Soient

U z= AoZ"» H- AiX*"-' -+-... -h A,,^, z 4- km, V = B. 2" 4- B. 2"-' -t- . . . -f- B„, z -I- B„

deux fonctions entières de z^ l'une du degré /zi, l'autre du degré n, et dont les coefficients sont des quantités quelconques données. Chacune de ces fonctions peut être décomposée en facteurs linéaires, et parmi les facteurs de U il peut s'en trouver quelques-uns qui appartiennent

SECTION ï. — CHAPITBE III. lOJ

aussi à V. Nous désignerons par D le produit de tous les facteurs linéaires égaux ou inégaux communs i U et à V, et ce produit D sera dît le plus grand commun diviseur des polynômes U et V. Dans cette recherche, le» coefficients Aq et Bq des plus hautes puissances de z^ dans U et dans V, ne jouent évidemment aucun rôle, et on peut les réduire n l'unité en divisant les coefficients de U par A,^ et ceuîc de V par B^,.

Supposons, pour fixer les idées, que m ne soit pas inférieur à* n. Si le polynôme V divise U exactement, il sera évidemment le plus grand commun diviseur demandé; mais supposons qu^il n'en soit pas ainsi; désignons par Q le quotient et par Rie reste de la division. On aura

U — VQ-I-R;

si les coefficients A^ et B^ n'ont pas été réduits à Tunité, l'opération que nous venons d'exécuter a pu introduire des coefficients de forme fractionnaire, ce qui n'a aucun inconvénient au point de vue théorique; mais on pourra les éviter, si l'on veut, dans les applications, en multipliant U par un facteur constant convenablement choisi, avant de commencer la> division. Cela posé, tout polynôme qui divise V exactement divise aussi le produit VQ, et s'il divise en même temps l'un des polynômes U et R il divisera aussi le second. Il résulte de là que les polynômes U et V admettent les mêmes diviseurs communs que les po* lynômes V et R; donc, en particulier, celui des diviseurs communs à U et V qui a le degré le plus élevé coïncide avec celui des diviseurs communs i V et R qui a le plus fort degré; en d'autres termes, le polynôme D que nous cherchons est le plus grand commun diviseur des polynômes V et R.

Nous diviserons donc V par R, et si la division se fait

i<>8 COURS d'algèbre supérieure.

exactement, R sera le plus grand commun diviseur demandé. S'il n^en est pas ainsi, désignons par R^ le reste de la division de V par R; le raisonnement que nous avons fait plusthaut nous prouve que le polynôme demandé D sera le plus grand commun diviseur des polynômes R et Ri. On peut coniinuer de la uiême manière jusqu'à ce que l'on arrive à un reste R qui soit indépendant de ^,

et cela ne peut manquer d'arriver puisque les degrés des restes successifs R, Ri , . . . ,R„ __ , , R„ forment une suite

décroissante. Si ce reste constant R est zéro, le polynôme demandé D sera égal à R„ \ mais si le reste canstant R n'est pas nul, les polynômes proposés U et V

n'auront pas de diviseur commun, et Ton dit alors qu'ilssont premiers entre eiix^ ou que leur plus grand commun diviseur est l'unité.

Delà résulte cette importante proposition :

Théorème I. — Si deux équations U = o, V==o ont [t. racines communes égales ou inégales^ on pourra former par de simples divisions algébriques une équation D = o ^e degré yL qui admettra ces [l racines,

48. On peut tirer de ce qui précède une autre proposition qu'il convient de remarquer, savoir :

Théorème II. — *Sî U et V sont deux fonctions entières de z^ sans dix^iseur commun^ on pourra trouver deux autres fonctions entières de z^ X et Y, telles que

Von ait