PROPRIÉTÉS DES RACINES DE L'DNITÉ
Propriétés des racines de Véquation binôme z'"=: i. Des racines primitiveSi ef de leur nombre.
102. Nous compléterons la théorie générale contenue dans les deux Chapitres précédents, en exposant ici les propriétés des racines de l'unité dont nous ferons un fréquent usage dans la suite de cet Ouvrage.
Théorème I. — Les racines communes à deux équations binômes^ telles que
iont également racines de Véquation
oà 6 désigne le plus grand commun dii^iseur des noni" hres m et n.
Supposons, en effet, que Ton ait à la fois
0^=1 et a"=ri;
«oit m^n^ et désignons par q le quotient, par r le reste de la division de m par n, en sorte que m = n^ + rj on aura
Mais, à cause de a" = i , on a aussi a"^ = i \ donc
D'où l'on conclut que si r, r'^'r"^. . ., 9 sont les restes
auxquels conduit la recherche du plus grand commun diviseur des entiers m et 7t, on aura
afzzzty a*^ =!,..., a^ = I,
et, par conséquent, toute racine commune, «, aux deux équations proposées, est aussi racine de
Il est évident d^ailleurs que, réciproquement, les racines de cette dernière équation appartiennent aux deux équations proposées.
On peut aussi démontrer le précédent théorème en déterminant le plus grand commun diviseur des binômes z'" — I , z" — I (n° 47) ; on reconnaît immédiatement que
ce plus grand commun diviseur est z — i .
Il résulte de là que si m et n sont premiers entre eux, les deux équations
n'ont d'autre racine commune que l'unité, et que, si m est un nombre premier, l'équation
n'a de racine commune autre que Tunité, avec aucune équation de même forme et de degré moindre.
Théorème II. — Si a désigne une racine quelconque de V équation binôme
toute puissance de a sera aussi racine de la même équation.
L'équation entraine, en effet,
a'"*=:i, on (a*)'"nri,
et, par conséquent, tous les termes de la série
sont racines de l'équation proposée.
A cause de a"*= i, on a aussi
d'où il suit que la série précédente contient au plus^ comme cela doit être, m quantités distinctes, savoir :
a, a% a',.. , a"^*, a" ou l.
Lorsque m est un nombre premier et que a n'est pas égal à Tunité, les m termes de la série précédente sont différents^ car si l'on avait, par exemple,
t'H-i»' — ttn'
n! et n -f- rk' étant inférieurs à m, on aurait, en divisant
par a"'.
ce qui ne peut être, puisque l'équation 2'"= 1 n'a aucune racine commune autre que Tunité avec 2" = i . Il en résulte cette proposition :
Théorème III. — Si m est un nombre premier, et (jue a, soit une racine quelconque de Inéquation
autre que l'unité, les m racines de oçtte équation seront représentées par
Cette proposition n'a plus lieu quand m est un nombre composé, et qu'on prend pour a une racine quelconque de
mais elle aura lieu évidemment, d'après ce qui précède,
aaa COURS d'aloèbre supérieure.
si Ton prend pour a une racine qui n'appartienne en même temps à aucune équation z"=i de degré n inférieur à m.
Cela posé, nous appellerons racines primittVes de Téquation binôme
zP^=i
doit appartenir à une équation telle que
où 0 désigne un diviseur de p^ : mais tout diviseur de p^^ autre que p'* lui-même, doit diviser ^^""'^ donc les Tit^
celles des racines de cette équation qui n'appartiennent à aucune équation de degré moindre et de même forme, telle que
Si m est premier, toute racine de ^'"=1, autre que i, est une racine primitive; et^ dans tous les cas, chaque racine primitive jouit de la propriété de pouvoir donner toutes les racines par ses diverses puissances.
i03. Nous allons démontrer actuellement qu'il existe des racines primitives pour toute équation binôme, de degré non premier, et nous déterminerons en même temps le nombre de ces racines.
Considérons d'abord le cas où le degré de l'équation
binôme
est une puissance d'un nombre premier p, et soit
m z=:pt*-\
toute racine non primitive de 1 équation
SBGTIOir I. -^ GHÀPITIIB V. SsS
cines de l'équation précédente, et, par suite, toutes les racines non prinùtwes de la proposée, doivent appartenir â Téquation
D'ailleurs toutes les racines de cette dernière appartiennent évidemment à la proposée^ le nombre des racines
non primitives de celle-ci est donc^y^"', et, par conséquent, celui des racines primitives est
pi*^ pt^~^ , ou p^ii — - j > ou mil
Nous allons faire connaître la manière dont sont formées les racines primitives de F équation
(l) ZP^=U
Soient Si une racine quelconque de Téqualion
6] une racine quelconque de
S, une racine quelconque de
zP = ^^^
et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on obtienne une dernière écpiation
dont nous désignerons par S une racine quelconque. Si Ton fait
cette expression de « aura p^ valeurs, puisque 6j a ;9 va^ leurs, qu'à chacune d'elles çorre^Kmdent p valeurs de
2!i4 Goims d'àlgèbke supérieure.
6a, etc., et elle donnera précisément les p^ racines de Téquation (i),
On voit d'abord que les valeurs de a satisfont à 1 équation (i), car on a
et par suite,
aP^ = i.
Il suffit donc de démontrer que les p^ valeurs de a sont distinctes. Supposons que deux de ces valeurs soient égales entre elles, que Ton ait, par exemple,
en élevant cette égalité à la puissance p^ et se rappelant que
on aura
Des égalités (3) et (5) on tire
en opérant sur l'égalité (5) comme nous venons de faire sur/Tégalité (3), on o})tiendra
et, en continuant ainsi, on arrivera à cette conséquence: que l'égalité (3) ne peut exister à moins que les quantités 6, , 6s , . . . , 6 ne soient respectivement égales aux quan-
SECTION If — CHAPITRE V. 2a5
tilés 6', ,^', , . . . , 6' . D'où il suit que la formule (2) donnera effectivement toutes les racines de l'équation (i). Cherchons maintenant quelles sont celles de ces racines qui sont primitives. Comme nous l'avons déjà remarqué, les racines non primitives de Téqualion (1) sont celles qui satisfont à l'équation
Supposons donc que l'on ait
en supprimant les facteurs égaux à T unité, cette équation se réduit à
Mais des égalités (4) on déduit
«/*—' «M"*2 «At— 3
par suite, l'équation (6) exige que
6|=ri.
Par où l'on voit que la valeur de a donnée par la formule (a) sera une racine primitive ou non primitive de l'équation (i), suivant que 61 sera différent de i ou égal à I..
De ce qui précède on peut conclure la proposition suivante :
Théorème IV. — La résolution de l' équation binôme 2" = I, dont le degré m est une puissance fi d^ un nombre premier p, se ramène à déterminer une racine 61 autre que P unité de Inéquation jg^rsi, une racine Sf quelconque de V équation z^ = Si, puis une racine quelconque es de z^ := 6iy etc,
aifi COUBâ D^ALGÈBRE supéhièuke.
€ar on aura, par ce moyen, une racine primitive de Féquation proposée^ laquelle donnera toutes leB autres par «es diverses puissances.
i04. Considérons maintenant le cas général où le degré m de l'équation binôme
est un nombre composé quelconque; décomposons ce nombre en ses facteurs premiers, et soit
p, ç, • . . , f* désignant des noïnbres premiers quelconques inégaux.
Écrivons les équations
désignons par S une racine quelconque de la première, par y une racine quelconque de la seconde, etc., par â une racine quelconque de la dernière, et posons
Ceite expressicm de a a m valeurs, puisque S, y, . . . , d ont
tespeclÂTemettt /i^, ^''^ . . . , ^^ valeurs; je dis que ce sont pfëcisémeni Itss m racines de Téquaiion (i).
Il est d'abord évident que la précédente valeur de a satîsfeii À réqttalioB (i)^ car on a
et, par suite,
d'où
Il reste à prouver que les m valeurs de « sont différênta.
SKCTIOU I. — CHAPITRE V. 22y
Suf^sons que deux de ces voleur^ soient égales, que Ton ait, par exemple,
comme les quantités 6', y', . • - ^ ^' ^^ ^^^^ P^^ tputes égales respectiYement à &', /'j • • • ? 5"» admettons que 6' diff&re
de 6'', et élevons l'égalité précédente à la puissance q^,,. r^, ouaurit
et, en supprimant les facteurs égaux a i ,
nuiis 6' et &' étaut deux racines distinctes de Féquation z'i^z^j^ ^Ues peuvent s'exprimer par deux puissances d^uoe même racine primitive S ; posons donc
n'el n étant <[ p^. Alors la dernière égalité deviendra ou, simplement,
d'où il suit que 6 est une racine commune aux deux équations
et qu'elle ^tisfait, en conséquence, à l'équation
d désignant le plus grand commun diviseur à p"^ et n(i\..r^. Mais ce plus grand commun diviseur 0 est, au
plus, égal à », et, par suite, il est inférieur à p'*; donc 6 ne serait pas, comme nous l'avons supposé, une racine
primitive de z^^ 3= i .
a 28 COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
On voit par là que la formule (3) donnera bien les m racines de Féquation (i).
Cela posé, je dis que si 6, 7v*'? ^ désignent des racines primitives de celles des équations (2) auxquelles elles appartiennent respectivement, la valeur de a donnée par la formule (3) sera une racine primitive de l'équation (i).
Si, en effet, le contraire a lieu, a satisfera à une équation
dont le degré 9 sera un diviseur de m, et il y aura au moins un facteur premier, parmi ceux de m, qui entrera dans 6 un moins grand nombre de fois que dans m : supposons que le facteur premier p soit dans ce cas, d divisera p'*"*^". . .r^, et, par suite, a sera racine de l'équation
on aura donc
Mais
donc
d'où il suit que 6 est racine de l'équation (4) 5 or elle Test aussi de la première des équations (a)-, d'ailleurs, le plus grand commun diviseur entre les degrés de ces deux équations est p'*""^ donc 6 est racine de l'équation
zP^ = I ;
mais cela est contre l'hypothèse, puisque 6 représente une racine primitive de la première des équations (2).
Il résulte de là que si Ton ne prend pour 6, 7. . ., ^ que des racines primitives de la première, de la se-
conde, etc., de la dernière des équalions (2), la formule (3) ne donnera que des racines primitives pour Téquation (i). Il est d'ailleurs facile de voir que si 6, ou y,.* •) ou S n'est pas une racine primitive de celle dçs équations (2) à laquelle elle appartient, la valeur de a donnée par la formule (3) ne sera pas non plus une racine primitive de l'équation (1). Supposons, en effet,
que S ne soit pas une racine primitive de ^'^ = i^ on aura alors
et, par suite,
ce qui montre que a ou ëy. . ,$ satisfait à une équation binôme de degré inférieur à m.
On peut conclure de ce qui précède le nombre des racines primitives de Téquation (i). En effet, le nombre des racines primitives S est, comme on Fa vu précédemment,
p^li ) ; celui des racines primitives y est de même
q* ( I j ; etc.; donc le nombre des racines primitives
a de Péquation (i) est
fr-^-rH— -){'--.
OU
On peut aussi énoncer la proposition suivante :
Théorème V. — La résolution de r équation binôme «"=1^ ou m est un nombre composé quelconque, se ramène à la résolution des équations de même forme ^ et qui ont respectivement pour degrés les nombres pre-
a3o COURS d'algèbre supérieure.
miers ou puissances de nombres premiers qui diviseni le nombre m.
105. L'expression du nombre des racines primitives de Fëquation <«"'= i , que nous avons obtenue, est précisément celle du nombre (p (m) qui indique combien il y a de nombres premiers à m et non supérieurs à m. Au reste, quand on admet Texistence d'une racine primitive a, il est facile d'établir que le nombre total de ces radn^s est f (m).
Soit e un entier inférieur à m\ si e est premier à m, a* sera racine primitive de ^'"rïs i ^ en effet, si le contraire avait lieu, on aurait
{<x')*=l, ou a"'=:i,
n étant <[ m, ce qui exige que — soit entier, puisque a est
racine primitive ; cette conséquence est inadmissible, car e est premier à m, et ri est inférieur au même nombre.
Si e et m ont tfn diviseiir commun 0, *—■ sera un miil-
tîple de m, et l'on aura
donc a' sera racine de l'équation jz °^ =: i , et , par suite, elle n'est pas racine primitive de la proposée.
