ax 1 .2.3. . ./»' on a donc aussi

(2) îH(n,m) = ^ '--^ ^ : — '-

L'expression (i) se réduit à i pour n == o, et la même chose a lieu à l'égard de l'expression (2)^ quand on y fait m = o ; on a donc

ce qui est conforme à notre déOnition du symbole N (n, m) ] on doit admettre que les formules (3) subsistent quand on fait m = o dans la première, et n = o dans la seconde, et nous aurons

ce qui exprime simplement une convention» Enfin, dans ce qui va suivre, l'entier m pourra recevoir des valeurs négatives, et nous conviendrons que, pour de telles valeurs, on a

N (/i, m) =:Of

lors même que n aurait la valeur zéro.

SECTION I. — CHAPITRE IV. l45

Sî l'on remplace m par m — i dans la formule ('2), on

aura

^^ , , m (iw -h i). . .(/If -h /i — 1) N \ny m — i) = — ^ — :^ -y

et, par suite, en supposant /i ^ i ,

OU

N(/î,i») — N (/ly /7t — i)i=N(/i — i,*»). .

Celle formule a été établie dans l'hypothèse de m positif et de « ^ I ; mais, d'après notre définition du symbole N, on reconnaît qu'elle subsiste quand m est nul ou négatif, et quand n est égal à i . Si Ton y remplace m successivement par m, m — i, m — a, . . . , (m — i/i, -f- i), et qu'où ajoute les m^ équations résultantes, il viendra

N(/î, m) — N (/?, m — /»,) = N (/i — i", im) H- N {« — i , w — i )-h . . .

formule qui subsiste évidemment, quel que soit le nombre entier m^ supposé positif.

Si l'on pose

la formule précédente pourra s'écrire comme il suit

/*i = 'Wi — <

(5) A«,N(«,m)= 21 N(;»-i,vw-p.).

le signe V du second membre indiquant qu'il faut donner

SQccessivement à (Zj les valeurs o, i, 2,..., [m^ — 1) dans l'expression N (/? — i , m — Ui ), et faire ensuite la somme des résultats.

i46 COURS d'algèbre sdpArisure.

Soient m^^m^^. , ,^m^ des nombres positifi» quelconques, et posons encore

Si Ton suppose que h ne soit pas supérieur à n, on aura, en appliquant successivement h fois le théorème exprimé par la formule (5),

le signe ^ exprimant qu'il faut faire la somme de toutes

les valeurs que prend N (« — A, m — ^t — /ij — ... — jx^), quand on emploie successivement tous les systèmes de valeurs nulles ou positives des indéterminées /uii, ^s. . . . , j |u, tels que Ton ait

Le nombre des termes contenus dans le second meaibre de la formule (7) est ainsi égal au produit m^ nif..» nii. Si le nombre h est égal à /i, chacun des termes dont nous venons de parler se réduira à i ou à o. Supposons qu^ils se réduisent tous à i, la formule (7) donnera

(8) ^m ^m , . .^m.^{ny m):=zm^mi, . .nin-

Mais pour que cette formule (8) subsiste, il faut que la quantité m — fXi — f/t — • • • — f^m qi^î figure -sous le

signe \^9 dans la formule (7), ne soit jamais négative, et la condition, pour qu'il en soit ainsi, est (g) w =: ou > (w, — \)-\- [nii — i) -f-. . . -\-[m„ — i). Si cette condition n'est pas satisfaite, comme les indé-

SECTION I. — CliA.l>IT1lE IV. l^J

tcrmiiiées )X|, /ix,,. . . varient de o à //ii — i, <lc o k m, — !,.••? respectivement, la somme f^i •+- f/t H- •••■+- fn prendra au moins une fois chacune des m + 1 valeurs 0, I, o,.*-9 /7i; donc, dans le second membre de la for« mule (7), où l'on suppose k = n^ il y a plus de m termes égaux à I, et Ton a alors

67. J'établirai encore ici une inégalité qui nous sera utile dans ce qui va suivre, et que Ton conclut très-facilement des formules (4) et (6). Le nombre que représente le symbole N n'étant jamais négatif, il en est de même des expressions dont la valeur est fournie par la formule (y)\ alors les formules (4) et (6) nous donnent

Ainsi on aura généralement

en changeant w en m — /n^, et en écrivant dans le second membre

au lieu de N (n, m — Wx), on aura

Cela posé, on a l'identité

et en donnant à A les valeurs 2, 3, . . . , Xr, dans Tînégalilé que nous venons d'obtenir, il vient

N («, w — mi) > A™ . . . ^m^ N (/î, m ) — A,.. . . . A«, IN ( », w).

'fil — 1 ^

l48 COURS d'algèbre SUPÉaiEVRC.

Si Ton ajoute ces inégalités avec l'égalité qui les précède, on aura

N (/î, /w — /w,) H- N («, /» — nti) -f- . . . -f- N(/i, m — iwj

ce qui est le résultat que nous avit)ns en vue. Il faut remarquer que le signe ]> n'exclut pas ici l'égalité.

Du nombre des termes d^une fond ion entière ^ qui ne sont pas diifisibles par des puissances données des variables,

68. Soit V une fonction entière et complète du degré m des n variables

et cherchons combien il y a, dans le polynôme V, de termes qui ne sont divisibles par aucun des monômes

7ri|, f?!], . . . , m^ étant des exposants entiers quelconques, dont le nombre k est égal ou inférieur à n.

Si mi est inférieur à m, la partie de V qui est divisible

par «"• est égale au produit de ce monôme par une fonction entière du degré m — //ii, laquelle doit être un polynôme complet, car autrement la fonction Y ne serait pas complète; donc le nombre des termes de V qui sont divisibles par «"' est

N [ny m — wî,),

et ce résultat subsiste quand m^ est supérieur à ttz, puisqu'alors l'expression précédente est nulle. Il résulte de U que le nombre des termes de V qui ne sont pas divisibles

par 2"' est

ou, diaprés notre notation,

Représentons, pour un moment, par X (/i, m) le nombre des termes de V qui ne sont divisibles par aucun des monômes

la partie de V qui est divisible par z^* est le produit de -z^*

par une fonction entière du degré m — m^^ et dans cette fonction il y a X (n, m — m*) termes qui ne sont divisibles par aucun des monômes z"*, . . . , ^JJ^-» ; ce nombre exprime aussi combien il y a, dans V, de termes qui ne sont pas divisibles par les mêmes monômes, mais qui le sont

pa^J^"^ Il résulte de là que le nombre des termes de Y qui ne sont divisibles par aucun des monômes

est égal à

3((:>{nym] — X (n, /w — mk),

ou, si l'on veut, à

Mais nous avoqs vu qu'il y a, dans la fonction V, A«,N(/ï, m) termes non divisibles par z"^*, donc il y en a

4b,Û„jN («, m] qui ne sont divisibles ni par z^' ni pajr

l5o COURS D*ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

x"'^ pareillement A^^Ù,„^A„^ N («, m) est le nombre des termes non divisibles par l'un des ti-ois monômes 2"', 2"% ^^S et ainsi de suite, en sorte que l'expression

représente le nombre des termes de la fonction V qui n'admettent pour diviseur aucun des monômes

Réduction d'une Jonction entière de pltisieurs quantités assujetties à satisfaire à un pareil nombre d^ équations données.