P» ^ 2P' PQ
cette équation se réduira à
(2) Z^ -hpz -hq = 0i
Les racines de I équation (2) sont égales à celles de lequation (i) augmentées d'une même quantité; donc, poiu* Tune et Tautre équation, l'équation aux différences est la même. On obtiendra celle-ci en éliminant z entre l'équation (2) et Téquation
Le moyen le plus simple de faire cette élimination consiste à retrancher les équations (2) et (3) Tune de l'autre après avoir multiplié la première par 3 et la seconde par z^ ce qui donne
(4) 3az»-H- (a^ — 2>»)z — 3^ = 0;
à tirer des équations (3) et (4) les valeurs de ^ et z^, savoir :
u^ -h pu -h 3q j u* — pu^ -I- gqu — 2/?*
^"~'' 2(u^'hp) "" 6 (a' 4-/?) '
et à égaler la seconde expression au carré de la première. Posant ensuite
on obtiendra Téquation aux carrés des différences demandée, qui est
P^ -4- 6pP^ — 3y5ïp 4- (4;>3 4- 2 7 9») = O.
9IO COITRS d'jjUGÈBRE SUPÉEIBUftE.
Remaique. — Soit f(z) une fonction entière de z, à
coefficients réels 5 si l'on pose z = x -^y ^ — i et que l'on fasse
/(jr -f- j V^^) = (p (x, j) -f- v^^ ^Kar, j), (^ ei^ étant des fonctions réelles, on aura aussi
Cela étant, si Ton considère les équations simultanées
et que l'on élimine successivement entre elles les inconnues X et y y il est évident que l'équation finale enx ne sera autre chose que l'équation aux demi-sommes des racines de la proposée^ tandis que l'équation finale enj- sera
l'équation aux quotients par ^ ^ — i des difierences des mêmes racines* Effectivement, les deux équations qui précèdent équivalent aux deUx suivantes :
qui expriment que x-i-y^/ — i et x — j^v — 1 sont des racines def(z) = o.
Sut la recherche des dîuiseurs des fonctions entières
d'une variable.
98. Toute fonction entière y («) d'une variable z est le produit de facteurs linéaires de la forme z — Zi'^ la recherche de ces facteurs linéaires équivaut à la résolution de l'équation f(z)s= a^car la condition pour que z — Zi soit un diviseur de f{z) est f{zi) = 0. Si la fonction f(z) est dû degré m, elle «émettra évide«!ment autant de diviseurs du degré [i que l'on peut former de combinaisons aveeles m facteurs linéaires pris [ikfÂ'^ce nombre
SECTION I. — CifAFtTIlE lY. ^11
de combinaisons est égal à
m {m — i),..(/w — fA-f-t)
Pour trouver les diviseurs dont il s'agit, on effectuera la division de la fonction^ (z) par un polynôme tp (z) du degré /x, dans lequel les coefficients soient indéterminés, et on égalera à zéro le reste du degré pt — i que Ton aura obtenu^ on formera ainsi p, équations qui serviront k déterminer les \l coefficients du polynôme y (-s). Si l'on veut avoir Téquatîon de laquelle dépend l'un de ces coefficients, il faudra procéder à ^élimination de tous les autres, et l'on trouvera une équation finale dont le degré devra être égal à M. A chacune des M racines de cette équation finale correspondra un diviseur de degré [l du polynôme y (lî), en sorte que les valeurs des coefficients éliminés devront être déterminés complètement par le moyen des équations de condition.
Lorsqu'on a/x=i ou/!Ji = /7i — i,le nombre M est égal à m*, mais dans tout autre cas on a M ^ m, en sorte qu'en général la recherche des diviseurs d'un degré différent de I ou de m — i dépend d'une équation dont le degré est supérieur à celui de la proposée. -
Au lieu de procéder comme nous venons de f indiquer, on peut écrire que le polynôme donné y*(^) est le produit de deux polynômes ^{z)^ ^{^) ^^^ .degrés jx et m — ft respectivement, et dans lesquels tous les coefficients soient indéterminés*, on formera ainsi m équations de condition entre les m coefficients indéterminés, et l'on obtiendra ensuite, par l'élimination, l'équation dé laquelle dépend l'un des coefficients du polynôme cp (^).
Soit le diviseur
«p (2) = z/* -f- aiZ^* ~ * -f- aL.,z^ - ^ H- . . . 4- a^ , z -f- «^^^
il est évident que — a^ est la somme de /x racines de réquationy*(z) = o; donc Féquation finale de laquelle dépend — olx coïncidera avec Téquation aux sommes des racines de y*(2) = o, prises [i k [i. Ainsi, en particulier, pour avoir l'équation aux sommes des racines deux à deux d'une équation y*(z) = o, il suffira d'exprimer que z^ — uz-hq est un diviseur de/'(z)] on trouvera ainsi deux équations de condition entre u et ^, et par l'élimination de g on conclura l'équation demandée,
99. Bien que la recherche des diviseurs du deuxième degré d'un polynôme /*(z) dépende toujours d'une équation de degré supérieur au degré de f(z)y il existe im cas remarquable dans lequel cette équation s'abaisse et devient ainsi plus facile à résoudre que l'équation y(z) = o. Le cas dont je parle est celui où le polynôme f{z) est du quatrième degré.
Soii
/(z) =r z* -4- P«» -*- Qz' -I- Rz -f- S,
et désignons par
z^ -h pz -\- q
un diviseur def(z). La quantité p dépendra d'une équation du sixième degré, mais je dis que si Ton fait disparaître le deuxième terme de cette équation, le quatrième et le si)(ième disparaîtront aussi, en sorte que Téquation transformée ne renfermera que des puissances paires de la nouvelle inconnue p'y et qu'elle s'abaissera au troisième degré en posant ^" = (^.
En effet, désignons par Zi, Zi, z^, z,, les quatre racines de réqaationy(z) = o. Les six racines de l'équation enp seront
Zj Zj, Z] ^4, Z3 Z4,
SECTION I. — CHAPITRE IV. ai3
et leur somme Sera égale à — 3 («i-*-«ï-I--2s-H'Z4)> c'està-dire égale à + 3P. Pour faire disparaître le terme du cinquième degré dans l'équation en p^il faut donc poser
d'où
Les six valeurs de p* seront donc
— aaH-«s-f-Z4),
— Zi-hZ2— z,H-Z4),
-h Z,— *, — Zi-h Zi),
-+- Z, H-Zj— «8— «4),
et Ton voit que ces valeurs sont égales deux à deux et de signes contraires, comme nous l'avions annoncé.
Ce qui précède conduit à une conséquence importante, ainsi qu'on le verra dans la suite de cet Ouvrage.
Sur rabaissement des équations, y
100. Une équation/(z) = o est susceptible d'abaissement lorsqu'elle ne renferme que des puissances de z dont l'exposant est divisible par un même nombre n\ effectivement, si le degré est désigné par mn, l'équation
ai4 COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
9*abaissera au degré m en posant ^" = x ^ 110119 av^as vu aussi commeut ou peut toujours abaisser le degré des équations réciproques. Enfin, on produira l'abaissoni^ot d'une équation toutes les fois que Ton parviendra, par une voie quelconque, à décomppser son premier membre en <]eux facteurs. Cela arrivera, par exemple, si Ton sait que Téquation f{^z)=^o a des racines communes avec une autre équation F{z) = o, à moins qu'elle n'ait toutes ses racines communes avec celle-ci.
Nous sommes ici conduit à présenter une définition qui a une grande importance dans l'Algèbre.
Définition. — Une fonction entière/ [z) est dite irréductible, lorsqu'elle réadmet aucun dii^iseur rationnel.
Une équation est dite irréductible quand son premier membre est une fonction irréductible.
Mais il nous reste à expliquer ici ce que nous entendons par div^iseur rationnel, et en général par quantité rationnelle.
Si les coefficients de la fonction y (-z) sont des nombres rationnels, un diviseur rationnel est simplement celui dans lequel tous les coefficients sont des nombres rationnels.
Pour embrasser tous les cas, supposons que les coefficients def(z) soient des fonctions rationnelles de quantités quelconques y qu'on regarde comme connues^ nous nommerons diviseur rationnel de f{z) tout diviseur, fonction entière de z, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des qus^nlités connues. Généralement, toute fonction rationnelle des quantités connues sera dite une quantité rationnelle. Dans le cas d'une fonction dont les coefficients demeurent indét^erminés^ les quantités connues ne sont autre çbose que les coefficients eux-mêmes.
SBCTION t. — CHAPiTRE IV. 21 5
La définition qui précède s'étend d'elle-même à une foDction entière de plusieurs variables.
Diaut remarquer qu'une fonction entière ou une équation peut être réductible ou irréductible, suivant la nature des quanti tés regardées comme connues. Par exemple, Téqnation z* — a = oest irréductible, tant qu'on ne regarde comme quantités connues que les nombres rationnels; mais si parmi ces quantités on fait figurer les racines carrées des nombres rationnels, l'équation se réduira, car son premier membre se décomposera dans les deux facteurs
z — ^2 et Z-f-\^2.
Théoeème. — Sif{z) = o est une équation irréductible, F (z) une fonction rationnelle, et que Inéquation F(z) = o admette une racine z^ def[z) = o, elle admettra aussi toutes les autres.
Soit, en effet,
f €t \|/ désignant des fonctions entières; la racine jSi sera, par hypothèse, commune aux équations
et cela exige que le polynôme cj> (^) soit divisible par^(z) , car autrement il y aurait un diviseur commun à ces polynômes, et réquationjr(z) = o ne serait pas irréductible. Soit donc
on aura
et, par conséquent, Téquation F (z) = o admettra toutes les racines dey(z) = o.
1(M. Il est quelquefois possible d'abaisser une équation
2l6 COURS D ALGEBRE SUPÉRIEURE.
dont deux racines son t. liées entre elles par une relation donnée, et la voie de Télimination peut être employée i cet effet.
Soit effectivement
une équation du degré m, dont z, Zi , . . . , z^^i désignent les m racines, et supposons que l'on ait entre deux de ces racines la relation
dans laquelle (f désigne une fonction entière. On pourra éliminer Z| entre cette équation et Téquation
et Fou obtiendra ainsi Téquation finale en z^
Si réquation proposée est irréductible, la fonction F (z) sera divisible par f{z) d'après le théorème du n? 100, et réquation précédente ne sera d^ aucun usage. Mais si l'équation proposée est réductible, il pourra arriver qu^e quelques-unes, des racines de l'équation (i) n'appartiennent point à l'équation (2); dans ce cas, les polynômes y*(z) et F (z) auront un plus grand commun diviseur ^{z) différent de y (z), et l'on pourra en conséquence décomposer la fonction f(z) en deux facteurs l'un et l'autre rationnels^ dans le sens qui a été indiqué au numéro précédent.
Supposons, par exemple, que l'équation
ait deux racines z et z^ dont la somme soit égale à une quantité donnée a. On cherchera le plus grand conmiun diviseur ^{z) des polynômes /(z) et f(a — z), et on
SEGTIOÏf I. — CHAPITRE IV. 21^
décomposera ainsi f(z) en deux facteurs. S^il n'y a que deux racines z et Zi qui soient liées par la relation z H- ^1 = a, le polynôme i^ (z) sera évidemment du second degré; il sera d'un degré supérieur à 2, s'il existe plusieurs couples de racines telles, que la somme des racines de chaque couple soit égale à a; enfin il sera du premier degré, si l'équation proposée a une racine égale
à -a, et qu'il n'existe point de couples de racines dont la
somme soit égale à a. Le plus grand commun diviseur entrey*(^) elj(a — z) peut être égal à l'un ou à l'autre de ces polynômes, et cela arrivera nécessairement si la fonction J^lz) est irréductible; dans ce cas, l'équation proposée ne change pas quand on change ^ en a — ^, et je dis qu'elle est susceptible d'abaissement. En effet, posons
et
on aura
donc l'équation transformée
ne changera pas par le changement de z< en — u. Si l'on supprime les racines nulles que cette équation peut avoir, elle ne renfermera plus que des puissances paires de u et on l'abaissera en posant u* = v^.
Le cas d'une équation y*( -2 ) = o dont deux racines sont liées par la relation zZi=: a donne lieu à une discussion toute semblable.
Il ne sera pas inutile de présenter en terminant
%i8 COURS d'algèbre supérikdrb.
l'exemple d'une ëquatioo irréductible dont deux racines soient liées entre elles par nne relation simple. L'équation
qui a pour racines les doubles des cosinus des arcs — i
—y — j est dans ce cas ^ r, Zi et z^ désignant les trois 7 ^ 7 racines, on a
et si Ton forme les expressions de f[zi)^ f{^*)) ^^ trouvera
Nous nous sommes borné au cas où Ton a une relation entre deux racines de l'équation proposée. Si Ton avait, entre [i racines, /x étant ^ 2, la relation
on pourrait éliminer ^ — i racines en faisant intervenir Il — I des (JL équations
et il en résulterait diverses équations finales qui auraient nécessairement des racines communes avec la proposée. Mais, comme dans le cas particulier que nous avons examiné précédemment, ces équations ne seront d'aucun usage si l'équation proposée est irréductible.
SBCTIOlf I. — CHAPITRE V. aip
