Soient

(1) V, = 0, V, = 0,..., yk=o

k équations algébriques des degrés respectifs /7i|,m,, . . . , m^ entre les variables

dont le nombre n est au moins égal à k.

Nous supposerons non-seulement que ces équations soient complètes, mais encore que les coefficients de chacune d'elles demeurent indéterminés, en sorte qu'il ne puisse exister entre eux aucune relation. Cela posé, nous établirons la proposition suivante : Soit S une Jonction entière quelconque des variables ^i, z^, . . . , // sera toujours possible de tirer des équations (i) les valeurs des puissances

qtà sejvnt ainsi exprimées par dt^s Jonctions entières ne

SECTIO:* I. — CHAPITRE IV. l5l

contenant Zj, Zj,..., Zk quai^ec des exposants inférieurs à rrii^ /Wf,..., nii respectis^ement. En oulre^ par la sushiitiition de ces valeurs^ on powTa faire disparaître de la fonction S tous les termes divisibles par l'un des monômes ( 2 ) .

Cette proposition est évidente quand le nombre h est égal à Tunité^ dans ce cas le système (i) se réduit à une seule

équation de laquelle on pourra tirer la valeur de z"^ ; la

substitution de cette valeur abaissera le degré de S; si ce degré reste supérieur à w, , de nouvelles substitutions pourront évidemment le réduire au-dessous de mj. Au surplus, la réduction peut être opérée immédiatement en divisant S par Vj ; si l'on désigne par — Ti le quotient de ceue division et par S' le reste qui est de degré inférieur à mj, on aura

S-+-T.V,=rS';

en sorte que pour atteindre le but proposé, il suffira d'ajouter à S le produit Tj Vf. .

Lorsque le nombre k est supérieur à i , si les degrés W], m,,.. ., mi des équations (i) sont égaux entre eux^ on voit tout de suite que l'on pourra résoudre ces équations

par rapport à z"*, z"%. . ., z"*, puisque nous leur supposons la plus grande généralité possible, mais on aperçoit moins facilement, même dans ce cas particulier, la marche qu il faut suivre pour faire disparaître de la fonction S les termes divisibles par Tun des monômes (2) ^ le procédé est pourtant le même que dans le cas de /r = ], mais i( faut l'appliquer d'une manière convenable, afin qu'aucune des substitutions qu'on exécute ne fasse reparaître des termes déjà disparus par des substitutions précédentes. Quels que soient le nombre A et les degrésmi,f7itv;'''A9 je dis qu'on peut trouver des polynômes T|, T,, . . . , T^

iSïk COURS d'algèbre supérieure.

tels que la somme

(3) S + T, V.-h Ta'V^-h. . . + T*Va= S'

ne renferme plus aucun terme divisible par Tun des monômes (2) 5 j'ajoule qu'en général ces polynômes ne seront pas complètement déterminés et qu'ils pourront en conséquence être choisis de plusieurs manières différentes. En effet, désignons par m le degré de la fonction. S et pre^ nons pour Tj, T,, . . . , Tjt les fonctions entières les plus générales des degrés respectifs

rh aucune de ces fonctions devant toutefois être réduite à zéro, lorsque le nombre qui doit exprimer son degré est négatif.

Le nombre des coefficients arbitraires contenus dans le premier membre de la formule (3) sera évidemment

(4) N(/w — ///,) -l-N(//i — iwj) +. . .-h N (/lî — mk] ;

d'ailleurs ce premier membre est un polynôme complet du degré m qui renferme N («, m) termes, et parmi ceuxci il y en a (n° 68)

qui ne sont divisibles par aucun des monômes (2). Le nombre des termes de Fexpression (3) qui sont divisibles par l'un des monômes (2), termes que nous voulons faire disparaître, est donc

or on a vu au n^ 67 que le nombre (4) n'est jamais inférieur au nombre (5); donc les arbitraires contenues dans la formule (3) seront toujours en nombre suffisant pour révanouissement de tous les termes divisibles par J'un des monômes (2).

8EGTI0JN I. CHAPITRE IV. * l53

La fonction S est quelconque ; si on la réduit successivement aux monômes (2), on voit, par ce qui précède, que chacun de ces monômes sera exprimable par une fonction entière qui ne contiendra les variables Zi , 2;«, . • . , ^^ qu'avec des exposants inférieurs à mj, m,, . . . , m^ respectivement.

Elimination de n — i inconnues entre n équations algèbriques. — Théorème de Bezout relatif au degré de V équation finale.

70. C'est en partant des considérations qui précèdent que Bezout est parvenu à établir, comm^ nous allons l'expliquer, le principe fondamental de la théorie de Télimination.

Soient

(1) Vi = o, V, = o,..., V„z=o

n éqaations algébriques des degrés mj, m,,. . ., m„ respectivement et contenant n inconnues

nous si^pposerons, comme au n° 69, que chacune des équations proposées est la plus générale possible, et qu*il n'existe aucune relation entre les coefficients.

Considérons les n — i premières équations (1); d'après ce qui a été dît au n° 69-, on pourra tirer de ces équations les valeurs de

et ces valeurs seront exprimées par des fonctions entières qui ne renfermeront les inconnues Zj, z,,..., z„i qu'avec des exposants inférieurs à /Wj, m^^. . . , m„i respectivement.

Cela posé, soit T„ un polynôme complet d'un degré

i54 COURS d'algèbre supérieure.

iiidéierininé que je représenterai par m — w„. Si Ton niukiplie par T„ la dernière des équations (i) qui est du degré i/j„, elle deviendra

et je dis qu'on peut réaliser Télimination des n — 1 inconnues Zj, ^8,. . ., -z„i, par le moyen des arbitraires contenues dans T„ et avec le secours des n — i preniières équations (1). Les arbitraires ayant été ainsi déterminées, Téquatipn ( 1) deviendra Téquation finale et le nombre m exprimera son degré.

Le premier membre de l'équation (2) est un polynôme complet du degré m, et il renferme, en conséquence, N (tz, m) termes; mais quand, au moyen des n — i premières équations (1), on aura fait disparaître (n^ 69) tous les termes divisibles par l'un des monômes

il n'en restera plus que

par conséquent, pour que l'élimination puisse s'exéculer, il faut que, par le moyen des arbitraii:es contenues dans T„, tous ces derniers termes disparaissent, à l'exception des m -h I qui ne renferment que la seule inconnue z„. Ainsi le nombre des termes qu'il faut faire évanouir est

(4) . A„^^, . . A„,A„,N(/i, m) — (/lî -+- i).

Le polynôme T„ étant complet et du degré m — /w„, il renferme N («, m — /7i„) termes; mais le nombre des coefficients dont on peut disposer pour l'élimination est beaucoup moindre. En eifet, il est évident qu'avatit d'effectuer le produit T„ X V„ qui doit former le premier membre de l'équation (2), rien n'empèclie de faire dis-

SECTION I. CHAPITRE IV. l55

paraître de T„ tous les termes divisibles par l'un des monômes (3); il n'y aura d'arbitraires dans T„ que les coefficients des termes restants dont le nombre est

A«^^^. . . AflijAfli^N {n, m — m„),

en sorte que, pour plus de simplicité, on doit supposer tous les autres nuls, puisqu'il est possible de les faire disparaître. Enfin, on peut choisir arbitrairement Tuji des coefficients du polynôme T„ ainsi réduit, car cela revient à multiplier Téquation (2) par une constante^ donc le nombre des arbitraires utiles pour Télimitiation est seulement

(5) Afl,^^^ . . . A«, A„^N (», /w — /w„) — I .

On voit d'après cela qu'on pourra faire disparaître les inconnues z^ ^,, . . ., «„i de l'équation (2), en résolvant simplement un système d'équations du premier degré entre un pareil nombre d'inconnues, si les expressions (4) et (5) sont égales entre elles. En écrivant que ces expressions sont égaïes, il vient

OU

m = ^m„Ani„, • • • A«,Afl,^N («, m) ;

or, le second membre de cette formule n'étant pas supérieur à 772, il est nécessairement égal au pix>duit mims.../7ï„, d'après la formule (8) dun^ 66; car la condition (9) que suppose cette formule sera évidemment remplie. Ou a donc

m rz: //?| /713 • . . m^y

et on peut dès lors énoncer le théorème suivant :

Le degré de V équation finale qui résulte de P éliminalion de n — i inconnues entre n équations à fi incon-

l56' COURS D'ALGÈfiRE SUPÉHIEITRE.

nues est égal au produit des degrés de ces équations y lorsque celles^i sont complètes et que leurs coefficients demeurent indéterminés.

71. La démonstration que nous venons de présenter repose sur ce fait, que les coefficients arbitraires du polynôn^e T„ sont complètement déterminés par les équations du premier degré auxquelles ils doivent satisfaire. Or, bien que le nombre de ces équations soit égal à celui des arbitraires, et que les équations proposées aient la plus grande généralité possible, on pourrait craindre de se trouver ici dans Tun des cas d'incompatibilité dont l'existence est bien connue 5 il est facile de montrer qu'il n'en peut être ainsi.

En effet, supposons que les équations proposées se réduisent à

2^* — a = o, zl* — z, = o, z"* — «2= o,,.., z.« — «„i = o,

a étant une constante donnée. Dans ce cas, on a

ii=2„"— ^««-1,

et la fonction qui réalise l'élimination peut être déterminée à priori. Si, en eiTet, on pose

m "=. ni\ ITii . . . ITinn "* ^^= '

le polynôme T„ aura pour valeur

" n " • Il n — l

car, en employant cette valeur de T„, on a

ou, à cause des n — i premières.équa lions proposées,

SEGTiOir I. CHAPITRE IV. 15^

II est évident que si l'on applique a ce cas particulier la méthode générale du n*^ 70, on obtiendra cette même valeur de T„ que nous venons de former ; il en résulte que les équations qui déterminent T„ ne peuvent offrir d'impossibilité en général, puisqu'elles n'en présentent pas quand on donne certaines valeurs particulières aux coeffi» cients des équations proposées.

Nous ajouterons encore une remarque fort importante. Le raisonnement du n^ 70 a conduit, par l'élimination de n — 1 inconnues entre n équations, à une équation finale dont le degré est égal au produit des degrés des équations proposées ; maïs on peut se demander si ce degré ne serait pas susceptible de s'abaisser par l'évanouissement de quelques termes, ou s'il ne serait pas possible, eu suivant une voie différente, de déduire des équations proposées une équation finale de degré moindre. Il est aisé de voir qu'il n'eu est rien, tant qu'il s'agit d'équations générales -, effectivement, dans l'esLemple que nous venons de considérer, on reconnaît à priori que l'équation finale est

et son degré est égal au produit des degrés des proposées. Or, ces dernières sont comprises dans les équations générales du n"70*, ^onc Téquation finale qui en résulte est nécessairement comprise dans Téquation finale qui se rapporte au cas général.

On arrive à la même conclusion en considérant n équations des degrés mi, m,,..., m„ respectivement, dont chacune soit décomposable en facteurs linéaires dé la forme

ûi, «j, . . . , étant des coefficients indéterminés. Le système de ces équations peut évidemment être remplacé par w = i»! /w, . • . m„ systèmes formés de n équations du pre-

l58 COURS nAhoèB^E supéaieure.

inier degré; /chacun de ceux-ci fournit une équation finale

du premier degré, ei le produit des m équations finales

ainsi obtenues est Téquation finale relative au système

pi^oposé.

Dans les deux cas que nous venons de citer, il est évidemment impossible de tirer des équations proposées une équation en ^„,

dont le degré soit inférieur à w j donc la même chose est également impossible dans le cas des équations générales.

72. L'analyse que nous venons de développer montre qu^on n'obtiendrait pas la véritable équation finale, dans le cas où le nombre des équations est supérieur à 2, si, au lieu d'éliminer les inconnues à la fois, comme nous l'avons fait, on voulait procéder par éliminations successives. Car supposons le cas de trois équations générales des degrés respectifs Wj, rw,, m^ entre les inconnues ^1, ^2, ^3. Si l'on élimine Zi entre la première équation et chacune des deux autres, on obtiendra deux équations finales des degrés rrii m^ et mi mj, puis l'élimination de Zi entre ces deux dernières fournirait une équation dont le degré pourrait s'élever jusqu'à m^/Wj/ns, tandis que la vraie équation finale est seulement du degré m^m^m^* Le cas des équations du premier degré est le seul où Ton puisse procéder par éliminations successives.

Sur la résolution des équations algébriques simultanées ,

73. Lorsqu'on sait former l'équation finale qui résulte de l'élimination de « — i inconnues entre n équations données, on peut aussi, d'après une remarque due à M. Liouville, déterminer les valeurs des inconnues élî-

8EGTIOir I. CHAPITRE IV. l5g

minées qui répondent à chaque racine de Inéquation finale. C'est ce que nous allons développer. Reprenons les n équations

(1) V.rrrO, V, = O, . . . , V„=rO,

des degrés respectifs mi, m«, . . . , m„ entre le« inconnues Ji, ^sv • • 9 ^n^ ^^ supposons, comme nousTavons fait jus^ qu ici, que ces équations aient la plus grande généralité possible.

Posons

«1, «t, . . . , a„i étant des coefficients indéterminés, et prenons z pour inconnue à la place de z„, il faudra, dans les équations (i), remplacer z„ par la valeur

Zn= z— (a,z, -h ajZj-l-. . . + flr„,z„-,);

ceUe substitution ne changera pas le degré des équations, el celles-ci deviendront

(3) Ui = o, Ua = o,..., U„ = o.

Si l'on élimine ^,, Zj,, . ., z„^i entre les équations (3), on obtiendra une équation finale en z dont le degré m sera

et qui contiendra dans ses différents termes les n — i indéterminées «1, «î, . . . , «»!. On peut chasser les dénominateurs qui seraient fonctions dea,, «j, . . . el, en ordonnant le premier membre par rapport à ces indéterminées, Téquation finale en z sera

On retrouvera l'équation finale relative aux équations proposées en attribuant la valeur zéro aux indéterminées

lOo COURS d'algèbre supérieure.

a; on a effectivement alors z = 2„, et Féquatîon (4) se réduit a

mais Pindétermi nation des quantités a va nous fournir des résultats plus étendus. Si, dans l'équation (4) ? on remplace z par sa valeur tirée de la formule (2) et que Ton fasse usage des formules connues

il viendra, en ordonnant par rapport aux a,

Cette équation (6) résulte de la combinaison des équations (i) entre elles, et elle est nécessairement satisfaite, quelles que soient les indéterminées a, par tous les systèmes de valeurs des inconnues susceptibles de vérifier les équations proposées. Si l'on suppose que ces indéterminées soient nulles à l'exception d'une seule a , le premier

membre de la formule (6) se réduira à un polynôme ordonné suivant les puissances de a et il n^e pourra être

identiquement nul, à moins que les coefiBcients des diverses puissances de a ne soient nuls. Ainsi, en particulier, on aura, outre l'équation (5),

pour toutes les valeurs i, 2, . . . , (« — i) de l'indice /ui, ce qui donnera

SECTION I. — CHAPITRE IV. l6l

Dans le cas particulier ou le premier membre de chacune des équations (i) est un produit de facteurs du premier degré à coefficients indéterminés, l'équation ( 5 ) n'a point de racines égales, et par suite elle n'en peut avoir dans le cas général. Donc, si l'on remplace z„ par Tune des racines de Féquationfinale (5), la dérivée/*' (z„) ne sera pas nulle et les formules (y) ne deviendront point illusoires, à moins que l'on n'attribue des valeurs déterminées aux coefficients des équations proposées.

74. La méthode précédente conduit à d'autres formules qu'il convient de remarquer et qu'on obtient en (égalant à zéro les termes que nous n'avons pas considérés dans la formule (6) et qui contiennent en facteur soit une puissance supérieure à la première de l'une des indéierminées (X, soit un produit de puissances de plusieurs de ces indéterminées. Par exemple, si l'on représente par F (z) le coefficient de «^«^ dans le premier membre

de l'équation (4)? les indices [let v pouvant être égaux, et qu'on égale à zéro les coefficients de a' et de a «^

dans l'équation (6), il viendra

[llM^^^^/^^'-K +F (>)-o

(/'W V.+ [^^('«) *v -^-FK*") V] + ^;..v(''') = «-

La seconde de ces formules (8) donne cette valeur de z^

Les formules (8) et (9) sont plus composées que les formules (7), mais quand on passe du cas des équations générales à celui des équations particulières, les formules (7) peuvent devenir illusoires, et dans ce cas les formules (8) et (9) les suppléeront. Celles-ci peuvent à I. II

i6a COURS d'algèbre supérieure.

leur tour deyenir illusoires et exiger l'emploi d'autres formules qu'on pourrait pareillement tirer de 1 équation (6); mais il n'est pas utile d'insister davantage sur ce sujet.

75. Les équations (5) et (j) sont, d'après notre analyse^ une conséquence nécessaire des équations proposées; soit V = o l'une quelconque de celles-ci, et désignons par V^ le résultat que l'on obtient quand on remplace dans V , Zj, -Zj,. . ., ^„j par les valeurs (7). La fonction Y sera de la forme

4> (zA étant une fonction entière. Effectuons la division de*^ (z„) psirf(Zn) de manière à obtenir un reste ç {z„) de degré inférieur à m, et désignons par V (z„) le quotient de cette division, on aura

Cela posé, puisque les équations (7) résultent des proposées, il en sera de même de l'équation V = o, laquelle se réduii h

Or celle-ci ne peut avoir lieu que si <p (z„) est identiquement nul, car ce polynôme est au plus du degré m — i , et nous savons qu'on ne peut tirer des équations proposées une équation finale en z„ d'un degré inférieur à m. La précédente valeur de \'^ se réduit donc à

SECTION I. CHAPITRE IV. l63

d OU il résulte que les équations proposées sont satisfaites par tous les systèmes de valeurs des inconnues tirés des équations (5) et (7) ; ce qui est la réciproque de la proposition établie au n^ 74* Ainsi se trouve démontré cet important théorème : '

Le nombre des systèmes de solutions communes à plusieurs équations renfermant un pareil nombre d'inconnues est égal au produit des degrés de ces équations^ lorsque celles-ci sont complètes et que leurs coefficients demeurent indéterminés.

En particulier, deux lignes des degrés m^ et m^ se coupent enmi m% points ; trois surfaces des degrés m^^nii^ m, se coupent en m^m^ m^ points.

On dit qu'une courbe algébrique plane ou gauche est de Tordre m, lorsqu'elle est rencontrée en m points par un plan quelconque. L^intersection de deux surfaces des degrés m,^ et m^ est donc en général une courbe de Tordre mi ffif, car le nombre des solutions communes à trois équations des degrés mi, m^ et i est m^'x.m^'Xi. Ainsi l'intersection de deux surfaces du deuxième degré est en général une courbe du quatrième ordre; mais il peut arri« ver, dans les cas particuliers, que cette courbe se réduise, soit à une courbe du troisième ordre et à une droite, soit à deux courbes du deuxième ordre, c'est-à-dire à deux coniques.

Remarque sur la méthode d^élimination de Bezout. —

Méthode d*EuIer.

76. La méthode d'élimination de Bezout, exposée au n® 70, consiste à multiplier l'une des équations proposées,

i64 covRS d'algèbre supérieure.

par un certain polynôme, et à employer les autres équations pour faire disparaître quelques-uns des termes con* tenus dans ]e produit; Félimination s^acbève ensuite en disposant convenablement des arbitraires que renferme le polynôme multiplicateur. Mais^ d'après ce qu'on a vu au n** 69, cette manière d'opérer revient à ajouter entre elles toutes les équations, après les avoir multipliées par certains facteurs; donc, si Ton représente par

l'équation finale qui résulte de l'élimination de -21,^3,. -m Zn^i entre les équations (i), on aura identiquement

Ti, Tf, . . . , Trt étant des fonctions entières des inconnues convenablement choisies.

77. Dans V Introduction à l'Analyse infinitésimale, Euler a indiqué, pour le cas de deux équations, une méthode qui revient au fond à celle de Bezout. Représentons les deux inconnues par x et j^ et supposons que les équations soient Tune du degré /?/, l'autre du degré n ; ces équations ayant été ordonnées par rapport à y, représentons par

V,=:P^'»-f-Q/"-'-hR/'»-»-f-S /»-' -h . . . , Va = P' j» H- Q' j*"' -+- R V* -»- S'j"-» -f- . . . ,

leurs premiers membres. La méthode d'Euler consiste à multiplier respectivement les polynômes Vi et Vs par les facteurs indéterminés

M, =z p'j"-' -f- A'jr"-» -f- B'j»-* -f- cy-« -f- . . . ,

à exprimer ensuite que les coefficients des mêmes puissances dey sont égaux dans les produits MiV, , M, V,, et à

SEGTIOIÎ I. — CHAPITRE IV. l65

éliminer enfin les m -4- » — 2 indéterminées A, B, . • . ,

A', B', . . . , entre les m-j-n — i équations du premier

degré

P A' 4- QP' = P'A -+- PQ',

PB' -f- QA' H- RP'=: P'B ■+- Q'A ■+- R'P,

PC -4- QB'-f- RA' -f- SP' =: P'C -f- Q'B -h R'A -f- S'P,

ainsi obtenues.

Les wi 4- « — 2 premières des équations précédentes donnent pour les indéterminées A , B , . . . , A', B', • . . , des valeurs fractionnaires auxquelles on peut supposer le même dénominateur A *, les facteurs Mi et M^i auront donc la forme

Tj et T, étant des fonctions entières de x eljy et il est évident que notre équation finale sera

T,V,-f-T,V,=ro.

78. S'il s'agit, par exemple, d'éliminer j entre les deux équations du deuxième degré

on sera ramené par le procédé d'Euler à éliminer A et A' entre les trois équations

PA'— P'A=(PQ'— QP'), QA'— Q'A — — (RF — PR'), RA'--R'A=:o,

ce que l'on peut faire en ajoutant ces équations après les avoir multipliées respectivement par les facteurs

QR' — RQ', RP'— PR', PQ'-^QP';

l66 GOXJK8 d'algèbre StPÉRIEUHE.

il vient ainsi

(PQ'— QP') (QR'— RQ') — (RP'— PR')»z= o.

Sî Ton tire des éqnalions qui précèdent les valeurs des indéterminées A et A', on en conclura, comme il a été indiqué plus haut, les polynômes par lesquels il faut multiplier les équations proposées, pour obtenir l'équation finale d'après la méthode de Bezout. Ces polynômes sont respectivement

- (PQ'~ QP') (P'j-f-Q') — P'(RP'— PR')

et

-f- (PQ' — QP') (Pj 4- Q) + P (RP' — PR')-

Remarquons encore que Téquation finale peut ici s'obtenir immédiatement en résolvant les équations proposées par rapport à j^ et à j*, ce qui donne