Lemme. — Soit
une Jonction entière d^une variable z, d*un degré quelconque m, et dans laquelle les coefficients A^^, A;,..., A,„ I. n
lOO COURS D'ALCtsUE SUPÉRLCCnE.
assigner. Donc, pour toutes les valeurs de p supérieures à
zéro et inférieures à la plus pelîle des deux quantités ^^-^^
v^« et r, on aura
--<i ou R<îl.,
ce qui démontre la proposition énoncée.
Deceletnmo résulte immédiatement la démonstration du principe fondamental de la théorie des équations, lequel consiste dans le théorème suivant.
44. Théorème I. — Si f(z) désigne une Jonction entière de «, d\in degré quelconque tw, et dans laquelle les coefficients soient des quantités données réelles ou imaginaires y r équation f\z) = o a une racine réeile ou imaginaire^
En effet, si Ton donne à la variable z toute la série des valeurs réelles ou imaginaires, il est évident que le module de f[z)^ qui est essentiellement positif, ne pourra pas s*abaisser au-dessous d'un certain minimum. Ce minimum ne peut répondre à une valeur infinie du module de jz, car nous savons que le module de f(z) devient infini en même temps que celui de z. On voit alors que le minimum du module de f{z) ne peut être que zc»ro, car s'il avait une valeur R^^ difiërente de zéro et répondant à la valeur Zo de 2, on pourrait trouver, d'après le lemme qui précède, une quantité h qui donnerait
mod/(zo-h h) <R«,
ce qui implique contradiction.
Il existe donc une valeur finie de z telle, que l'on ait mody*(-3) = o; cette valeur est dite une racine de l'équationy^(^) = o.
Remarque. — Si l'on remplace la variable z par
SECTION I. CHAPITRE lll. lOl
x-i- ijy X eiy désignant des variables réelles, la foncûon f{z) pourra se mettre sous la forme
î(^>/) ®' ^ (^^j) désignant des fonctions réelles de x^y et de quantités réelles cçnnues.
Le module àef[z) sera la racine carrée de la somme
et il ne pourra s^annuler que si chacune des fonctions (f et if s'annule. Il s* ensuit que si tf + i^ est une racine de l'équation y*(z) = o, les deux équations
(p{^, j) = o, '^[xyy)=zo
admettront le système de solutions communes x = a , j = 6. Si l'on suppose que jcetj^ représentent des coordonnées rectangulaires, les équations précédentes seront celles de deux courbes ; a et 6 seront les coordonnées d'un point commun à ces courbes. On voit que la recherche des racines de l'équation ^(z) = o équivaut à la recherche des points d'intersection réels des deux courbes dont nous venons de parler, et ces points d'intersection sont alors désignés sous le nom de points racines,
45. Du théorème fondamental que nous venons d'établir résulte la proposition suivante :
Théorème II. — Une Jonction entière de z du degré m est égale au produit de m facteurs linéaires multiplié par le coefficient de la plus haute puissance de z dans h fonction.
Soit la fonction
/(«) = Ao 2" -h A, z*"-' -f- . . . -h A„-, z -+- A,
et désignons par aj , ^g, . . . ,«,„, m quantités réelles ou imaginaires quelconques. Divisons f{z) par z — r/,
102 COURS d'algèbre SUPÉTliKliRE.
tît représentons par fi{z) le quotient, par R, le reste de cette division; divisons de mèmefi(x) par z — a^ et nommons Ji(z) le quotient, Rj le reste de cette deuxième division; continuons de la même manière jusqu'à ce que nous ayons employé le diviseur z — a„, qui fournira le quotienty*„(j&) et le reste R^. Il est évident que les polynômes f(z)j fi{z)^ yj(z), . . . , sont des degrés respectifs w, /w — i , m — ► a, . . . , et que, dans chacun d'eux, le coefficient du premier terme est A^, d'où il suit que ffn(z)^ qui est du degré zéro, se réduira à A^. On aura, d'après cela,
/iz)=:(z-a,)/,{z)-{-K,, /,{z)z={z — a,)f,{z)'h'R,y
Si Ton ajoute toutes ces égalités^ après les avoir multipliées respectivement par les m facteurs
1, (i — tf,), (z— ./!,)(« — tfj),. . ., («— «,)...(« — «m-,),
et que Ton remplace fm(^) par sa valeur A^^, il viendra
/(z) rz: Ao (z — âf,) (z — a,) • • -(^ ^ ««)
-f-R3(z — /ï,)(z — ûj)-|- R2(z — âf.) -f-R,.
Dans cette formule, a^, /it, . . . ,a,„ désignent des quantités quelconques égales ou inégales entre elles. Mais nous savons que l'équation y (z) = o a une racine, et nous pouvons supposer que aj soit cette racine : on aura alors Ri = o, puisque Ri est la valeur que prend y (a) pour z == ai. Pareillement l'équation f^[z) = o a une racine; nous supposerons que a^ soit cette racine et Ton aura Rf = o. En poursuivant ainsi et en supposant que
àECTlOM I. — CHAPITRE 111. 1 o3
a^^a^y, . . ^a^ soient respectivement racines des équations/,(z) = o,/8(z) = o,. . . ,/„«i(«) = o, on aura Rj = o, R4 =: o, . . . ,R,„ = 0, et la formule précédente deviendra
On voit que la fonction /( a; ) ne peut s'annuler que si Toit' donne à z Tune des m valeurs «i, û,, . . . , /7,„ parmi lesquelles il peut s'en trouver plusieurs égales entre elles; il • s'ensuit que :
Une équation algébrique du degré m ne peut auoir * plus de m racines.
Si, parmi les quantités a,, a,» • • • >^w il y en a ]u qui soient égales à ai^f[z) admettra le diviseur [z — a,)'* et l'on dit alors que V équation f[z) = o a fz racines égales à a^ . Au moyen de cette convention on peut énoncer la proposition suivante :
Une équation algébrique a autant de racines qu il y a d* unités dans le nombre qui exprinie son degré,
C0ROLX.AIRE I. — Si ^1, a^, . 4 . ,«,„ désignent les ni racines de Inéquation
la somme des racines est égale à — — % et générale^
Ao
rfient la somme des produits n à n des ni racines est égale à ( — i)" ~; c« particulier le produit des m ra-
Ao
cines est ( — 0'" "T*
On obtient effectivement ces égalités cp eflertua«t le produit Ao (2 — '^'i) [z — a«) . . .[z — a^) qui doit repro- ' duire exactement le premier membre de l'équation pro-
io4 COURS d'algèbre supérieure.
posée, et en écrivant que les coefficients des mêmes puissances de z sont égaux de part et d'autre.
Corollaire II. — Si les coefficients du polynôme f{z) sont réels, et quepamdles facteurs linéaires fie ce polynôme il y en ait n qui soient égaux à z — (p-H'V)» g étant différent de zero^ il y aura également n facteurs linéaires de f[z) égaux à z — [p — iq); et en conséquence le polynôme f(z) contiendra le facteur réel[(z — p)* + q*y.
En effet, le polynômey(z) étant décomposé en facteurs linéaires, on a
si, dans cetl^ identité, on change i en — i, le premier membre ne changera pas puisque ses coefBcients sont réels *, on aura donc
/{z) = A,{z — a\ ) (z — a\). . . (z — aj,
a'n désignant généralement ce que devient a„ quand on remplace i par — /. Il résulte de là que si, parmi les facteurs linéaires de^fz), il y en a un ou plusieurs qui soient égaux à z — [p ■+- iq)^ il y aura précisément un même nombre de facteurs égaux h z — (p — iq).
Corollaire III. — Si la fonction entière f(z) du di^gré m s^ annule pour dii^erses valeurs de z en nombre supérieur à m^ les coefficients des di\^erses puissances de z dans f[z) sont identiquement nuls.
En effet, le coefficient de la plus haute puissance de z est nul, puisque autrement la fonction y (-z) ne pourrait s'annuler que pour m valeurs de z. La fonctiony'(z) se réduit ainsi au degré m — i ; le coefficient de z'""'^ doit être nul pour la même raison, et ainsi de suite.
SECTIOU I. — CHAPITRE 111. lOD
Limites des modules des racines,
46. U est facile d'assigner deux limites entre lesquelles soieQt compris les modules de toutes les racines réelles ou imaginaires d'une équation. Soit
une équation donnée dont le premier membre a pour valeur
f(z) =rz Ao 8^ -h A, î"-' -f- . . . -f- k„^x Z-\- k^.
Si Ton pose
zzzrp(cos« -h /sin«), An=:a„(co8a„-h isina„), I puis
l*=ff,p"cos(/ww-|- ao)-f-. . .-l-fl„p"cos(//î —/?« -f-an)^. . .4- a^co%(Xmf Q=fl,p"sin(/ww -f-a«)-h. . . -h «„p'»sin(/7ï ~ /i« -f- a„) -t- . . .-^^/„sina„,
! le carré du module R àe f[z) pourra être mis sous la
forme
R'= [Pcos(/ww -f- ao) -h Qsin (/ww -h ao)P -f- [Psin(wi« -f- oo) — Qcos(/ww -h ao)]'j
si donc on fait
V = Pcos(/w» 4- ao) -f- Qsin(/w» -h ao) = «Dp'"-l-aip'"~'cos(w-|-ao — a, )-l-...-hrfïa,cos(ww+ao — aj,
on aura, pour toutes les valeurs de p et de w,
Désignons para le plus grand des modules âEi,/Zsf..,,^M, et ajoutons à V la quantité
f7(p'"-'-4- p'"-2-4-. -t- i) — rt
lo6 COURS d'algèbre SUPÉRIEL'IIE,
qui est identiquement nulle, il viendra
[a -h a,ros(&) -I- a» — a, )]p"^' -+-... -f- [a -f- <ifl,cos(//i» -4- ao — a«)]l
Pour toutes les valeurs de p qui satisfont à Tinégalité
le polynôme V sera supérieur à zéro, et il en sera de même j
du module R. Donc la quantité i H ou -^ est une
limite supérieure des modules des racines de l'équation proposée. Pour avoir une limite inférieure des mêmes
modules, il suffît de changer z en ~ dans Téquation proposée, et de chercher une limite supérieure des modules de Téquation transformée. Il est évident que si aMésigne le plus grand des modules a^, ai , . . . ya^.i , la quantité
— — - — sera une limite inférieure des modules des racines.
Dé terminât io fi du produit des facteurs linéaires cornmuns à deux polynômes donnés.
