RP^ — PR^ ^ QR'— RQ
•^~~PQ'— QP'' •^'■~PQ' — QP^'
et en égalant ensuite la seconde expression au carré de la première.
Cas de trois équations du deuxième degré à trois inconnues,
79. Pour donner un exemple des simplifications que comportent les applications de la méthode de Bezout, nous considérerons le cas de trois équations générales du deuxième degré entre les trois inconnues j:,j'; z. Soient
[ û 7' -f- 2 hyz -f- /7 35' -h 2 r/j -+- 2 et -\' f = O , (l) ) «'j*-f- 2^'^3 4-c'z'-{- 2^'j-f- 2C''z-+-/'= O,
( a"y^ -f- 2 h"jz -t- c"z» -h id"y + 2 e^z -h/'' — o
les équations proposées ordonnées par rapporta 7 et à -25 dans chacune d'elles les trois premiers coefficients sont
des constantes, les deux coefficients suivants sont des fonctions linéaires de X'^ enfin le dernier terme est une fonction entière de x du deuxième degré.
Nous poserons
(2) E=a{b'c''—b''c')-^â'(b''c — bc")'ha"(bc'—b'c)
et
D = d{à'c''— b''c')-hd'(b"c — bcf')'^€r{bc' - b'c) , Ys = e(b'c" — b" c')-^ ^ {b" c — b(/')-\- e" (bc' - b' c], F =:f[b'c''—b"c')-^f{b"c — bc")-¥f"{bc'—b'c]\
\}'= d{c' a" ^c" a') ^ d' [</' a^ca'')'hd" {en' -^ c' a),
(3) ( -E/=c{c'a"'-c"a')-^e'[(/'a—ca")'^e'' (ca'^c'a), F' ==^/{€' a'' — f" a' ) -f-/' {(/'a — en" ) +/" ( c û' ~ c' « ) ;
D"=d{a' b''--a" b')-hd' (a^b —ab'')'^d'' {ab' — a' b), I."=e(a'b"—a"b')-^e'[a"b — ab")-^e"{ab''--a'b)', \ ¥"=:f{a'b"—a"b')^f(a"b — ab")-^f"[ab'-^a'b).
Alors, en éliminant successivement deux des quantités /*, jz, z* entre les équations (i), on obtiendra les suivantes :
iBj^-+- 2Dj-f-2E2-hF =rO, 2 H^Z -f-2D'j-f-2E'z-hF'zziO, H 3' -f- ijy'y -f- 2E"z -h F"z= o,
qui pourront suppléer les proposées ; mais nous leur donnerons une autre forme qui permettra de faciliter les calculs ultérieurs. Si l'on pose, pour abréger l'écriture,
iR =:HF 4'2(D'E— DE') -h(E'» — 4EE"), (5) R' = Hr -f-4(D"E —DE") — 2(D'E'— 2D"E — 2DE"), ( R''= eF''-h2(D"E'— D'E'0+ (D'»— 4DD"),
et que Ion multiplie les équations (4) par H, on pourra
l68 COURS D^ALGEBRE SUPÉRIEURE.
leur donner la forme suivante :
(H7 -f- E') (Hr -h 2D — E') + 2E(Hz -h aE'^— 'D') -+- R = o, (6) { 2(H^-f.E')(Hz-f-D') — 8D"E-f-R'=:o,
(Hz -f- D')(Hz 4- 2E"— D')-+-2D"(Hjr -f- 2D — E') + R''=o;
nous représenterons respectivement par
les premiers membres de ces équations (6).
Pour former, d'après la méthode de Bezout, le pre- \ mier membre de Téquation finale demandée, nous mul- \ tiplierons la fonction Y^ par un polynôme indéterminé Tt du sixième degré qui ne renferme aucun terme divisible par j^* ou par 2*5 les équations Vj = o, Vg= o, seront ensuite employées pour faire disparaître du produit T,Vj tous les termes qui contiendront en facteur j"* ou z*. Construisons^ pour cet objet, les formules suivantes :
(H«-4-D')V, — ^E V3=:(Hr-4-E')(Hjr-f-aD — E')(Hz-hD')
— 4D''E(HyH-2D— E') -f-R(Hz-f-D')— 2R''E,
(H/-f-E')V3— 2D"V,=:(Hz-hD')(Hz-4-2E'' — D')(H7-hE')
— 4D"E(Hz-+-2E" — D') -hR''(H/-f-D') — 2RD",
(Hz -f-D') (Hz -f- 2E''— D') V, — [2E (Hz-4- 2 E'^— D')-+- R]V, i=(Hj-t-E')(Hjr-h 2D — E')(Hzr^D')(Hz-f-2E''— D')
— 4D"E(H/ -f- 2D— E')(Hz -f- 2E''— D')
— 2RD''(Hj -f- 2D — E' j — 2R''E (Hz -4- 2E''— D') — RR";
en égalant à zéro leurs seconds membres, nous obtiendrons les équations nécessaires pour Tévanouissement des termes que nous aurons à faire disparaître.
Nous donnerons au polynôme T^ la forme suivante :
• { T,r= 2X(Hj -f- 2 D — E') (Hz -f- 2 E" — D') (9) -f-2(Y-4-E'X)(Hz -f-aE'^— D')
X, T, Z, U désignant des fonctions entières et indéterminées de x; la première de ces fonctions, X, est du quatrième degré^ Y et Z sont du cinquième^ enfin U est -du sixième degré. U est presque superflu d'ajouter que c'est uniquement pour les convenances du calcul que nous écri- YonsY-f- E'X etZ + lyXaulîeudeY et Z. Comme nous l'avons dit, les formules (7) et (8) seront employées à faire disparaître du produit TtYi les termes divisibles parj* ou par 2* 5 il est facile de voir qu'on produira cet effet en ajoutant au produit TiYi les seconds membres des trois formules (7) et (8) respectivement multipliés par les facteurs
ce qui revient à ajouter à T,Vj les produits TiVi,T»V8 dans lesquels les facteurs Ti , Ta ont pour valeurs
T, = — 4X(Hz -f- D') (Hz -h 2E"-- D')
-h8D"(Y-h E'X) — 4(Z-f-D'X) (Hz -f-D'), (10)'
T3=r — 4X[2E(Hz-4-2E''— D')-+-R]
— 4(Y-f-E'X)(Hj-f-E')-h8E(Z-+-D'X).
EflTectivement, si Ton pose
(11) 0:=,T.V.-l-T,Va-hT3Vs,
puis que l'on fasse, pour abréger,
, , ( HP=:4D''R-f-(2E'^— DMR' — 2E'R",
HQ = 4 ER'' -+- (2 D -^ E')R' — 2D'R,
et
(' ^i ■ 4(E'»-4EE")R"H-(R'» — 4RR"),
Texpression (11) de 0 deviendra
, -f-2H(HPX-f-R'Z-- 2R"Y)r
^ ^^ ^ -h2H(HQX + R'Y— 2RZ)z
H(2PY-+-2QZ— HNX).
Maintenant, pour que cette expression devienne celle du premier membre de Téquation finale demandée, il faut que, par le moyen des polynômes indéterminés, les termes en yz^ en y et en z disparaissent de la formule (i4). Comme le terme en jz ne figure que dans V|, il nous faut poser
et
( HPX -+- R'Z — 2R" Y =: o,
^ ' I HQX-f-R'Y — 2RZ=:o;
Texpression de 0 se réduit alors à
(17) 0 = 2HPY-+-2HQZ— H'JSX. '
On tire des équations (16)
(2PR -f- QR')HX = — (R» — 4RR"} Y, (2QR"-+- PR')HX=--(R'' — 4RR")Z;
ces formules montrent que le polynôme X est divisible par R'* — 4RB." qui est une fonction entière de x dci quatrième degré; le quotient de la division est donc une constante que l'on peut choisir à volonté. Nous prendrons pour cette constante Tinverse de la quatrième puissance
SECTIO» I. — CHAPITRB IV, 171
de H, changée de sîgne^ en sorte que l'on aura
(18) I H'T = 2PR-hQR',
( H»Zz=2QR"-+-PR';
les polynômes X? Y^ Z étant connus, la formule (i5) fera connaître U. Enfin, au moyen des formules précédentes, on obtiendra celte expression de 0,
('9) ^= L [N(R" — 4 RR") -+- 4 (P'R + PQR' -f- Q^R")],
qui fournit la solution de la question proposée.
Les valeurs de P et Q données par les formules (12) renferment en dénominateur la constante H, et la valeur de N tirée de la formule (i3) a le dénominateur H* 5 maison peut démontrer que ce dénominateur doit disparaître des expressions de P, Q, N, lesquelles sont ainsi des fonctions entières des coefficients des équations (1). Le dénominateur H' disparait également de Texpression (19) de 0^ et celle-ci devient alors une fonction en-r lière et homogène du douzième degré, relativement aux dix-huit coefficients des équations proposées; mais nous ne démontrerons pas cette proposition qui s*écarte un peu de notre sujet.
80. Il faut remarquer que l'analyse précédente ne donne pas seulement l'équation finale demandée © = o, mais qu'elle fait connaître aussi les valeurs des inconnues jei z qui répondent à chacune des huit racines de cette ^ualion finale. Eflectivemeni, quelles que soient les valeurs Jfî/i/e5 que Ton attribue aux indéterminées X, Y, Z, U, dans la formule (14)9 l'expression de 0 que Ton obtiendra se réduira nécessairement à zéro, pour tous les systèmes de valeurs de t, 7, z qui satisfont aux
équations proposées. Or, si Ton fait successivement
et
la formule (i4) donnera ces deux valeurs correspondantes
de 0 :
0 rr: (R'> — 4RR")j + (aPR + QR'),
e r=: (R" — 4RR''} z -+- (2QR" -f- PR'),
qui Tune et Fautre sont nulles \ on a donc
2PR -f- QR^ 2QR^^-+-PR^
