DES ÉQUATIONS SIMULTANÉES ET DE L'ÉLIMINATION

De V élimination. •

64. Après avoir exposé les propriétés générales des fonctions entières d'une variable et des équations à une seule inconnue, nous devons parler des fonctions entières de plusieurs variables et des équations algébriques simultanées.

Une fonction entière de plusieurs ^variables est un polynôme entier et rationnel relativement à chacune des variables, et l'on nomme équation algébrique toute équation qui peut être ramenée a la forme V = o, V désignant une fonction entière.

Un système de n équations algébriques admet, en général,comme on le verra, un nombre limité de solutions, quand le nombre des inconnues est égal à n. Mais si ce dernier nombre est seulement n — i , les équations proposées n'admettront point de solution, à moins qu'une certaine équation de condition ne soit satisfaite : les procédés par lesquels on parvient à former cette équation de condition constituent ce qu'on nomme V élimination, et Téquation obten.ue est dite équation finale.

Supposons que roii ait /z équations algébriques entre n inconnues

et que ces n équations soient satisfaites par les valeurs si* muhanées

l43 COVES Bf^âLtttoftB SUtMËtfttlllS*

regardons z comme une quantité connue, les équations proposées ne renfermeront plus que n — i inconnues \ elles admettront d'ailleurs Un ^^iitùiéàt soliltions communes si Ion donne à z la valeur a \ donc l'équation finale en z obtenue par Pélimination dcr jg^, r,, . . . , ;?„, etïire lès pro» posées devra admettre la racine a. D'après cela on peut dire que V équation finale qui résulte de V élimination de n — I inconnues ^i^jCs^. • • > z^^^ entre n équations contenant en outre Vinconnue z, a pour racines les diverses ^valeurs de z qui concourent, a^ec des valeurs convenables des autres inconnues y à former les systèmes de solutions dès équations proposées.

Il faut remarquer que Télîmiuation n^a pas d'autre objet que la formation de l'équation finale^ la résolution d'un système d'équations simultanées constitue un problème distinct. A la vérité, pour traiter ce dernier problème, on peut et on doit même en général faire usage de l'élimination, mais on conçoit aussi que Ton puisse aborder la solution par d'autres voies.

Sur le nombre des termes que peut contenir une fonction

entière d 'un degré donné»

65. Considérons d'abord un^ fonction homogène et entière des n + i variables

et du degré m. Si cette fonction est la plus générale de son degré, elle renfermera tous les termes qui, abstraction faite d'un coefficient constant, seront de la forme

la somme des exposants «i, ocj, .^ . , a,^.i étant égale à m. Le nombre total des termes dont il s^agit est précisément celui des combinaisons complètes m k m deswH-i lettres

SECTÎOH î. — CtÊAttrUE ÎV. l43

fi, ^t) • • • 9 ^n+i9 combinaisons danâ ksquell^ tthe même lettre petit figurer |>luiifftiÉ8 fovâ. On ssiH que le nombre de ces combinaisons complètes est égal au nombre des combinaisons simples de n-i-m lettres m k m^ et voici d'ailleurs comment on peut établir l'égalité de ces deux nombres. Supposons que Ton ait écrit toutes les combinaisons complètes des n -f- 1 lettres Zi, Zf ,.. ., z^iy nikm^ de manière qu>e dans chacune déciles Tindice d'une lettre ne soit jamais supérieur à l'indice de la lettre Suivante^ désignons par A Tensemble de toutes ces combinaisons. Supposons que Ton ait formé en même temps toutes les combinaisons simples des 7z+m lettres Zi, Zt,.«, , 2^„, m a m, de manière que dans chaque combinaison les indices des lettres forment une suite croissante, et désignons par B Pensemble de ces combinaisons. Il est évident que si, dans chaque combinaison B, on retranche respectivement les nombres o, i, a, 3, ... , (/ti — i) des indie^^d des lettres successives, on obtiendra une combinaison A ; réciproquement, chaqife combinaison A se changera en une combinaison B, si Ton augmente rèspectïveftienif lés' indi'ceâ des lettres successives des nombres o, i , 2,..., (m — 1). D'ailleurs, par l'opé^aEton dont il Vient d'être question, deux GdmbÎQaisons différentes de Fun des systèmes A et B se changent en deutc combinaisons nécessairement distinctes ; donc les deux systèmes renferment le m;èn:ie nombre de combinaisons.

Il résulte de là qu'une fonction entière et homogène du degré m dépendant de // -f- 1 variables a, dans le cas le plusgëtiéral,

termes.Si,dans cette fonction homogène, on pose z„^i = i ^ on obtiendra la fonction entière la pltis générale de n va-

i44 covus d'algèbre supérieure.

riables et du degré m \ le nombre total .des termes d'une telle; fonction est donc aussi représenté par Texpression précédente.

66. Nous désignerons généralement par le symbole N (n, m) le nombre des termes contenus dans la fonction entière la plus générale de n variables et du degré m \ on aura aloi's

le second membre de cette formule ne change pas quand

on échange entre elles les lettres n et m, car on peut lui

donner la forme