Soient a^ 6, 7, ... , co les m racines de l'équation

Z"*z=zl.

Si r désigne une racine primitive de la même équation, les mêmes racines pourront être représentées par

r, r% /%..., r"*"', r"* ou i; on ^ura donc, on représentant par /u^ un iKMnlu'e positif

SECTIOJef l. ^— CHAPITRE V. a3i

quelconque,

Le second membre de cette formule est nul si /x n'est pas divisible par m*, on a donc, dans cette hypothèse,

si au contraire (i est divisible par m, chacune des puissances a'*, 6^, . . . , ûi)^ est égale à "k , et, par suite,

Ainsi, on aura en particulier

a*-» -h €•»-* -h Y"^' -h -h fi»"^» = o

Rappelons enfin que les racines dç Péquation js^= i peuvent être exprimées par le moyen des fonctions circulaires. Effectivement, si Ton désigne par 27r la circonférence dont le rayon est i , et que Ton fasse

les m racines de Téquation proposée seront données par la formule

z = cospif + /sin p^,

où il suffira d^attribuer à jul w valeurs entières consécutives.

2^2, GOUHS d'ÀLGÈBEE SUPÉRIEURE.

107i L^équation binôme plus générale

se ramènera à la forme si Ton pose

")/a désignant Tune quelconque des quantités qui ont a pour puissance m**"**.

On peut démontrer, a Tégard de ces extractions de racines m***"", un théorème tout semblable à celui qui concerne les racines m'^"*" de l'unité, lorsque m est un nombre composé.

Supposons d'abord que m soit le produit de deux nombres premiers entre eux p et q : on aura

or on peut toujours trouver deux entiers Ç et u (n** 13) tels, que Ton ait

puisque p et q sont premiers entre eux : on aura donc

Ainsi l'extraction d'une racine de degré pq se ramène toujours, lorsque p et q sont premiers entre eux, à l'extraction de deux racines, Tune du degré p, l'autre du degré q.

On a, par exemple, quel que soit a,

Et, en général, si

m zrz p .q , . , r,

SBGTIOif I. CHAPITRE V. 233

p,g^,..yr désignant des nombres quelconques premiers entre eux, deux à deux, on pourra écrire

formule dans laquelle ^, u,..., ai) sont des nombres entiers positifs ou négatifs.

Application de la méthode d * abaissement des équations réciproques à Inéquation binôme.