Supposons que 1 soit une fonction de x, et posons
r et S étant des fonctions entières premières entre elles. Comme
on aura
R — As\ R' = 2 krs, R" = Ar\
d'où il suit que le degré de r ou de 5 ne peut surpasser l'unité^ et comme l'une de ces fonctions au moins ne se réduit pas à une constante, la quantité k sera nécessairement indépendante de x.
D'après les résultats obtenus au numéro précédent, on aura
D"*» -f- ( E" — D') rs' -h (D — E') r^s -f- Er» = o.
Supposons que s ne se réduise pas à une constante; l'identité précédente prouve que E est divisible par 5, d'ailleurs E est du premier degré \ on a donc
E = aSy
a étant une constante. En substituant à E cette valeur et divisant par 5, il vient
D''5» -f- (E'' — D') rj H- (D — r -f- «r) r» = oj
on voit de même que D — E' -f- «r est divisible par 5, et en désignant par S une constante, on aura
D— E' = — ar-+-65j
SEGTlOn I. CHAPITRE IV. I77
pois réquation précédente divisée par s deviendra
enfin, la fonction E'' — IX 4- ër est encore^divisible par s ' et, en désignant par y une nouvelle constante, on aura
E'' — D' = — er-f-7J,
puis
En résumé, nos hypothèses nous ont donné les ré*
sultats
E = (xSf D — E' = — ar -f- 65,
E"— D'=z — 6r-f-7J, D''= — vr;
et ron aurait évidemment obtenu les mêmes formules, si Ton avait supposé r fonction de or, s pouvant être une constante.
Au lieu de la constante k qui entre en facteur dans les expressions de R, R', R'', nous en introduirons une autre g déterminée par Téquation
^ = (6^ — 4a7) — g'», d'où g^ = ±:v/(6» — 4a7) — ^;
alors les équations (6) de nos trois surfaces deviendront
+E'+(g'-+-6)^][H/-f-e'— 2ar— (g' — e)j]-+-2aV[H8-hD'-f-(g'— 6)r] = o, +E'+(^+6>](Hz-+-D')— (^-f-6)5[H3-+-D'-f-(g' — 6)r]rr:o,
l+D'4-(g'— e)r][H2H-D'-f-27J— (g'-f-Sjr]— 27r[Hr4'E'-f-{g'-f-ê)*]=ro.
Ces équations sont satisfaites en même temps que les
cleux
Hr-4-E'4-(^-h6)5 = o,
Hz H- D' -h (g' — 6)r=o,
dans lesquelles g a Tune ou l'autre des deux valeur»
i V(6' — 4*7) — ^î ï^s surfaces que nous considérons ont donc deux droites communes non situées dans le même plan. On voit aussi que le reste de rintersection I. 12
tji C0UA9 D^LGBBRE SUPéRIBVEE.
de deux des trois surfaces se compose de deux autres droites; chacune de celles-ci coupe les deux premières droites en deux points qui sont sur la troisième surface, et en conséquence elle ne peut rencontrer cette troisième surface en d'autres points.
Ainsi, dans le cas dont il s'agit, il n'y a plus d'équation finale.
84. Considérons enfin le cas où Ton a identiquement R c= o, R' := o, R^'^ = o. Les premiers menxbres des équations (6) deviennent alors
V, = (Hr -4- E') (Hj-h 2D — E') -4- 2E (Hz -f- îE" — D'),
V,=: (H/ -h E') (Hz -h D') — 4D'='E,
V, = (H z -f- D') (Hz -f- 2E* — D') -f- 2D" (H^ -t- 2D -- B'),
et il en résulte
(Hz H- D')V, - (Hj-4- aD - E') V, - 2E V, = o, (Hr-V- E') Y,— (Hz -t- aE" — D') V,— aD'^V. = o.
La droite qui a pour équations
Hj-f-E'=:o, E=;o
appartient aux deux surfaces Yi et Ys, et, d*après les identités qui précèdent, le reste de Tintersection de ces deux surfaces appartient à la troisième surface Y3. Pareillement, la droite déterminée par les équations
Hz-f-D' = o, D^'^irO
appartient aux surfaces Vt et Vj, et le reste de Tîntersection est sur Yi, Enfin, la droite
H j -h 2D — E' = o, Hz -h- 2E^ — D' = o
appartient aux surfaces Yi et Ys, et le reste de PinterseGtion appartient à Y«. Il résulte de là que les trois surfaces considérées ont une courbe du troisième ordre commune.
SECTION 1. — CHAPITRE It* 1^9
Les trois droites qui complètent les intersections des surfaces deux à deux ne se rencontrent pas en général, et en conséquence elles rencontrent la courbe du troisième ordre. Dans le cas qu'on Tient d'examiner il n'y a point d'équation finale.
Nous ne pousserons pas plus loin cette discussion, et^ nous remarquerons en terminant que nous n'ayons pu rencontrer le cas où les surfaces données ont une courbe da quatrième ordre commune, parce que nous avons exclu les hypothèses dans lesquelles la constante H se réduit à zéro.
Sur les équations simultanées dans lesquelles les coèffi^ cients ont des valeurs particulières déterminées.
85. En ae considérant jusqu'à présent que des système» formés d^équation s générales dans lesquelles les coefficients sont indéterminés, nous nous sommes affranchi de toutes les difficultés auxquelles les cas particuliers peuvent donner naissance. Mous allons présenter ici quelques considérations relatives à ces cas particuliers; mais il n'entre pas dans nos vues d'approfondir en ce moment cette partie importante de la théorie des équations ; nous reviendrons sur ce sujet dans la deuxième Section de cet Ouvrage.
Les systèmes formés de plusieurs équations simultanées entre un pareil nombre d'inconnues peuvent être distin* gués en deux genres,' suivant qu'ils admettent un nombre limité ou un nombre illimité de solutions. Dans le premier cas, l'équation finale relative aux équations proposées doit évidemment être comprise dans l'équation finale qui se rapporte au système composé d'équations générales, en même nombre que les proposées, et respectivement de mêmes degrés que celles-ci. Dans le deuxième cas, il n*y
l82 COVRS D'ilLGÈ«aE SUPÉRIEUAB
de la fonction y* (^n) ) si ce degré se réduit à m — jui, i'é* quation finale (2) a /x racines qui deviennent infinies quand on fait tendre les coefficients A, B, . • . , vers les limites A^^\ B^^^ .... Il est essentiel de tenir compte de ces racines infinies et de ne point abaisser au-dessous de m le nombre des systèmes de solutions des équations proposées. Ces m systèmes de solutions nous sont donnés par les formules des n°^ 73 et 74 ; les formules (7) du n" 73 suffisent toujours quand Téquation finale ( 5 ) n^a pas de racines égales; autrement il faut avoir recours aux formules (8), (9), etc. (n^74). Le cas où l'équation finale ac* quiertdes racines égales mérite dVrrèter notre attention ; parmi les m systèmes de solutions des équations (4)9 il s'en trouve alors plusieurs qui fournissent la même valeur pour l'inconnue z^. Il peut même arriver que k de ces systèmes coïncident entièrement, et, dans ce cas, ils constituent, pour les équations proposées (4), ce qu'on nomme une solution multiple d^ ordre h.
L'équation finale relative aux équations générales (i) pous donne ainsi la véritable équation finale qui se rapporte aux équations particulières (4)9 mais quand on veut obtenir celle-ci par une voie directe, il est essentiel de maintenir à chaque racine le degré de multiplicité c|ui lui convient»
87. Supposons maintenant que la fonction y(z„) se réduise identiquement à zéro quand on fait A = A^*\ B = B^®^ .... Nous poserons
A =: A(t) -f e A(0, B = BO H- f B(>), C =r C(»> -t- eCO), ... ;
' A^^^, B^*\ C^*^. . ., étant, ainsi que €, des constantes indéterminées, en sorte que la généralité des équations (1) ne sera point altérée. En faisant cette substitution dans les polynômes Nk et T^ et en o^rdonnant ensuite les résul-^
. StU^tlOK I. CH4»lTtE IV. l83
tau par rapport aux puiasances croissfttites de e, on aura
et
Vj'^et l]'*^ étant des polynômes indépendants de e. La fonction y* (^„) prendra donc la forme
Par hypothèse, le ternie f^^^ (z„) est nul 5 quelques-uns des coefficients des puissances de ê peuvent aussi to réduire à zéro, mais ils ne peuvent pas tous s^évanouir, car l'expression précédente de/'(z„) se rapporte toujours à
un système d'équations générales. Désignons par/^^^ [z^) le premier des coefficients qui sont différents de zéro, on aura alors identiquement
/(•){z,)=o, /0)(z„) = o,..., /(/*-0(^„)^o, et l'expression def{£n) deviendra
/(z„) =. 6 v^^)(z„) -t- g/^H-yc/^^o (z;) ^ . . . ;
en conséquence, Téquation finale relative au système général (i) prendra la forme
Maintenant, pour passer des équations générales attt équations particulières (4), il suffit de faire tendre s vers zéro, et à la limite Téquation finale se réduira à
L'analyse qui précède nous conduit donc toujours a une équation limite^ soil que les équations proposées ad^ mettent des solutions en nombre limité, soit que ces
i84 COURS d'algèbre supérieure*
équations constituent un système indéterminé, et ad- > mettent en conséquence une infinité de solutions.
Lorsque le premier cas a lieu, il y a pour les équations proposées une certaine équation finale
qui est indépendante des quantités arbitraires Â^^^ B^^\ C^^\ • • . et dont le premier membre est évidemment un diviseur de J^^\zn)] on a. donc
4>(z„) étant une fonction entière de z» et des arbitraires A(*^ B<*\ ... .
Lorsque les équations proposées admettent une infinité de solutions, il n*y a plus d'équation finale; Téquation limite
correspond à ce qu'on nomme, dans la Géométrie, une en\feloppe. Elle fournit les valeurs limites qui conviennent à rinconnue z„, dans le cas d'un système variable que Ton fait tendre, suivant une loi quelconque, vers un système composé d'équations indéterminées.
88. Les considérations que nous venons de présenter peuvent se résumer par les propositions suivantes :
Le degré de V équation finale qui résulte de Vélimi-nation de n-^i inconnues entre n équations algébriques quelconques à n inconnues est au plus égal au produit des degrés de ces équations.
Dans le passage d^ un système d'équations générales à un système d^ équations particulières respectivement de mêmes degrés^ le degré de l'équation finale peut s^ abaisser y soit par V éi^anouissement de quelques termes^ soit par la suppression dUtn facteur.
SECTION I, . — CHAPITRE IV. l85
Il serait facile d'établir par notre analyse que Téquatien finale relative aux équaûons (4) peut toujours se mettre sous la forme
S, V|*^ -h S, V(*^ -h ... 4- Sy^^ = o ,
S|, S|,. • • 9S» étant des fonctions entières. La détermination directe de ces polynômes multiplicateurs, dans les différents cas qui peuvent se présenter, est le problème que Bezout s'est proposé de résoudre, et dont le développement forme l'objet de la Théorie des équations algébriques^ que nous lui devons. La solution n'est pas exemple de difficultés, et Tapplication de la théorie est fort laborieuse; aussi nous n'entrerons à ce sujet dans aucuns détails, et nous renverrons à la Section suivante où l'on trouvera l'exposition d'une nouvelle méthode d'élimination.
Il ne sera pas inutile, en terminant, de présenter un exemple simple dans lequel le degré de l'équation finale s'abaisse par la suppression d'un facteur. Je choisirai, à cet effet) le cas de deux équations du deuxième d^ré que nous avons déjà considéré au n^ 78. Les inconnues étant X et y y soient
j Y, = Py 4-Qr -4-R=:o,
deux équations générales du deuxième degré; P et P sont des constantes, Q et Q' sont des fonctions linéaires dex, R et R'sont des fonctions entières du deuxième degré. Les facteurs T|, Ti, par lesquels il faut multiplier respectivement Vj et Vi , ont ici pour valeurs
( T, = — (PQ'- QF)(P> -f- Q')— P'(RP'~ PR') ^M Ta=-h(PQ'--QP')(Pr-f-Q) •4-P(RP'-PR0>
i86 COURS o'alocbre supérieure.
et le premier membre de Féquation finale est
(3) T|V,-M,V,=(PQ' — QP')(QR' — RQ') — (RP- — PR')'.
Ce premier membre se réduit a zéro, ainsi que les polynômes Ti et Ti, lorsqu'on suppose P = o, P = o. Posons, conformément à ce qui a été dit précédemment,
V = ep, P' ==«/>',
les formules (a) et (3) donneront
et
y V. 4- Î-' V, == (/>Q' - p'Q) (QR' - RQ') -*{p'K —p^'Y-
Faisons tendre maintenant e vers zéro et désignons par Y*\ V^*\ Tj", T<" les limites de V. , V, , îî et î-', 1
on aura
Tl'^ - - (/'Q'-7''Q)Q', T,^'^= ^ (f'Q'~y''Q)Q,
et
t(') v|*> + T^'J V^^'^ == (/?Q' - />'Q) (QR' - RQ') .
Si Ton remplace dans cette dernière formule T|'^ et Tj'^
par leurs valeurs, les deui[ membres contiendront le facteur pQ/ — /»'Q, et en supprimant ce facteur il viendra
— Q'V|*^ -f- QV^"^ = QR' — RQ';
Téquation finale se réduit donc à
QR'— RQ'r^o,
SECTIOn I. — CHAPITRE IV. 187
et, comme on le voit, elle s'est abaissée au troisième degré par la suppression d^un facteur.
Si l'on suppose que x et / représentent des coordonnées rectilignes, les équations proposées seront celles de deux coniques. L'équation finale que nous venons d'obtenir fera connaître les abscisses de trois des points d'intersection, mais les deux coniques doivent être regardées comme ayant un quatrième point commun situé à Tinfini; l'ordonnée y de ce quatrième point est infinie^ mais Tabscisse x est complètement indéterminée.
L'eiiistence de solutions indéterminées se manifeste même chez les équations du premier degré. Effectivement, les deux équations
a^ -4- ^ar -f- c = o , a* y H- b' x -\- c^ z=o
représentent deux droites qui deviennent parallèles lorsqu'on suppose a = o , // = o . L'ordonnée du point d*intersection est alors infinie, mais l'abscisse est indéterminée.
Théorème relatif au degré de multiplicité des solutions de deux équations simultanées à deux inconnues,
89. Il existe à l'égard des solutions multiples d'un système d'équations simultanées un théorème analogue à celai qui concerne les racines multiples des équations à une inconnue. Nous allons établir ici ce théorème en nous bornant au cas de deux équations à deux inconnues x etj^.
Soient
deux équations des d^rés m ei n respectivement et auxquelles nous supposons la plus grande généralité possible. Pour donner à ces équations la solution x = x^^j =J^o» il suffira d'assujettir les arbitraires contenues dans y* et F
i88 COURS d'algèbre supérieure.
aux deux conditions
Cela étant, ordonnons /"(x,^), F(Xjy) par rapport a X — Xq et y — j^oî P^î* posons
il est évident que les premiers membres des équations (1) prendront la forme
/{x, x) = {a:^ js,) <p, {t) -h (« — Xo)»y, (0 + ... -f- (a: — «•)*?« W F(:r, j) =: (ar — Xo)<^, {t) -f- (j; — j:o)'<ï>a(0 -+-...-+-(« — ^.)"*- W
<f (t), 0 (f) étant des fonctions entières de t, la première
du degré fx et la seconde du degré v *, dans ce qui va suivre, les indices fx et v pourront surpasser m et n respective* ment, mais dans ce cas on fera cp («) = o , ^^(t) = o. Désignons par
une fonction entière arbitraire, d'un degré quelconque 5, des deux variables a: et j^ et que nous ordonnons de la même manière que les fonctions^^et F. On aura identiquement
en posant, pour abréger,
T. =^i{t) — cro{0?i(0»
T, =4>a(0 --[cio(0?2(0 ■^^i(^)9t{^)]f
Ta = <ï>8 (/) — [tJa (0 Î3 (0 ■+- ^i (0 1>2 (0 + '^^ (0 ?! (Oi
et si Ton dispose des arbitraires contenues dans les fonc-
SBCnOlf I. — CHAPITRE IV. 189
dons/et F, ainsi que de celles contenues dans ^^ de manière que Ton ait identiquement '
la formule (4) deviendra
6) F(*, r) ~/(x, j)^; (or, r) = (^ — J?«)*Ti ^ (x — *.)*+' T*4.i H-
Cela posé, supposons qu^on véuille^donner aux équations proposées la solution x = Xj, jr = j^i 5 il suflSra que le second membre de la première formule (3) et celui de la formule (6) se réduisent à zéro pour x=Xi et
t r: *^- — ^ ^ ces valeurs de x et de t devront donc satisfaire
aux deux équations
T* -4- (ar.— x.) T4+, -h . . . =: o.
Mais si Ton fait varier x^ et j^i de manière que ces quantités tendent vers les limites Xo et 7*09 les deux conditions imposées aux arbitraires se réduiront à une seule à la limite, car il suffira que les deux équations
soient satisfaites par la même valeur de t\ cette valeur
I sera égale à la limite vers laquelle tend le rapport -^
quand yi etX| tendent vers^^ et x^^. Comme la première des équations précédentes est du premier degré, la condition dont nous venons de parler équivaut à celle de la divisibilité de Ti par cj»! (t) ^ enfin, parce que T* renferme le terme zs^^i [t) (fi(t) èi que les conditions (5) laissent ^1.1 (t) indéterminée, on peut supposer cette fonction choisie de manière que Ton ait identiquement
On voit donc que si Ton dispose des quantités qui res-
ipO COURS D*ALGàBRB SUPÂRIBURE.
tent arbitraires de maaière à satisfaire à l' équation (7), on augmeuteiti d^une unité (n*^ 86) le degré de multiplicité de la solution (xo^^o)*
Il résulte de là que les formules (5) donnent les conditions nécessaires et suffisantes pour que le degré de multiplfcité de la solution (xo^/o) soit égal à /c; ces mêmes formules expriment quil existe une fonction ^ {x^^y) telle, que Téquation (6) ait lieu identiquement. Il faut remarquer que le polynôme Ti n'est pas divisible par ©1(^)5 à moins que le degré de multiplicité de la solution {-T^^yo) ne soit supérieur à A*; en outre il est évident qu'en disposant de la fonction indéterminée zjjt-i (^)) on pourra réduire Tt à une constante différente de zéro.
Remplaçons t par sa valeur ^^- -^ la formule (6) deviendra
(8)* F{x,y)-/{^,xmx,x)=x(^,x),
X i'^tj) ^tant, d'après ce que nous venons de dire, un polynôme de la forme
(9) xi^^x}=(^i^-'^*y-^^Op^,{x-Xo)P{jr-^X,Y;
- où G et Gp^q désignent des coefficients constants et où le 1
signe X embrasse un nombre limité de termes dans cha- ;
cun desquels le degré p -h^ est supérieur h h,
Noos emploierons les caractéristiques Dr, D^ pour représenter les dérivées de nos polynômes prises par rapport à X ei à y respectivement -, ainsi D^^F (x, j), D^ F (Xyj) désigneront les dérivées de F(jr,^) relativement à jp et ky. Cela posé, si dans l'identité (8) on remplace x par X -}- /t, et qu'on égale les coefficients de la première puissance de h dans les deux membres, il viendra
(10) D,F{x, y) --/( jr, J)D,^P(.r, r>~ ^x, r)ï>,/lx, r) =: D,x{jf,rli
OB aura aussi, en opéranl de la même manière à l^égard
ii)D,F(x,/)-/(x,j)D^^;(x,j^j-4;(x,j)D^/(a;,r)=:p,x('^>r). Nous poserons (i2)F,(:r,j^)==;;D^/(x,7).D,F(a:,r)-D,/(4:,jr).EyF(x,r), et nous ferons en même temps, pour abréger lécrilure,
*. (x, jr) = I>,/(ar, f) . B,^ (^, ^ ) - t>,/(^, x) D,^ (x, ^),
Alors, ^3 ajoutant entre elles les équations (lo) et (i i) respectivement multipliées par-|-D^y*(x,j") et — D,/'(j:,j^), on trouvera
(l3) V^{af, j)— /(ar, /),[;, (x,j) = X«(^» r)-
Les termes du premier degré en a: — j:© et j^ — /t daos /(x, j) ont pour somme (x — Xo) cfi (<), et la dérivée de cette somme par rapport ky est égale au coefficient gdet dans <pi (;), coefficient que toute notre analyse suppose différent de zéro. Il en résulte que jji (x, 7) contiendra le terme J(gG[x — XqY"^ avec d'autres termes qui seront tous d'un degré supérieur kk — i par rapport à x — j:© et /— joî ^ette fonction ^i (^j j) aura donc la forme
H et Hp^^ étant des constantes, et la sommeyi -H ^ étant supérieure à A — i .
Les formules (i3) et (i4) montrent que (x^^ y q) est une solution multiple d'ordre k — i pour les équations simultanées
Ce résultat subsistera lorsqu'on donnera des valeurs particulières aux quantités qui restent arbitraires dans F et dans/, lors même que ces valeurs feraient disparaître t de
(fi (t), pourvu cependant que (fi (t) ne se réduise pas a zéro. On évitera efiecti vement ce cas si l^on reprend l'analyse qui précède après y avoir changé les lettres x et j Tune dans l'autre.
Mais si ^ ^ ( t) se réduit identiquement à zéro, la conclusion précédente ne peut pas être maintenue ; dans ce cas les deux équations
admettent la solution x = Xq^j =yo»
Comme rien ne distingue les équations (i) Tune de Tautre, on peut énoncer le théorème suivant que nous avions en vue :
Théorème. — Soient f(x^j) = Oj F (x , j-) = 0 deux équations simultanées, et F, (x^j) la différence D^/(x, y) D,F (x, y) - h^f{x, y) D^F {x, y). Si les équations proposées admettent la solution a: = j:o, y =yo avec un degré de multiplicité A", les équations Fi [oc^j) = o^f[x^j) = o admettront la même solu-tion av^ec un degré de multiplicité précisément égala h — I, i moins que cette solution n appartienne aux deux équations D;c/(.r,j^) =0, D^/(a:,y) = o. Pareillement les équations Fi {oc^y) = o, F (x, y)=^o ad^ mettront la solution j: = ar© 5 ,y = /o ^^cc le degré de j multiplicité h — i ^ à moins que les deux équations j D;rF{a:,j-) =0, D^F(j:,j^) = o niaient cette même \
solution.
On voit que, dans tous les cas, une solution multiple des équations/ [x^j) = o, F [x^j) = o satisfait nécessairement à Téquation
90. La proposition que nous venons d^étàblir comprend le théorème qui se rapporte aux racines multiples des
SECTION I. — CHÀPITBE IV. ipS
équations à une seule inconnue, car si on l'applique aux deux équations f{x) = o, j^ = o, dont la première a k racines égales à 0:09 elle indiquera que Téquation /'(r) = a a /r — 1 racines égales à a:©.
Mais le nouveau théorème n'a pas une étendue aussi grande que le premier, car nous avons exclu le cas d'une solution multiple qui satisferait aux quatre équations obtenues en égalant à zéro les dérivées relatives à j: et à ^ des premiers membres des équations proposées. Ce cas est celui dans lequel la solution que Ton considère est une solution multiple de chacune des équations prises séparément. En eiïet, si Ton pose, comme au n*^ 89,
et que la fonction y (a:,j^) du degré m puisse se mettre sous la forme
f(x, jr) = (J? — *o)* y* (0 -♦-•.. -^ (« — aro)'"f m ( r),
(fi[t) étant d'un degré égal a /r, parmi les racines de Téquation
y * (r) H- . . . -f- (x — iro)'"~*f m (t) = o,
il y en aura k qui tendront vers des limites finies quand on fera tendre x vers Xo^ d'où il résulte que k solutions de réquationy(a:,j^) = o viendront se confondre à la limite avec la solution (xo^yo). Si l'on suppose que x ety représentent des coordonnées rectilignes, on pourra dire que le point (Xo, jKo) est un point multiple d'ordre k pour la courbe représentée par l'équaliony(a:, j^) = o.
Nous avons cru utile de faire cette indication, mais nous n'entrerons point dans l'examen des détails du cas singulier dont il vient d'être question. Remarquons seulement que si deux équations
admettent la solution (xo,jKo) avec le degré de mullipli- I. i3
194 COURS d'algèbre SUPéUBURE.
cité k^ mais que cette solution soit simple potir chaijiie équation prise séparément^ on pourra remplacer Tune des équations par une autre pour laquelle Ja solution (aro) Jo) ait le degré de multiplicité k. Il est évident en e^Tet qu'à la dernière des deux jurécédentes équations on peut substituer h 8(Ui vante
qui remplira la condition requise si Ton détermine la foDCtion ^ (or, /) comme on Ta expliqué au numéro précédent.
Application de la théorie du plus grand commun diviseur à la recherche des solutions communes à deux équations à deux inconnues,
91 . La théorie du plus grand commun diviseur fournit une méthode très-simple pour ramener la résolution de deux équations à deux inconnues à celle d'un ou de plusieurs systèmes dans lesquels l'une des équations nç renferme qu'une seule inconnue. Nous allons exposer ici cette méthode.
Soient
(i) yt = o, V, = o
deux équations algébriques entre les inconnues xeljr. Si les polynômes Vi et Vi sont décomposables en facteurs, de manière que l'on ait
il est évident que la recherche des solutions du système (i) se ramènera à celle des solutions des /iv systèmes
(2) Vf'=o, V<^> = o,
les indices supérieurs i et/ pouvant recevoir les valeurs I; 2, • . • , jiA et I , a, • . • , V respectivement.
SeCTION I. -r* CHAPITRE lY. IpS
Si les équations qui composent l'un des systèmes (2) rentrent l'une dans Tautre, ce système sera indéterminé et la même chose aura lieu à Tégard du système proposé.
Si les équations (a) ne renferment Tune et l'autre qu'une seule inconnue, x par exemple, elles seront incompatibles et elles ne fourniront aucune solution des équations proposées^ à moins que leurs premiers membres n'aient un diviseur commun. Alors, si l'on prend Tune des valeurs de x qui annulent ce diviseur commun, avec une valeur arbitraire de y^ on satisfera évidemment aux équations (i) ^ ce cas est compris dans le précédent.
Si les équations (2) renferment seulement, l'une l'inconnue x^ l'autre l'inconnue y^ chacune d'elles aura autant de racines qu'il y a d'unités dans son degré, et en combinant successivement chaque racine x avec chaqtfe racine j^, on obtiendra tous les systèmes de solutions des équations (2).
Enfin, si. Tune des équations (2) renfermant les deux inconnues, Tautre n'en contient qu'une seule, x par exemple, celle-ci admettra une ou plusieurs racines, et la première équation fournira une ou plusieurs valeurs de y correspondantes à chaque racine x. La recherche des solutions des équations simultanées (2) n'offre donc alors que les difficultés du problème de la résolution d'une équation à une -inconnue.
En général, avant de procéder à la recherche des solutions des équations proposées (1), il conviendra de débarrasser leurs premiers membres des facteurs fonctions de X ou fonctions de y que ces polynômes peuvent admettre. On appliquera à cet effet la méthode du n^ 47 ; par exemple, pour avoir les facteurs de Vf qui ne dépendent que de a:, on ordonnera ce polynôme par rapport à y^ ensuite on cherchera le plus grand commun diviseur de deux des coefficients, puis le plus grand V i3.
196 COtJRS d'algèbre SCJPÉRIEUftE.
commun diviseur entre ce premier plus grand commun diviseur et un troisième coefficient, et ainsi de suite. Cette opération ayant été exécutée, on sera ramené, diaprés ce qui précède, au cas de deux équations dont les premiers membres n'ont aucun diviseur fonction d'une seule inconnue.
92. On est naturellement conduit, comme on va le voir, à appliquer la méthode du plus grand commun diviseur dans la recherche des solutions communes à deux équations.
Soient
les équations proposées entre les inconnues x et y. Conformément à ce qui a été dit au numéro précédent, nous admettrons que les polynômes Yi et Vj n'ont aucun diviseur commun ; ces polynômes ayant été ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de j^ supposons que le degré de Vi par rapport ky ne soit pas inférieur au degré de Va . Divisons Vt par Vj , et désignons par Q^ le quotient, par Vs le reste de la division \ on aura
Si la division n'a introduit aucun dénominateur fonction de X, Qi et V3 seront des fonctions entières; par suite, les valeurs simultanées de x e\ de y qui annulent Vj donneront
et, en conséquence, le système proposé (i) admettra les mêmes solutions que le système formé des équations
(2) Va— O,- V3=0,
qui est évidemment plus simple.
SECTIO» I. CHAPITRE IV. I97
Sapposons, d'après cela, que Ton opère sur les polynômes Yi et Vsy comme s'il était question de chercher leur plus grand commun diviseur ; on sera conduit à une suite d'égalités telles que
n — 2 — » n—i Vu— 3
Vj, V4, . . . , Vn sont des fonctions entières de y dont les degrés formeront une suite décroissante, et la dernière fonction V„ est indépendante de y. Si aucune des divisions qu'on vient d'exécuter n'a introduit de diviseurs fonctions de x^ en sorte que Qi , Qs, • • . ,Q„ soient des fonctions entières de x et de y^ ainsi que Va, V4, . • • , V„, il est évident que les solutions du système (i) seront les mêmes que celles du système
dans lequel Tune des équations ne renferme que Tin-
connueo;, et celle-ci sera Téquation finale qui résulte de
l'élimination de y entre les proposées.
Mais, le plus souvent, la recherche du plus grand
commun diviseur des polynômes Vi et Vs introduit des
dénominateurs fonctions de x ] dans ce cas, les conclusions
précédentes ne subsistent pas. Si, par exemple, la division
de Vi par Vj introduit de tels dénominateurs, le quo-
N tient Qi sera de la forme — > N et D étant des fonctions
entières *, on aura
et l'égalité Vi = Vs n'aura plus lieu nécessairement pour les valeurs de J? et j^ qui annulent Vj, parce que le dé-
198 COURS d'algèbke supérieure.
nominateur D peut alors se réduire aussi à asëro. Toutefois, on évitera les dénominateurs fonctious de a:, sî, ayant decommencer la division, on multiplie le polynôme Yi par une fonction entière X de or, convenablement choisie; on aura alors
Les solutions des équations Vi = o , Vj == o sont comprises parmi celles des équations Y, = o , Va = o ; mais ces dernières admettent en outre les solutions des équations X = o , Vj = o ; donc, quand on remplacera le système (i) par le système (2), on ne supprimera aucune des véritables solutions, mais on pourra en introduire qui soient étrangères à la question.
Il était important d'éviter ces solutions étrangères introduites par la méthode du plus grand commun diviseur. M. Labatie a fait connaître en i832 un théorème que nous allons exposer et qui remplit cet objet de la manière la plus heureuse.
Théorème de M. Labatie.
93. Soient V| et Y^. deux fonotians entières de x et de y qui n^ ont pas de diviseur commim et qui ne ren^ ferment aucun, facteur indépendant de^ y ^ ordonnons V| etYi par rapport àj et. opérons^ sur ces polynômes comme s'il était question de Qheiy:her leur plus grand comniun div^iseur^ en ayant soin : i® de multiplier cha^que di\fidende par une fonction entière de x, choisie de manière à éviter les dénominateurs fonctions de cette inconnue; 2° de débarrasse/? chaque reste des facteurs indépendants dey qu il peut avoir ^ avant de le prendre pour diviseur.
Soient <4i, u%9...^Uh les multiplicateurs ainsi em^ ployés^ Qi, Qft,...., Q„ les quotients obtenus dans les
SBGTIOBI I. — CHAPITRE IV. I99
dimiom successives', et Vsf^i, V**'*^.,., V„^.it'„«i5 %^f^ les restes de ces divisions ; le dernier reste Vn ^^* indépen" dont de y ^ et^ dans ceux qui le précèdent ^ ^19 ^t****? •'n-i désignent dès facteurs Jonctions de x seule ^ de manière ^««Vs, V4,..,y V,^i ne renferment aucun facteur indé" pendant dey.
Soient encore di le plus grand commun diviseur de
«j et de 1^1;, d^ celui de -^ et de y^, d^ celui de ' * ■■
cf de Viy 0.9 d'^ celui de V" V" et de ^n-
Cela posé, on obtiendra toutes les solutions communes des deux équations
sans aucune solution étrangère^ en prenant les solutions de chacun des n systèmes
[Y, =0-1 rv3=o-i r^*=°l rV;H^t=o-i
Oq a les égalités
qui seront toutes comprises dans la suivante :
si Ton attribue a \k toutes les valeurs i , a, • • . , n et que l'on prenne V;^.t égale à Tunité.
Les multiplicateurs u^ peuvent être choisis de ma-
20O COURS D'ALCàBRB SUPÉRmUAE.
nière que u^ et v^ n'aient aucun diviseur commun ; par
exemple, si le plus grand commun diviseur d^ de u^ et de l'i ne se réduit pas à lunité, le produit VjQj sera divisible par ^1, diaprés la première des égalités (3), et ce produit s^annulera si Ton prend pour x Tune des racines de Téqualion Jj = o •, mais le polynôme V, ne peut être nul, puisqu'il n'a aucun diviseur indépendant àey^ donc il faut que Qi s'annule, et en conséquence Qi est divisible par Jj, quel que soit j^. Il résulte de là, qu'au lieu
du multiplicateur Ui, on aurait pu choisir -^; dans les ap
plicationsdu théorème de M. Labatie, il conviendra toujours d'adopter les multiplicateurs les plus simples, cependant la démonstration que nous allons présenter ne suppose point que l'on ait pris cette précaution.
Si, entre les fjt — i premières des égalités (3), on élimine Vj, Vj,..., V„__,, il est évident que le produit Uiiif . .M„__,Vi se trouvera exprimé par la somme des polynômes V , V„,,, multipliés chacun par une fonction entière, et il est facile de voir que si l'on divise par d^d^. . . ^a— 1 l'égalité ainsi obtenue^ elle prendra la forme
G„, et G»a désignant des fonctions entières. D'abord, pour fjt = a, cette formule devient
et elle coïncidera avec la première des égalités (3 ), si Ton divise celle-ci par c/i, et que l'on pose
(5) Go:=:I, G.
cette valeur de Gi est entière, car, ainsi que nous Pavons montré plus haut, Qi est divisible par d^. D'après cela, pour établir la formule (4)9 il suffit de montrer que si elle a lieu pour une valeur de fx, elle subsiste encore pour la même valeur afigmentée de i . Â cet effet, multiplions
la formule (4) par -^ et remplaçons ensuite Wy^V^ par sa
/* valeur tirée des égalités (3), savoir :
si Ton pose, pour abréger,
fJL /A I /*
il viendra
c L r V — fi- V -4- fi- V -li •
par hypothèse, G^, est une fonction entière; donc, à cause de la précédente égalité, le produit G^V^^, est pareillement une fonction entière, ce qui exige que G„ le soit aussi, puisque V„^| n'a pas de facteurs indépendants de j. La formule précédente se déduit de la formule (4) en remplaçant \i. par /Jt 4- i , donc notre assertion se trouve justifiée. En même temps> on voit que les fonctions G^, 0}, • . , , seront données successivement par la formule (6), en partant des valeurs connues de Go et de Gi. Le polynôme Vj est lié aux fonctions V^ et V^,i par
une relation analogue à la formule (4)* On a effectivement :
H^, et H j désignant des fonctions entières. Cette
302 COtmS D*i{LGÉlKE SUVtolBIlKB.
foiimufe se dëdnit de la fôrnmle {4} en^ changeant dan» celles-ci Vi en Vi et en remplaçant la lettre G par H; donc le raisonnement cpii a servi pour établir la formule (4) prouve que si notre nouvelle assertion s*applique à une valeur de (x, elle subsiste pour la même valeur augmentée de i. Le même raisonnement montre encore que Ton a
Or la formule {7) se réduit à une identité, pour jx = 2, si Ton fait
(9) eo = o, H.=:^;
donc elle est générale, et en parlant des valeurs (9) de Ho et de Ht, la formule (8) déterminera tontes les fonctions entières H„.
V En retranchant les égalités (6) et (8) l'une de l'autre,
après les avoir multipliées respectivement par H^^j et G„,, on obtient
remplaçons fx successivement par 2, 3,. . •, jx et multiplions entre elles les /x — i égalités résultantes, il viendra
ou, à cause des formules (5) et (9), i
fio) G H —H G =f~i1^ ^- — ^^^•
fit f*
Enfin, si l'on retranche les formules (4) et (7) Tune de l'autrev a^s avoir multiplié la première par H^^,
SBCTIO» I. CHAPITHE IV. 0»^
et la seconde par G^^i, il viendra
et ayant égard à la formule (lo), on aura simplement
(n) B,.V.~G,.V. = (-tr5.J...^V,^.; en particulier pour fA = it + 1 9 on a
Les formules (4), (7), (i 1) et (i2)„ que nous venons de tirer des égalités (3), fournissent: immédiatemeuit la dé?" monstration du théorème de M..Lahatie.
En effet, les fonctions -j-; t^~- c' tt — n'ayant au-
cun diviseur commun, les formules (4) et (7} montrent
qtfe les valeurs de or et de j^ qui annulent V^ et
•^ — annulent nécessairement Vi et Vj ; donc^ en prer
mier Heu, toutes les solutions des divers systèmes (2) sont des solutions des équations (i).
En second lieu, si des valeurs simultanées de a: et de ^ annulent Vi et V^, la valeur de x annulera, d'après la
formule (12), l'une au moins des fonctions -^ , —»•••> -r* ^ ' dx d^ dn
Si la première de ces fonctions s'annule, les valeurs, de X et de j^ que nous considérons seront des solutions
du premier système (a); supposons généralement que
r soit la. première fonction qui s'annule ; alors la for-
204 GOUKS d'algèbre SUPÉRIEURE.
mule (il) montre que V ^, doit s annuler, et en conséquence les valeurs de x et Aej qui, par hypothèse, satisfont aux équations (i), satisferont également à celui des systèmes (a) qui occupe le fx**"** rang. Donc : toutes les solutions des équations (i) satisfont à Vun au moins des systèmes (2), ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.
Remarque. — Le théorème de M. Labatie donne les diverses solutions des équations proposées, avec le degré de multiplicité qui leur convient; mais cette proposition nouvelle ne me paraît pas avoir une importance assez grande pour que je m'arrête à en présenter la démonstration.
94. Le théorème qui précède se rapporte exclusivement aux solutions finies et déterminées des équations proposées. Pour avoir les systèmes de solutions déterminées dans lesquelles la valeur de j^ est infinie, il suffit d'ordonner les équations par rapport aux puissances décroissantes dej^, et de chercher le plus grand commun diviseur entre les coefficients du premier terme de l'une et de l'autre équation. On égalera ce plus grand commun diviseur à zéro, et les racines de l'équation obtenue seront les valeurs cherchées de x.
On procédera d'une manière semblable pour trouver les solutions dans lesquelles la valeur de x est infinie.
jipplicalion de Vélimination à la transformation des
équations.
95. Le problème que l'on a en vue, dans la transformation des équations, peut être énoncé de la manière suivante :
Étant donnée une équation f{z) = o du degré m,
SEGTIOH I» CHAPITRE IV. QoS
dont les racines sont représentées par ^i , :z j , . . . , z„^^ former une équation F (m) = o dont chaque racine u 5*ea?prime par une Jonction rationnelle donnée <f (-s^u -^j ,.• • j ^a) de ji racines de la proposée.
Il est évident que la solution de ce problème s'obtiendra en éliminant les (x quantités Zj, Zj, . . . , ^^ entre les (iz -H i
équatioDs
En traitant la question à ce point de vue, chacune des racines ^i, ^3, , . . , z^ est considérée comme ayant m valeurs différentes, et, par suite, 1/ doit avoir en général m^ valeurs distinctes 5 l'équation finale en u sera donc
du degré m^» Il en résulte que si Ton s'impose la condition que les quantités ^,, z,, . . . , ^ soient distinctes,
sauf le cas où la proposée aurait des racines égales, on obtiendra une transformée qui sera compliquée de solutions étrangères à la question. On peut cependant, dans chaque cas, diriger le calcul de l'élimination de manière à éviter ces solutions étrangères, mais le plus souvent il est préférable de résoudre le problème de la transformation par une autre méthode qui sera exposée dans la Section IL Nous nous bornerons ici à présenter deux exemples.
96. Problème I. — Étant donnée une équation f(z) z=zo du degré m^ Jormer une équation F (//) = 0 dont les racines soient les sommes prises deux à deux des racines de la première équation.
Désignons par z et par z^ une racine quelconque de l'équation /^( 2) = 0. D'après ce qui a été dit plus haut.
1206 C0UA6 D'âKJBÈimE SUVÉKfBVKE.
Téquation en u sera le résaltat de Véliminatîon de z et ^i entre
ou le résultat de réiimi nation de z entre les deux
/(2)=rO, /(a — 2) = 0.
Maïs ce système peut lui-même être remplacé par le suivant,
f[z) = o, /(jc — z)— /(z) = o,
dans lequel la deuxième équation a pour premier membre le produit de deux fonctions entières, savoir :
et u — 2 a.
U s'ensuit que Téquation finale en i/, relative aux deux équations qui précèdent, sera le produit des deux équations finales qui se rapportent respectivement aux deux systèmes
et
L'équation qui résulte de Télimination de u entre les équations de ce dernier système est
et elle a pour racines les doubles. ^ 4- 2, -^i -+- ^1, . . . des racines de Téquatioa proposée. Comme on a
on voit que Téquation demandée s'obtiendra par rëlîmt-
aeCTSMI I. *- CHAPITRE I¥. SO^
nation de u entre les denx équations
(3) /(.) = o, /'{z)+ ii 2f/*(,)4..,. + (l^f)L./.(,)=o;
k » J t » ^ » m » lift
quant au degré de cette équation, on voit à priori qu'il doit être égal au nombre des combinaisons de m choses
deux à deux, c'est-à-dire égal à — '-•
S'il s'agit de l'équation du deuxième degré
/(z) = «» -+-/WJ H- y = o,
on aura
La deuxième des équations (3) se réduit à
tt -f- /? = o,
et, comme elle ne renferme pas z, elle n'est autre que l'équation demandée; ce résultat est évident.
Dans le cas du troisième degré, la méthode générale est susceptible de*simplificàtion. Car, soit Féquation
/{z) ==«*-!- pz^ -ï- çfz -4- r = o,
et désignons par z^ ^i, z^Aes trois racines.. Si l'on fait z, -f. z, = M, ou aura « = •— u — />, et, par suite,
• /(— a — ;?) = o; cette équation est précisément la transformée demandée.
97. Problème IL — Étant donnée une équation f[z) = o du degré m, former une équation F (m) ==0, dont les racines soient les différences deux à deux des racines de la proposée.
Désignons comme précédemment par z et par Zi une racine quelconque de réquationy*(z) = o; l'équation en i4 s'obtiendra en éliminant z et Z| entre
ao8 COURS d'algèbre supéribtire.
ou, en éliminant z entre les deux
Ce système' peut être remplacé par le suivant :
lequel se décompose en deux autres, savoir :
Les systèmes de solutions du système (2) sont formés d^une quelconque des racines z de la proposée et d'une valeur nulle de u\ quant aux équations (i), elles peuvent être écrites sous la forme
f{z) = o, /'(z) + -fi-/"{*)+...+ ^ — -/"•W=o; \
elles donneront pour équation finale la transformée F (m) = o que Ton cherche, et celle-ci n'aura de racines nulles que si la proposée a des racines égales.
On reconnaît à priori que le degré de Téqualion demandée est égal au nombre des arrangements de m choses deux à deux, c'est-à-dire égal à m\m — i); en outre, il est évident que les m [m — 1) racines de cette équation formeront des couples tels que z — z^'=:Ui^Zi — z = — «i de deux racines égales et de signes contraires, en sorte que
son premier membre sera le produit de — ^ facteurs
de la forme m* — u\^ et il ne renfermera que des puissances paires de m. L'équation F (w) = o s'abaissera donc
au degré — ^ en posant ir = v^i 1 équation en v est
dite Y équation aux cannés des- différences des racines de la proposée.
SECTION I. CHAPITRE lY. &09
Exemple. — Appliquons ce qui précède k Téquation du troisième degré
(1) 8» -*- Pz' 4- Qz -H- R = o.
P Si l'on remplace z par z — ô' ®^ 9^® ^'^"^ P^*^ (^^ ^^)
