R'» — 4RR"' ^"""~ R'»— 4RR
et l'on peut écrire aussi
UX HX
X, Y, Z désignant ici les fonctions déterminées par les formules (18). Il est évident que si l'on substitue ces valeurs (20) de j^ et de ^ dans les premiers membres des équations (6), ceux-ci se réduiront à des fonctions ra- , tionnelles de x dont les numérateurs seront divisibles par ©5 au surplus, il est facile de vérifier qu'il en est ainsi, en se servant des formules que nous avons obtenues.
81 . Si l'on suppose que x^ y^ z représentent des coordonnées rectilignes, le problème que nous venons de résoudre coïncidera avec celui qui a pour objet la recherche des points communs à trois surfaces du deuxième degré données. La discussion des cas particuliers de ce problème met en évidence diverses circonstances intéressantes qu'il n'entre pas dans notre plan d'analyser d'une manière complète; mais nous indiquerons succinctement
les principales, afin de faciliter Tintelligence des considérations générales qae nous aurons à présenter ensuite.
Les coefficients des équations proposées ne seront plus dans ce qui va suivre des constantes indéterminées, et nous examinerons les cas principaux dans lesquels la fonction 0 se réduit identiquement à zéro.
Supposons d'abord qu'il n'existe entre les coefficients aucune relation autre que celles qui sont nécessaires pour la réalisation de Thypothèse où nous nous plaçons. Dans cecas; la fonction X ne se réduit pas à zéro, et la substituiion des valeurs (20) de j* et de z^ dans les premiers membres des équations (6), donne des résultats identiquement nuls^ cela exige, comme on le reconnaît aisément, que les fonctions rationnelles substituées k y et à z se réduisent à des fonctions linéaires de x^ et, par suite, que Y et Z soient divisibles par X. On voit alors que nos trois surfaces ont une droite commune, savoir, celle qui est représentée par les équations (20); mais elles ont aussi d'autres points communs qu'il est facile de déterminer. EfTectivemenl, les formules (20) ont été obtenues en remarquant que, pour toutes les valeurs de x^ y, z qui satisfont aux équations proposées, les deux fonctions entières
s'annulent. En égalant à zéro le second facteur de l'une et de l'autre expression, on retrouve les équations (20); mais on voit que l'on a en outre la solution
X = o, ou R'2— 4RR" = o,
laquelle fournit les coordonnées x de ceux des points communs aux trois surfaces qui ne se trouvent pas sur la droite commune.
Ainsi, dans le cas qui nous occupe, bien que les équations proposées soient indéterminées, on est conduit à considérer une équation finale qui est, en général, du quatrième degré.
82. Supposons maintenant que les coefficients des équations proposées soient tels que l'on ait identiquement, non-seulement 0 = o, mais encore X = o ; comme au numéro précédent, nous exclurons toute relation inutile pour la réalisation de nos hypothèses. Les équations
HXjr — Y=r=0, UXz-^Zz=:0,
obtenues au n^ 80, montrent que Ton a identiquement Y = o, Z = o; le cas où les trois fonctions R, R', R" se réduisent à zéro sera examiné plus tard, et nous l'excluons en ce moment*, alors l'une au moins des fonctions R et R'' étant différente de zéro, nous supposerons que R ne soit pas nulle. Enfin l'identité X = o nous donne
et nous distinguerons deux cas, suivant que a est une constante ou une fonction de x.
Admettons d'abord la première hypothèse. Les identités Y = o, Z = o, © = o s'accordent à donner
si donc on fait
P-+-XQr=o; Q
on aura
et il viendra, à cause des formules (12),
— XHg — -zD" -f- (2€" — D')X — E'P, H| = 2EX»-+-(2D — E'); — D',
SSGTION I. — CHAPITRE IV. 1^5
d'où, par 1 élimination de ^9
D" -h (E'^ — D')^ 4- (D — E')V + EV =ir o;
on voit que Ç est une fonction linéaire de x.
Si l'on continue à représenter par Vi, Vj, Vj les premiers membres des équations (6), on trouvera, au moyen des formules qui précèdent,
-Va X V, = e (H/- -h E' — 2^E){z — xr — 5),
On voit par là que les équations Vi = o, Vj = o sont satisfaites par toutes les valeurs de X^ y, z qui satisfont aux deux
la dernière de ces équations est celle d'un plan : donc, les trois surfaces que nous considérons ont une conique commune. Ces surfaces ont aussi deux autres points communs, lesquels appartiennent à la droite représentée par les deux équations
Hj-f- Ë'— 2XEr=o, Hz -t-D' — ^D" = o;
ri
si Toa tire de celles-ci les valeurs de y et de -z pour les substituer dans les équations (6), on trouvera les résultats
Rr=:0, R'rrrO, R'' — O;
ces équations sont en général du deuxième degré et Tune quelconque d'entre elles peut être regardée comme l'équation finale qui convient au cas particulier que nous examinons.
Le cas où la constante X se réduit à zéro n'introduit aucune particularité nouvelle. Les fonctions R et R'' sont alors identiquement nulles, et comme nous excluons
le cas de R = o, Thypothèse 0 = o exige que l'on ait D" = o. Alors les lieux que représentent les deux dernières équations (6) ont un plan commun.
