UX — VY = I

iio COURS d'alg£;bre supérieure.

Des fonctions entières dans lesquelles plusieurs facteurs

linéaires sont égaux*

49. Théorème I. — Le plus grand commun div^iseur entre une fonction entière f(z) et sa déri%^ée f'(z) est égal au produit des facteurs linéaires multiples qui figurent dans f{z), elei^és chacun à une puissance moindre d'une unité,

La fonction f(z) élant décoii\posée eu facteurs linéaires, soii

on sait que la dérivée y'(z) est le coefficient de la première puissance de h dans le développement de ]a fonction

f{z-^ Â) = [z — Hi -h h)(z — a-j-h Jt). . .(z— a« ^- //);

le quotient ^; ; sera donc le coefficient de la première puissaucc de h^ dans le développement de

/J!^^ f.^Jl) (,-.£).. .(.^^V

et l'on aura par suite

Si, parmi les racines «i, a^^ . . . .a^^, il y en a m^ égales à ai, ms égales à as, ... , m^ égales à a„, il viendra

les nombres Wj,' r/ij,. . . , m„ dont la somme est m élant égaux ou supérieurs à Tunilé. Le second membre de celte

SECTIOJM 1, CHAPITRE 111. 1 I 1

égalité se réduit à une fraction dont le dénominateur est

et dont le numérateur

^ (z) r= m, (z — «,)...(« — éin) -4- ot»(3 — a,)...' z, — a^^ -f-. ..

n*est pas divisible par l'un des facteurs de 9(2), puisque toutes les parties de ^ {z) contiennent ce facteur à l'exception d'une seule. L'égalité précédente donne .

eiy d'après ce que nous venons de dire, elle montre que

Ùfi-l^- «,)"'-! (3 ^ a,r*-' .,.{z- a^fn-^

ff(z)

est le plus grand commun diviseur des deux polynômes f(z) eif [z). Le degré de ce plus grand commun diviseur est #»! 4- TWa + . . . -H m„ — n ou m — n.

50. TnÉOKEME IL — Si une fonction entière f[z) a des facteurs linéaires multiples^ on peut obtenir^ par de simples dii^isivns algébriques^ le produit des jacleurs linéaires qui figurent dans f(z) a^ec un même exposant.

D'après ce qui précède, si f{z) et sa dérivée y (s) n'ont pas de diviseur commun, le polynômey(2) n'aura que des facteurs linéaires simples. Mais siy(^) exf (z) ont un plus grand commun diviseur ^i [z)^ le polynôme f[z) aura au moins des facteurs doubles^ et, dans tous les cas,^t [z) sera le produit des facteurs linéaires Aef^z) élevés chacun à une puissance moindre d'une unité. On peut raisonner sur/i (ij), comme nous venons de le faire à l'égard àef(z) •, supposons généralement qu'on trouve

112 COURS B^ÀLGÈBRE SUPÉRIEURE.

un plus grand commun diviseur yi (2) à/, (z) et à sa dérivée, qu'on en trouve aussi un/g (z) à/, (z) et à sa dérivée, etc., qu'on en trouve un enfin J^i [z) à /„, (z) et à sa dérivée, et que ce dernier plus grand commun diviseur soit premier avec sa dérivée. On conclura de là que le polynôme /(^) a des facteurs linéaires multiples de Tordre w, maïs qu'il n'en a aucun d'un ordre supérieur à n. En outre, si l'on désigne généralement par Z le produit des facteurs linéaires def(z) d'ordre |x, pris chacun une fois seulement, il est évident que l'on aura

Jn-^3 (2) = Z/, Z/t i Zfl— j ,

Il — 2 rwn — 3

Jii^) — Z„ Z„, , . . Z3 ,

Ji[Z) zn: Zn Zo i...ZjZ2,

/(*) =z,"zr'...zjzîz..

Si l'on fait

on aura, en divisant chacune des égalités que nous venons d'obtenir par celle qui la précède, et en conservant la première d'entre elles.

Viï — ^/i ^n—i • • • Z;,2 , X» ~~ "n ^/i~l • • • Zj Zf .

Enfin, en divisant encore chacune de ces équations par

SEGTIOlf I. — CHAPITRE III. Il3

celle qui la précède, il vient

7 fx y Q«-» 7 Q» y Qi .

d'où il suit que les polynômes Zi, Zi,.*** Z^ s'obtiendront par de siuiples divisions.

D'après l'hypothèse que nous avons faite^ il y a certainement des facteurs linéaires de l'ordre n dans f{z)^ mais ceux des ordres inférieurs peuvent faire défaut, et, dans ce cas, les valeurs de Zu^i, ou de Z„j, ou etc., doivent se réduire à des constantes.

CoKOLLAiBE. — La résçlution d'une équation quia des racines égales se ramène à celle d^une ou de plusieurs équations qui nont que des racines simples.

Propriété des-dérii^ées des fonctions entières,

51. Considérons d'abord une fonction entière y (^) dans laquelle les coefficients soient des quantités réelles, et supposons que la variable z reste réelle. Si Ton donne à cette variable une valeur particulière z^ pour laquelle la dérivée y (z) ne soit pas nulle, et que l'on pose

on pourra (n° 40) assigner une quantité positive r telle, que pour toutes les valeurs de h comprises entre — r et -h r, le premier membre de la formule précédente ait le signe de/"' (z^). Il s'ensuit que si/' (zo) est une quantité positive, la fonction /(z) croîtra constamment quand on fera croître z depuis Zo — r jusqu'à Zo -f- r. Au contraire, si /'(^o) est négative, /*(z) décroîtra quand z croîtra de «0 — r k z^-h f^' De là résulte la proposition suivante :

Théorème I. — La fonction entière f[z) supposée I. 8

Il4 COURS d'algèbre SUFÉniEURE.

réelle croît auec la variable réelle z^ tant que la dénuée f (z) reste positwe, et elle décroît quand on fait croître z, tant que la déris^éej' [z) est négatis^e.

Il faut remarquer que, z croissant de — oo à -h oo , la dérivée y^' (z) peut s'annuler une ou plusieurs fois, mais celte circonstance ne peut être Toccasion d'une difficulté. Supposons, par exemple, que/*' [z) s'annule pour z = Zo, et prenons une quantité g assez petite pour que Zo soit la seule racine de /' (z) = o^ comprise entre z© — g et Zo-h-g] désignons en même temps par h une quantité positive inférieure à g* et aussi petite d'ailleurs que Ton voudra. Le théorème précédent s'appliquera sans difficulté, quel que soit A, aux valeurs de z comprises entre Zo — g' et Zo — A ou entre Zo + h et Zq-+- g-^ or, ces deux intervalles se succèdent à la limite quand on fait A = o. A l'énoncé qui précède, on peut, si l'on veut, substituer le suivant :

La fonction entière f[z) supposée réelle croît av^ec la variable réelle z, tant que la déri\^éef' (2) n^est pas négatii^e, et elle décroît quand on fait croître z, tant que la dérivée f [z) n est pas positii^e.

52. Nous allons établir actuellement un théorème analogue au précédent et qui se rapporte au cas général où les coefficients de la fonction y"(2) sont des quantités quelconques réelles ou imaginaires, et où la variable reçoit aussi des valeurs quelconques.

Posons

z =z p(cos&) -h /siow),

et soit

/(z) = Ao^'"(cosww 4- isin/Ti») -|- . , ,h- A^.

La dérivée y (z) sl pour valeur

d'où Ton conclut

zf (z) = mAoZ"* -h (m — i) A, «•"-' 4-. . •;

d'un autre côié y f(z) est une fonction entière dfe la variable réelle jO, et si, en se plaçant à ce point de vue, on nomme fi(z) la dérivée de ^(z), on aura

La comparaison des deux formules précédentes donne

z/'{z) = p/,(z), d'où /'{z)=^/,(z).

D'après cela, la formule

/{z -4- h) -/(z) = hf {z) -I- /<.

du n° 42 deviendra

t désignant toujours une quantité qui s^annuie en même temps que h.

Cela posé, supposons que l'accroissement h donné à z ne change pas le module de cette variable et qu'il ait seulement pour effet d'accroître l'argument w de la quantité d, on aura

z 4- ^ rzzp [cos(ti.> -+- ^) -+- /sin;w 4- ^)]

= p(cos»-h «sin») (cos5 -+- /sin^),

d'où d'on tire facilement

- = sin 0 { i — tan« - 0 I î

la formule (i) devient alors

f(z^h) -/(«) =z p sin^ (/ - tang i $\ [/. (z) -l- - e 1 ,

1X6 COURS D^LGÈBRE SVPÉHIEURE.

(2) /(^^A)-/(3)^psin5[i/(2)+^],

en posant

— tang - S, fi [z) H- ( ' — tang- ^ j - s.

Le module de - est a sin - <?•, donc , la valeur de z étant

donnée, on pourra prendre â assez petit en valeur absolue pour que le module de h soit moindre qu'une quantité donnée quelconque. Dès lors la même chose aura lieu à regard de e, et aussi à l'égard des modules des deux parties qui composent la valeur dé y]; donc enfin^ si la valeur absolue de d est suffisamment petite, le module de yi sera inférieur à une quantité quelconque donnée r. Posons

/(z)=rP + /Q,

/(z -H /i) = (P -f- AP) H- I (Q -+- AQ), >I = a -h iê,

l'équation (2) deviendra

AP 4- «■ AQ = p sin^ (-^ Q' -h /P') -H p sin^(a -4- /6),

et elle se décomposera dans les deux suivantes :

AP=:(— Q' -l-a)psin^, AQ=r(H-P' -h6)psin5.

Puisque le module de a + 6/ est inférieur à r tant que la valeur absolue de $ reste au-dessous d'une certaine limite, a et 6 seront compris entre — r et -h r. D'ailleurs r est aussi petit que l'on veut, donc, si P' et Q' ne se réduisent pas à zéro, les quantités AP et AQ seront respectivement de même signe que — Q' sin J et -f- P' sinS. De là résulte le théorème suivant :

Théorème 1T. — Soit f{^z) une fonction entière de

la variable imaginaire z ^=z p (cos « -f- / sîn &>) 5 posons y(z) = P4-iQ, P et Q étant des fonctions réelles et entières de p qui dépendent aussi de V argument w, et désignons par P', Q' les dérii^ées des polynômes "P et Q prises par rapport au module p. Si Von attribue à ce module p une valeur déterminée et que Von fasse croître

V argument co rfe o à 27r, la fonction Q croîtra tant que

V sera positivée et elle décroîtra tant que V sera néga^ tive. Au contraire y la fonction P décroîtra tant que Q' sera positivée et elle croîtra tant que Q' sera négatii^e.

Théorème de Caucky.

S3. La variable imaginaire

(i] z = x-h if

peut être figurée géométriquement (n° U) par un point mobile M ayant pour abscisse a:, et pour ordonnée j^, relativement à deux axes rectangulaires fixes Ox et Oy. Si p et w désignent les coordonnées polaires du même point, on aura

X =z p cosfii>, y = p sin w,

et, par suite,

(2) z=: p (cos » 4- « sin w),

en sorte que p est le module et ûi> l'argument de la variable imaginaire z.

En outre, si f(z) désigne une fonction entière de z d'un degré quelconque m dans laquelle les coefficients soient des quantités réelles ou imaginaires données, on aura, en remplaçant z par la valeur (i),

PetQ étant des fonctions réelles et entières des coordonnées X et y^ d'où il résulte, comme nous l'avons déjà

Xl8 COURS d'algèbre SUPâRIEVRE.

dit, que la recherche des racines de Téquation

équivaut à celle des points, pour lesquels on a simultanément

P=ro, Q=o,

et auxquels nous appliquons, pour abréger, la dénomination de racines.

Enfin, si le polynôme f(z) est divisible par la /z'*"** puissance de z — z^^ sans l'être par une puissance supérieure du même binôme, nous sommes convenu (n^ 45) de dire que réquatîony(z) =0 a /i racines égales à jzq ; on a, dans ce cas,

/(Zo)=0, /'(2,)=:0,..., /»-'(Zo) = 0,

mais la dérivée du w'^'"* ordre, y" [z) ne s'annule pas pour

54. Ces notions rappelées, nous nous proposons d'établir ici une proposition importante duc à Cauchy et qui constitue l'un des plus beaux théorèmes de l'Algèbre, La démonstration que nous allons présenter sera fondée sur le Icmme suivant :

Lemme. — Soient z z=z x •+- iy une ^variable iniagi^ naire etf[z) = P ■+- zfQ une fonction entière de z, d'huit degré quelconque m ^ P e/ Q étant des quantités réelles. Supposons que V équation f[z) =. o ait n racines égales à Xq-\- (y^o, n p ouvrant être égal à \^ et considérons le point G dont les coordonnées sont Xç^ ^^Jay relativement à deux axes rectangulaires Oo:, O^. Décn\fons une ci'r^ conférence du point G comme centre^ av^ec un rayon p suffisamment petit, et désignons par w l'angle formé ^ as^ec la direction Ox, par la direction du rayon GM^ de manière que cet angle soit nul quand GM a la direction

de Ox et quil croisse quand le rayon GM se nieut tou^ jours dans le même sens y en s^ élevant de Ox vers Oy, Cela posé y si le point mobile M, partant d'une position quelconque, décrit la circonférence entière pour retenir

à sa position première, c'est-à-dire si Vangle tù aug-

mente de' 2 7r, le rapport — ? qui pour chaque position du

point M a une valeur déterminée ^ s'annulera précisément autant de fois quil y a d'unités dans le nombre a/i, et, en s* annulant, ce rapport passera toujours d'aune valeur positivée à une valeur négalii^e.

On pourrait ajouter que le rapport -- devient infini un

nombre de fois égal à 2/z, et qu'à chaque fois il passe d'une valeur négative à une valeur positive; mais nous avons voulu réduire notre lemme à ce qu'il a d'essentiel pour l'objet auquel nous le destinons. Il donnera d'ailleurs le complément dont nous venons de parler, si on

l'applique à la fonction if[z). Faisons encore une re-

P marque importante : pour que le rapport— ait en chaque

point delà circonférence une valeur déterminée, il suffit que le rayon p ne soit pas égal à la distance du point z^ à l'un des autres points racines de l'équation ^(2) = 05 mais rien ne limite la petitesse de p et ce rayon se trouvera assujetti, dans notre démonstration, à être moindre que la plus petite des distances dont nous venons de parler.

I20 COURS D^ALGBBKE SUPÉRIEURE»

Posons

comme on a, par hypolhèse,

/(zo) = o, /'(z,) = o,..., /-'(z,)z^o,

et que/"" (z^) n'est pas nulle, la valeur def(z) ordonnée suivant les puissances de h sera

Si l'on désigne par p et w le module et Targumeut de la variable A, on aura

A zz: p (cosw H- /sinw) ; représentons en outre par C et a le module et l'argu-

ment de la quantité —^^ de manière que l'on ait,

pour toutes les valeurs 7i, « -H i , . . , , m de jut,

^ = C (cos « -f- / sin a ) ;

l'expression dej'(z) deviendra

(/(z) = C„p'»[cos{/i&)-ha„) -hisin(/iw -ha„)]

' C„p'"[cos(mw-ha«)H-isin(/ww-f-ap,)],

et l'on aura, en conséquence,

!P = C„p"cos(«« 4- «„)-+-. . .-+- C«p'"cos(/?iw -ham)^ Q=z:C„p'»sin(/2w-f-a„)-f-... + C,„p'»sin (/ww -+-a„);

on aura aussi, en désignant par Q' la dérivée du polynôme Q par rapport à la variable p,

(4) Q' = 71 C„p""^ sin (rtû) -+- a„) -+-,., 4- /w Cmp^^'sin (m w 4- a^»).

8ECTI0» I. — CHAPITRE III« 121

Cela posé, quel que soit l'angle ci)^ on peut faire

(5) /iw4-a„=rK h /le,

en désignant par K un entier positif ou négatif et par n€ un angle compris entre — j et -H t» Supposons d'abord que le nombre K soit impair, et posons

les formules (3) et (4) deviendront alors

!( — i)*P = — C»p«sin/is H-. . ., (l)*Q— -|-C„p"COS«« -H. .., ( — 0*Q'= -+" ^ C„p"-' ces «s -+-

Soit maintenant B un angle positif déterminé, inférieur

à ^ et aussi petit d'ailleurs que l'on voudra \ on pourra

(n** 40) assigner une quantité positive r telle, que dans chacun des polynômes

±C„p»sin/i0 H- C;H-.p"-*" -+-. . . + C^p", ± Cn p« cos/2 0 4- C^i p»+' -h . . . -h C^p", ±nCnfcosn^ H-(«H-i)C;h-4P''"^' H-. • -H-wC«p'",

le module du premier terme soit supérieur au module de la somme de tous les termes suivants, pour toutes les valeurs de p comprises entre o et r. Nous donnerons à p une valeur déterminée au-dessous de la limite r, et cette valeur sera le rayon du cercle que nous avons à considérer.

D'après cela, t étant compris entre — j— ei -{- j-^ si

cet angle tombe en dehors des limites — 6 et + 0, la valeur absolue de'sin/ie sera supérieure à sinnd, et, en conséquence, le module du premier terme du second membre, dans la première des formules (6), surpassera

le module de la somme des termes suivants; donc P ne peut s'aiinuler que si e est compris entre — - 6 et -+- 0. Mais pour les valeurs de e comprises entre — 6 et -H 0, le premier terme du second membre, dans chacune des deux dernières formules (6), est supérieur au module de la somme des termes qui suivent; par conséquent ( — ^i)*Q et ( — ^YQ' sont positifs. Alors le polynôme ( — i)*P décroît constamment (n** 52) quand e croît de — 9 à -J- 6; ce polynôme a d'ailleurs le signe -|- pour e = — 0, et il a le signe — pour e = -f- 9; donc il s'annule une fois, et seulement une fois, quand ê croît de — 6 à -+- 0. On voit aussi que ( — i)* P passe en s'annulant d'une valeur positive à une valeur négative ; et comme ( — 0*Q reste posi-

P tif, on peut dire que le rapport — s'annule une fois en

passant du positif au négatif, quand e croît de — 0 k H- 0. Si le nombre R est pair et que l'on ait

la première des formules (6) devra être remplacée par la

(— i)*P r=-f- Cnp"cosne H-. . . ;

Fanele Q défini plus haut esî inférieur à-^— ; il en est de

même de la valeur absolue de s ; d'où il résulte que cosne est supérieur à sinwô, et, en conséquence, la fonction P

ne s'annule pas quand e varie de — -y— à -H -r—

Maintenant, si, en partant d'une valeur quelconque de ci>, on veut décrire la circonférence entière, de manière à revenir au point de départ, il sera nécessaire et suffisant de donner à l'entier K 4^* valeurs entières consécutives quelconques, o, i, 2, 3, . . . , (4^ — i), par exemple. A chacune des i7i valeurs impaires de K correspondra une

valeur de e comprise entre — 6 et 4-9, pour laquelle lerap-

P port -r s'annulera en passant du positif au négatif, ce qui

achève la démonstration de la proposition énoncée. Nous aurions pu abréger cette démonstration en prenant

0= ^; mais le procédé que nous avons suivi a Tavan-

iage de montrer que les valeurs de ww-ha» pour les-

quelles -- s'annule, ont pour limites les multiples impairs

(le -5 quand on fait décroître indéfiniment l'angle 6,

55. Au moyen du lemme que nous venons d'établir et en faisant usage de considérations ingénieuses que nous empruntons à une JSote de MM. Sturm et Liouville (*), on démontre très-facilement le théorème de Cauchy qui consiste dans la proposition suivante :

Théorème. — Soient, z une variable imaginaire x-i-ijr^ f {z) ==?-+- / Q une fonction entière de cette variable^ P <?ï Q étant des fonctions réelfes et e/itières des variables x et y. Traçons dans le plan des axes rectangulaires Ox^Oj un contour fermé quelcon*

que qui ne passe par aucun des points racines de Véqua-

fionf(z) = o, auquel cas le rapport j-aura, en chaque

point du contour, une valeur déterminée. Si Von suit le contour hRCï) en partant d^ un point quelconque A et en marchant toujours dans le même sens ABCD Jusqu'à ce

(jiion soit rev^enu au point de départ, le rapport -jzp tiendra diverses valeurs, et il passera par zéro chaque fois que P sera nul, tandis quil des^iendra infini lorsque Q

(*) Journal de Malhémaliques pures et appliquéeSy \^^ série, t. I, p. 278.

S* annulera. Cela posé, soit h le nombre dejois que le rap-

port -ï en s'é^fanouissant et en changeant de signe,

passe du positif au négatifs A' le nombre de fois que le même rapport, en s" épanouissant et en changeant de signe ^ passe du négatif au positifs le nombre k ne sera jamais inférieur à h' et V excès h — V = A sera toujours égal au double ^(i du nombre jut des racines égales ou inégales de Véquationf[z) = o, comprises dans la portion du plan limitée par le contour ABCD.

Le contour fermé ABCD est quelconque, convexe ou non convexe 5 pour bien fixer le sens dans lequel ce contour doit être parcouru, imaginons un cercle d'un rayon aussi petit que Ton voudra, qui touche le contour au point de départ A et qui soit entièrement situé dans Tespace limité par ce contour^ en même temps supposons que l'on ait transporté les axes Ox et 0/ parallèlement à eux-mêmes au centre du cercle. Si l'on parcourt la circonférence du cercle en marchant de l'axe des x vers l'axe des y^ lorsqu'on atteindra le point A, la direction du mouvement sur le cercle sera aussi celle du mouvement que nous considérons sur le contour ABCD.

Remarquons encore que, d'après l'énoncé du théorème, on n'a point à considérer les changements de signe que

peut offrir le rapport rr- quand il devient infini^ en outre,

SECTION I. GHilPITRE III. ia5

Il peut arriver que ce rapport s'annule sans changer de signe, maïs il n'y a point «lieu de se préoccuper de cette circonstance. Ajoutons que, pour abréger le discours, Texcès A sera dit l'excès relatif au contour donné ABCD. La démonstration que nous allons présenter se composera de quatre parties :

1° Si le théorème énoncé a lieu pour deux contours ABCA et ADBA qui ont une partie commune AB, il a lieu aussi pour le contour total hJS^CK formé par leur réu-

nion.

En effet, soient /i le nombre des racines égales ou inégales comprises dans le contour total ADBCA, et A Texcès relatif à ce contour; soient aussi jix' et A', i>!' et A'' les quantités analogues pour les contours respectifs ABCA et ADBA. On a, par hypothèse,

mais la somme A' -h A" se compose évidemment de l'excès A augmenté de la somme des deux excès qui répondent l'un à la partie AB du contour partiel ABCA et Tautre à la partie BA du second contour ABDA-, il est évident que ces deux derniers excès sont égaux et de signes contraires 5 donc on a

d'ailleurs donc

Il résulte de là que :

Si le théorème énoncé a lieu pour un nombre quelconque de contours juxtaposés^ il a lieu aussi pour le con" tour formé par leur réunion .

a*^ Le théorème énoncé a lieu lorsqu^il nj a aucune racine de V équation f {^z) = o, dans V espace limité par le contour donné. En d^ autres termes^ si Von a j!x = o, 072 a aussi A == o.

En effet, il peut y avoir dans Tintérieur du contour donné comme sur le contour même des points pour lesquels on a soit P = o, soit Q = o ; mais, par hypothèse, il n'en existe aucun pour lequel on ait à la fois P = o, Q = o. Il résulte de là que Ton peut toujours décomposer l'espace limité par le contour donné en plusieurs parties telles, que chacune ne renferme dans son intérieur ou sur son contour aucun point pour lequel on ait P = o, ou aucun point pour lequel on ait Q = o. En outre, d'après ce qui précède, le théorème de Cauchy subsistera pour le contour donné, sMl a lieu pour les divers contours partiels dont nous venons de parler*, il suffit donc de considérer ces derniers.

Si, dans l'intérieur d'un contour et sur ce contour, on n'a jamais P = o. il est évident que l'on a A = o, puisque

le rapport— ne s'annule pas. Si, au contraire, la fonction P s'annule, mais que l'on n'ait jamais Q = o, la fonction Q conservera le même signe aux divers points

P du contour et le rapport — ne pourra changer de signe

qu'en s'évanouîssant. D'ailleurs, comme ce rapport re-

SECTIOIf I. — CHAPITRE III. 11^

prend sa valeur primitive quand on a parcouru le contour entier, il est évident que s'il s^est annule k fois en passant du positif au négatif, il s'est annulé pareillement k fois en passant du négatif au positif. On a donc encore A= o.

3^ Le théorème énoncé a lieu lorsque V équation /(z) = o n^a quune seule racine^ d'un degré de multi'plicité quelconque n^ dans l'espace limité par le contour donné. On a, en conséquence^ A = 2 /i.

Soient ABCD le contour donné et G le point racine du

degré 71 de multiplicité. Si du point G comme centre, avec

un rayon suffisamment petit, on décrit la circonférence

MINK, puis que l'on joigne respectivement les deux

points M et N de cette circonférence à deux points P et

Q du contour donné, le théorème de Cauchy aura lieu,

d-après ce qui précède, et d'après le lemme du n** 54,

pour les trois contours juxtaposés KNQDAPMK, MINKM

et.IMPBCQNI; donc il a lieu pour le contour proposé

ABCD qui résulte de la réunion des trois précédents. Les

deux premiers des contours dont il vient d'être question

ont la partie commune NKM, et leur réunion forme le

contour NQDAPMIN \ celui-ci a, avec le dernier des trois

considérés, la partie commune PMINQ, et leur réunion

forme le contour ABCD.

4® Le théorème énoncé a lieuy quel que soit le nombre des points racines compris dans le contour donné.

ia8 COURS D'àLGÉBRB SUPÉRIEURE.

En effet, on peut décomposer l'espace limité par le contour en plusieurs parties qui ne contiennent chacune qu'un seul point racine; le théorème aura lieu pour chacun des contours partiels que Ton obtiendra ainsi, et en conséquence il aura également lieu pour le contour proposé qui résulte de leur réunion.

Le théorème de Cauchy est donc complètement démontré.

56. Il faut remarquer que la démonstration précédente ne suppose en aucune façon Texistence du principe d'après lequel toute équation a un.e racine, et j'ajoute que ce principe n'est qu'un corollaire du théorème de Cauchy, lequel peut être regardé dès lors comme le fondement de la théorie des équations. Voici, en effet, une démonstration nouvelle du principe du n° 44, qui est analogue à pelle du lemme du n^ 54.

Etant donnée l'équation y (z) = o, traçons deux axes rectangulaires et décrivons de leur origine comme centre un cercle dont le rayon p soit aussi grand que l'on voudra. Soit

(ï) /(z)=i:AoZ'"H- A.z™-» H-. . .-h AflH-i2-h A«;

si l'on désigne par C„ et a^ le module et l'argument du coefficient A^, et que l'on pose

z = p (cosw -h isinw), on aura

/(z) = Cop'"[cos (/»w -hao) -h isin(/w w 4- ao)] C«i [ces ( w -h a„^i) -f- / sin ( w -+- a«, )] C,„(cosa„H- isina,„);

en faisant, comme précédemment,

SSCnOH I. — CHAFItlE ill. 149

il viendra

Q = Cp" siù (/»« -4- ao) -f- . . . 4- C«ip sin (» -h «»-i) 4- C« sin a«,

et en désignant par Q' la dérivëe de Q par rapport à py on aora aussi

(3) <)^ z='/n C,p*^^ sin(/i?6> -4- «»)-h. . . 4- C«-i sin (w -♦- oîm^t)* Quelle que spit la valeur de od^ on peut faire

(4) tntù-k^ û^z=:TL — hw«,

R étant un entier et mt étant un angle compris entre -*-vet -+-7« Si K est un nombre impair aA-f-r^ les» formules (2) et (3) deviendront

( — i)*P = — Gop'^siniTifi -H. . .)

(5) J (--l)*Q :==r-4- C»p*Cos/iîi-h. . ., ( — 0*Q' = Hr /^ïCop^^'cQSwe 4^.'. . .

Soit 0 un angle positif déterminé, inférieur à -^ — et

aussi petit d'ailleurs que Ton voudra; on pourra assigner une quantité positive r telle, que dans chacun des polynômes

± Cop* sm/wd -*- Cp"*-" 4- . , . 4- Cm-, f-^Cmi ±C«p~cosm9-l-C,p*-'4-. ..H-C«, p H-C„, ±: wC. p*-' cos/»9 H- (m — i) C, p"^' H- . . . -f- C„, ,

le module du premier terme soit supérieur à la somme des termes suivants^ pour toutes les valeurs de p supérieures à r\ nous supposerons que la valeur choisie pour p soit supérieure à cette limite.

Cela posé, e étant compris entré — 7 — et 4- -, — 1 si cet

i3o cetîtis b^ÀlèliÉiiE sDpéiftrriimÉ.

angle tombe en dehors des limites — 6 et -f- 9, là valeur absolue de sinms sera supérieure à sin/nd, et^ en cxmséquence, le module du premier terme du second membre, dans la première formule (5), surpassera le module de la somme des tertties suivania ] dont P ne peut s'astiii-* 1er que si e est compris entre — 9 et 4-6* Maisy pottt les valeurs de e comprises entre — 6 et 4-6, le premier terme du second membre, dans chacune des deux dernières foraiule» ($)^ est i^tipërîetit' au ttiôdulé de k somme des termes qui suivent^ par conséquent ( — i)* Q et ( — 0*Q' ^^"^ positifs. Alors le polynôoie ( — i)^P décroît constamment (n° 52) quand e croît de — 6 à -h-Oy ce polynôme a d*aîlleurs le signe -f- pour e = — 6, et il a le sî^ne -^ pour s s7= 4^ 0; donc il s'sutlnule une fois, et une fois seulement, quand e croît de. — 6 à 4- fl. On voit aussi que ( — i)*P passe en s^annulant du positif au négatif, et comme ( — ^)*Q reste positif^ le Rapport ^^

s^annule une fois en passant du positif au négatif.

Si K est un nombre pair aA^, la première des formules (5) devi*a être remplacée par . •

(— i)*P ==4- Cop'^cosws -f-. . .,

on a évidemment cosms ]> sin/»6, et, en eonséqueuccf, la fonction P neJ s*annule p£^s qtiiand e varie dé — -y —

Maintenant si Ton veut décrire la cinconférencfe entière de rayon jd, il sera nécessaire et suffisant de donoér à rentier K, dans lâ formule (4)) 4^* valeurs censéeuiivesi quelconques, par exemple o, i, a, â,..., (4'>î*— i)» A chacune des 2 m valeurs impaires de K répondra une valeur de e comprise entre — 6 et 4- 6, pour laquelle le rap-

port -- s'annulera en passant du positif au négatif. On a

donc, pour le cercle cOnsidéfë, A = 2m, et comme le rayon p {>eut être choisi aussi grand que Ton voudra^ ou voit que c ' ^

Une équation du degré m a précisément m racines.

Transformation des équations.

97. lier prtèléme^ général dont if s^agit ici consiste a déduire d'une ^équation dotiâéô,

une nouvelle équation 4ont les racines ^îent avec aeRei de la première tme relation donnée. L^ cas le ^lus sfidrple est cvlui im chaque racine u de )*éq[uation demandée est exprimable pat ni^eJbncUùn raiionnelté dotiuoé d'une ^ raeint x de la proposée, c^HBsi-à-dire par utre fone^n égale au quoti^ot dedeu^ fonctions entières ^'(z)^ ^{z). On a alors

Si Véquation proposée -est ^u degré 1», elle aura m racines z«, ^1,. • ., ^m^i, et il en résultera, pour u, m valeurs correspondantes tt«, u^^.^.j tfrfi~i> d'où To^i peut conclure que Téquation en u doit ètre^ eOmoie la pro-* posëe^ du degré m. Nous reviendrons, dans la deuxième Section de cet ouvrage, sur Fimportante question de la transformation des équations ^ ici nous nous bornerons à examiner le cas particulier où les polynômes ^{z) ei^{z) sont du premier degré ^ la formule (2) devient alors

az -f- b

a^h^d ^ y étant des constantes données. On tire de la

l34 CQUR» DÂ^/ik^fiJË SVPilLISU&f:.

çt il sufpra, pour r^mfMr l'objet denLandé, de 4pnper à a une valeur telle j que les produits A^ 0^^ ne iWDfferment plus de âénomiDatetir.

Il faut remarquer le cas de a = — i ; alors la transformation a pour objet de changer )es signes des racines de l'équation proposée. Pour avoir la transformée en — z de l'équation /(z) =? a, U mS&t de çbapg^r h^ «igofi» de tous les termes de degrés impairs, ou, si l'on veut, les signes de tous les termes de degrés pairs. En faisant le premier changement, si l'éfjuation est de degré pair, et le deuicième, si Téquation est de degré impair, le premier terme sera toajx>ur8 le même dans la proposée et dans la transformée.*

59. La deuxième des transformations élémentaires dont il a été parlé plu5 haut, 9^yoir ju :;^ --^ « pour objet

de former une équation dont les racines soient les inverses des racines de la proposée. Si celle-ci est

( I ) Ao a« + A , is?»-» -^ . , ^ -I- A«-.i « H- A « = o,

la transformée s'obtiendra en remplaçant ^ par - 9 ou, si

l'on veut, par -; faisons ce cbangemçnt, multiplions ensuite par 2"*, et ordonnons par rapport aux puissances descendantes de Zy il viendra

(») Am^ + A^i z"^ -f- . , .. -h A, z + A» ;^ o.

C'est ici l'occasion de présenter une reuiarque înciportante relativement aux racines qui peuvent devenir infinies. Supposons que les coefficients

Aoj A|, Aï^ • • • > Ait

dépendent d'une quantité t susceptible de recevoir dî-

SEÇTIOU I. — CHAPITHE IIJ. l33

verses v^eurs, çt que, pour la valeur 1 7:^ fo» les modules des n derniers coefficienU devîennçat nuls* Alpins, parw les m racines de Téquation (1), il y en a ;z qui se .rédiusent à zéro pour t = tq, et par conséquent les modules de leurs inverses deviennent infinis; donc quand t tend vers la lin^ite fo^ les modules de n des m racines de Té- (juation ( a) tendent vers l'infini; à la limite, cette équation (a) se réduit au degré ni — n, et elle n*a plus que m — n racines finies.

60. Il peut arriver que les équations (i) et (9) du numéro précédent coïncident. Dans ce cas, Téquation proposée est dite réciproque ; Tinverse d'une racine quelconque est aussi une racine.

D'après ce qui précède, si f(z) = o est une équation réciproque du degré m, on aura identiquement

l étant un factieur indépendant de z» Faisant z s= -h i , puîfl z^^'T^ij il vieot

/(i)=v(o. /(~o=(-iri/(~i).

Sî/{i) «t/(— ï) ne sont pas nuls, c'est-à-dire si /(a) i}*est divisible par aucun des binômes z -i-t^ z *— i , on vpit que ^ s?: 1 €l que le degré m de Téquation est un nombre pair afA. L'identité

montre que Ton a alors

en sorte que les coefficients de deux termes également éloignés des extrêmes sont égaux et de même signe.

l36 COURS D^ ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Supposons maintenant que F (z) = o soit une équation réciproque pouTant admettre les racines -h i et — i, et soit

f{z) n'étant pas divisible par ^ ± i; il est évident que l'équation y* (-z) = o est réciproque, et en conséquence le premier membre y (z) a la forme indiquée par la formule (2). Maintenant, à cause des formules (1) et (3), on a l'identité

il en résulte que si p est pair, les coefficients des termes également distants des extrêmes dans F(z) sont encore égaux et de même signe. Mais lorsque p est impair, les coefficients des termes également distants des extrêmes sont égaux et de signes contraires^ dans ce dernier cas, lorsque ç est impair, Téquation proposée est de degré pair, et le terme du milieu doit avoir un coefficient nul.

61. Les équations réciproques sont susceptibles d'aiot^sementy c'est-à-dire que leur résolution peut se ramener à la résolution d'équations de degré moindre. Comme on peut toujours supposer qu'une équation réciproque ait été débarrassée des racines + 1 et — i qu'elle peut avoir, elle sera nécessairement d'un degré pair 2^, et on pourra lui donner la forme

C^la posé, si l'on fait