quotient complet qui vient après a/, la période des quotients incomplets sera

désignons par -r^ la fraction continue formée avec ces k

quotients, et par jj- celle qui est formée avec les mêmes

64 COURS d'algjbbre supérieure.

quotients, sauf le dernier. Il est évident que l'inverse -r

de la seconde fraction est égal à j — û , et que l'inverse — ' de la première est égal à ^ -, — a. On a donc

6\ a — gg 6, __{afl-f a')— ^(6âr-f-6')

et, par conséquent,

«, = 6fl-h6', 6',= a — êfl,

d'où l'on tire

on a d'ailleurs

ai €^ — 6, ol\ = a 6' — 6 a' =: dtz l .

Ces dernières formules montrent que les valeurs de u^ et de f'i, données par les équations (i4)î ^^ changent pas

quand, au lieu d'employer la fraction - qui répond au

quotient complet x'^ on se sert de la fraction analogue

■^ relative au quotient complet qui vient après a/.

Je dis maintenant que u^ et f^i sont des nombres entiers ou des fractions ayant pour dénominateur 2. La première des formules (i4) montre qu'il en est ainsi à l'égard de

Ui] quant à ^'i, sa valeur est =^7 : soit - ce que devient

cette fraction lorsqu'on la réduit à sa plus simple expression. Le nombre D' est un multiple de g"; ensuite les formules (i3) montrent que 2E' est divisible par g, et que 4 A l'est par g'*; mais on a vu (n° 18) que D' et E' ne peuvent avoir un diviseur commun 0, dont le carré 6* serait un diviseur de A 5 il en résulte que notre nombre g est nécessairement c'gal à i ou à 2. Si g" est égal à i , f^j

est entier, et «j Test aussi à cause de la formule (i5). Si g" est égal à 2, les nombres Wj et i'i ont l'un et l'autre le dénominateur 2^ en effet, dans Thypothèse où nous nous plaçons, D' est pair, et si Ui était entier, E' serait divisible par 2, à cause des formules (9), et A le serait par 4, à cause de la formule (i5). Or, il est permis de supposer, comme nous l'avons déjà dit, que les trois nombres

— ) — et -7 ne sont pas tous les trois entiers: donc Je

nombre u^ ne peut'être entier quand Vi est fractionnaire.

Ce que nous venons de dire des nombres i/i et Vj a lieu également, quel que soit n à l'égard des nombres u„ eii^n' On voit immédiatement, par la formule (10), que w„ et i^„ seront entiers si m, et i^i sont eux-mêmes entiers. Supposons donc que ces derniers nombres aient le dénominateur 2. Si l'on fait successivement « = 2 et /i = 3, dans la formule (10), il viendra, en ayant égard à la formule (i5),

«2 — ï^a \/A =: ( 2 « Jlt I ) — 2^^Ç^^A,

«3 — «^3 v/Â= (4.w;db3«,) — (4«?±i)^'i ^.

On voit que si Wj et 1^1 sont de la forme k -\ — ^ k étant

un entier, u^ et (^, seront de la même forme, tandis que u,

et v^ seront entiers. D'ailleurs, si l'on fait a* = 3f/. -h v,

V étant l'un des nombres o, i, 2, on a

comme i/j et ^^3 sont entiers, «3^ et v^^ le sont aussi 5 d'ailleurs u^ et i^^ ne peuvent avoir que le dénominateur 2,

puisque v est <^ 3 5 donc il en est de même de z/„ et de v„. On peut même ajouter que les nombres w„ et »^„ sont tous I. 5

66 COURS D^ALGEBKE 9UPÉEIBUKE.

deux entiers ou tous deux fractionnaires. En effet, si l^on multiplie Féquation (lo) par celle que Ton obtient en y

changeant V^A en — ^A, on aura, à cause de la formule (i5),

II est évident que si i^» est entier, ii„ Test aussi. Si i^n est fractionnaire, w„ ne peut être entier, car s'il Tétait, A serait divisible par 4? d'après la formule (16)*, alors »t serait entier d'après la formule (i5), et i^i le serait aussi,* comme on l'a vu plus haut. Notre hypothèse est donc inadmissible, car f^„ ne peut être fractionnaire quand Ut et 1^1 sont entiers.

' Nous avons démontré que les valeurs de ii| et de Ui sont indépendantes du quotient'à partir duquel on fait commencer la période de l'irrationnelle a: = — =r- — • On peut ajouter que ces quantités sont les mêmes pour les deux irration*

nelles — - — 9 — — — > racines de la même équation à

coefficients entiers. En efTet^ d'après les formules (14)9 les valeurs de Wi et de i'i ne dépendent que de la somme a -t- 6', puisque la différence a& — 6a' est égale à dt i . Or,

quand on passe de l'irrationnelle — --^ à Tirrationnelle conjuguée zt — 5^' '®s fractions ^j ^ doivent être

remplacées respectivement par -,» j, ? en sorte que les

nombres a et 6' restent les mêmes ; donc Mj et v^j n éprouvent aucun changement.

29. Nous allons examiner actuellement ce qui arrive quand on donne à l'entier n deè valeurs négatives dans les formules (10), (11), (la). Si Ton change n en — n, la

^ SECTION I. — CHAPITEE H. 67

formule (lo) devient

ou, à cause de la formule (i5),

OD a donc

(17) tt„=(±i)-w„, f„ = — (±i)«r„.

D'après cela, on aura, en changeant aussi n en — n dans les formules (12),

( (± 0- P„ .= Po «„ - (EPo - FQ.) p„ ^' 1 (±i)"Q„=:Qoa»~-(DPa~EQo)c'„.

Ces formules (18) définissent les nombres (dt !)"?„, (zfci)"Q„ dont les expressions se déduisent respectivement de celles de P„^ Q„ par le changement du signe de (^„; on les combinant avec les formules (12), on obtient

2M„ étant entier, on voit que P„ et Q„ sont comme P„ et Q„ des nombres entiers.

Si Ion divise les formules (18) pari^„ et que Ton fasse usage de la formulé (i), il viendra

or Téquation (16) donne

d'ailleurs les nombres i/„ et Un croissent indéfinimeut

avec riy donc — a pour limite \/A quand n tend vers l'infini. On voit alors, par les formules (19), que les valeurs absolues de P„ et de Q„ croissent aussi indéfiniment avec «, et que pour « = 00 on a

Jim -r — = — 9

c'est-à-dire que l'expression —^ converge vers l'irration-

nelle conjuguée de x. Si l'on retranche la seconde équation (19) de la première, après l'avoir multipliée par

^ -> on trouvera, en faisant usage de la formule (20),

Po -1^ Qo

Un .-

multiplions cette équation par la seconde équation (19), et faisons ensuite /i = 00 ^ il viendra

lim (± 0" Q^ [?„ - 5^^ Q^]

Le second membre de cette formule est égal à,

L^[(DPo-EQa)'-AQ;],