Soit r équation
si m est un nombre impair a|x +* i? et que Ton divise l'équation (i) par z^ — i, il viendra
on pourra transformer cette équation (2) (n°61) éh
une autre du degré fx, en la divisant par 2^, et en posant
ensuite
Téquation (2), divisée par z^, devient
V^ -f- V^ , -f- . . . H- Va -H V, -h I = O ,
en faisant, comme au n^ 61 ,
\„ = z-^li
nous représenterons par U son premier membre, en sorte que l'on aura
Lorsque le d^ré m est un nombre pair 2/», l'équa- ^on (i) se décompose dans les deux suivantes :
^34 couas o'ALcèsRE supAaibuee.
la seoonde se ramène k la première en changeant z en — z, lorsque n eu impair; mais si n est un nombre pair a/x, on pourra lui donner la forme
et, en posant z -i — = x, elle deviendra V = o.
Ainsi Téquation (i) peut toujours se ramener à des équations telles que
(4) Vu=:0, U^-:0,
doiu les premiers membres sont des fonctions entières de x du degré fi.
Chacune de ces équations a ses iâ racines réelles. En effet, les modules des racines des équations
2'/*-hl=:0, -=0
sont égaux à l'unité; soit donc cos^ + îsincp Texpression générale des racines de Tune de ces équations, les racines | de Téquation (4) correspondante seront
(cosç -4- /sin^) -h (cosy H- /siny)~' = 20057.
On a vu au n° 61 que les trois fonctions V„, V„,, V„, | «ont liées par la relation
qui peut servir à former successivement les polynômes Vf, Vj, . . . , en partant des valeurs
(6) Vo = 2, V.=:^.
Il existe une relation pareille entre les trois fonctions U„,
SBGTIOH I. CHAWTRB ▼.
U„,, U„., ; en effet, si Ton ajoute les égalités
V, =:rV. — Vo,
il viendra, en ayant égard aux formules (6),
et cette formule permettra de calculer successivement les polynômes Ui, Us,- • • » en partant des valeurs
109, Si Von pose
(i) 2=r cosç -h isincp,
on aura
(2] .r= z H =:2C0Sç,
(3) V„ 1= 2" -I- - = 2cos/î(p ;
changeons 9 en Çi, et désignons par x^^\ V„* ce que deviennent alors x et V», on aura
^tC») ^r sin«i i sm/fi i
Vi,^— V„ 2 2
sm sin-i -
Si Ton fait tendre f 1 vers f , le second membre de cette
formule tendra vers la limite n —, — -x d'ailleurs x^^^ — x
sm(p
tendant vers zéro, le premier membre a pour limite la
dérivée V'„ du polynôme V„ 5 on a donc
a36 COURS d'algèbre supérieure.
ou
Si l'on désigne de même par V„ ^ ce que devient \'„ quand on change (p en ^i, on aura
sin/îfi sin/19
V„^^ — V„ n sin^i smç
a:(0 — a? 2siDf , sincp cos^i — cos^ '
le second membre de cette formule est égal à l'expression
sin (n H- i) -^ 1 sm (n — 1)
sin î sm
sm (n — i) ? i sm (/i H- i )
Sin i L sm -ï^ 1
multipliée par -j—, ; — 1 et quand cpi tend vers la
limite cp, il tend vers la limite
n[n H-i)sin (« — i)ç — n {n — i) sin (/i -4-i)f
4sin^({>
ou
n cosf sin/?? n^
|3 <n cin <n *> ein3
cos /t f ;
2 sm'f sm? 2Sin'f
si donc on désigne par V* la deuxième dérivée du polynôme y„, on aura
/rx x,tf ^ cos» sin/i? /i'
^ ^ "2 sm'(p sm? 2sm'?
SECTION 1. GHÀPITaS V. ^ij
Si Ton remplace, dans cette formule (5), cosn<f et — : — par les valeurs tirées des formules (3) et (4)9 qu^on mette ensuite - au lieu de cosq>, il viendra
(6) (*^-4)v:^xV;-/i»V„^o;
cette équation remarquable permet de former facilement l'expression générale du polynôme V„.
Effectivement, on reconnaît immédiatement par les formules (5) et (6) du n® 108 que V„ est un polynôme du degré n dont le premier terme a pour coefficient l'unité, et qui ne renferme que des puissances de x dont les exposants sont pairs ou impairs, suivant que n est pair ou impair. On peut donc poser »
le premier coefficient Ao étant égal à i , On tire de là
Y^=nA,x^' 4-...-+- (n — 2p) A^j?»-^/^' -h..., V' = « (rt — I ) Aox'^^-f- . . . 4- (« — 2/>-l-2) (/î— 2/?-4- r) A^, jc^-v -h {/î — 2/?) (/? — 2p — 1) Ap^»-V-^ -h . . . ,
et, en substituant dans Féquation (6) les valeurs de ¥„, V'„ et V^, le coefficient de x""*'' sera
(/l— 2/?)(/î — 2p — l) Ap — ^{n — !ip-h 2){«— 2/?-}-l)Aj», -f-(«--2/?) — -/l' OU
— 4/? (/i — /?) Ap — 4 (" — 2/? -f- 2) (/i — 2/? -f- 1) A^, ; mais ce coefficient doit être nul, on a donc
Cette relation conduit aisément à l'expression générale
il)
238 COURS d'AL«BBRE SUPÉRilURB.
' de^A^ \ car, le coefficient Ao de oc^ étant égal à i , on a
[n — 2/? -h 2)(/i — ip-hi)
(rt — 2/? -f- 4)(/« — 2;> -h 3)
As J— 7-;; Al,
