Soit

/(») r=A.»"-f- A,a"-'-h...-hA«-.,5H-A«, on aura, en remplaçant z par a H- A,

/(z-hÀ) = Ao(z4-A)™-+-A,(i-f-A)'"-'-l-...-l-A;„^,(2-h/i)-l-A„.

Si l'on développe les diverses puissances de z -\- h qui figurent dans cette formule et qu'on ordonne, suivant les puissances croissantes de A, il est évident que le premier

terme seray(z), et que le coeflScient de h^ sera

l.2..fA 12. ..fA m li..

g6 COURS d'algèbre supérieure.

Nous représenterons par

les coefficients respectifs de

I 1.2 I . 2 • . fA I . 2 . . . //i

dans le développement dey*(z-f-A), en sorte que l'on aura

f(z+h) =f[z) + ^/'(.)-+ -^Z" («) + ... + — ^/- (.) et

f"[z)~m[m — ijAcZ"^»-»-. • • + p(p — 0 A^^z'*'~^ H- ... -f- 2.A„î,

/'*(z) = ;w. . .(/îi — fx-h i) Aoz"*""^ -h...-f-p(fA — i)...2. I A^^,

/''^(^z)z= m (m — i). . .2, 1 . Ao.

Chacune des fonctions

à partir de la deuxième, se forme d'après la même loi au moyen de la fonction précédente, savoir^ en multipliant chaque terme de celle-ci par l'exposant de z qui y figure, et en diminuant ensuite cet exposant d'une unité.

La fonction J' (z) est dite la dévissée du premier ordre y ou la première dérivée, ou simplement la dériuée Aef[z). Pareillement/" [z)^ qui est la dérivée àef (z), est dite la dérivée du deuxième ordre ou la deuxième déiivée de/(2)5 et ainsi de suite jusqu'à /'" [z) qui sera la dérivée du m*'"*' ordre ou la m'*"** dérivée àef[z). Une fonction entière du degré m a ainsi m dérivées successives dont les degrés sont respectivement m, w — i>- • • i i? o,

en sorte que la m"*"* dérivée est égale à une simple constante. '

D'après ce qui précède, lorsque la variable z reçoit l'accrçissement h\ la fonction f(z) prend un accroissement qui peut être mis sous la forme

en posant, pour abréger,

On a donc

(3) /(l±^WIl)^^(.)^.^

el comme 6 teud vers zéro en même temps que h, on voit que la dérivée d'une fonction entière f(z) est la limite vers laquelle tend le rapport

lorsqu'on fait tendre h vers zéro.

En outre, quelle que soit la valeur attribuée à 2, on peut assigner une quantité positive r (u° 40, coiollaire II) telle que, pour toutes les valeurs de h dont le module est inférieur à r, le module de la fonction e soit inférieur à une quantité positive donnée n aussi petite que l'on voudra.

Principe fondamental de la théorie des équations.