ll
En multipliant toutes ces égalités et supprimant les facteurs communs, il vient
la valeur de V„ est donc
V, = « " — njf^^ -f-
On peut obtenir de diverses manières l'expression du polynôme V„ que nous venons de former ; la méthode que nous avons adoptée ici a Tavanlage de pouvoir être employée utilement dans un assez grand nombre de questions analogues.
On tire de la formule (7 )
«t si Ton remplace dans les formules (7) et (8) x^ V„ V„ par les valeurs tirées des formules (2), (3), (4)) o"
obtiendra les valeurs de cosny et de — ; — - exprimées par
sECTiay I. *- GHÀFiT&s V. 239
des fonctions entières de coscf, savoir :
;COS/lf = 2*"' COS"^ — 2*"^ n cos"^*^ -f- 2*-* — ^ cos*"*y — ...
et
sin/itp , /i — 2
' = 2^^' COS"~* q> — 2"—' 008"^* O
siof ^ I
Enfin, en changeant cp en cp, dans les formules (9)
et (10), on en obtiendra deux autres qui feront connaître, en fonction rationnelle de sincp. co5/i9 et ^ si n est
^ * COS(p
pair, 1 et smn<p si n est impair.
L'expression du polynôme Y» conduit facilement à celle de U„. Effectivement, nous avons trouvé
en effectuant la division, il vi^it
0& aura aussi, en changeant n enn + i ,
24o COURS d'algèbre SUPÉRIEURE.
et en ajoutant^
/i-Hl
c'est-à-dire
' V' -h-Vl;
n -hi
on aura donc, par la formule (8),
(il)
+ ( 0, («-/>).. -(/i-ap-t-.) ^,,
-4- (— l)^^^ =- ^ ^af^tp-\J»r
Démonstration d^une propriété remarquable de téqua-
= o, oii p désigne un nombre premier.
tion
11 0. Lorsque p est un nombre premier, l'équation
zP—i
est irréductible. Cette importante propriété est utile dans un grand nombre de questions, et nous nous proposons de l'établir ici. La démonstration que nous allons présenter est due à Eisenstein*, elle repose sur les deux lemmes suivants :
Lemme L — Si une fonction entière IL de x à coefficients entiers est decomposable en deux facteurs ra* tionnels^iy Xi, de manière que F on ait
tous les coefficients des polynômes Xi e£ Xs seront entiers^ ou, s'ils ne le sont pas^ on pourra trouver deux entiers
m et n tels, que tous les coefficients des polynômes — X^ et
-Xj soient entiers.
Supposons, en effet, que les coefficients des polynômes Xi et Xs ne soient pas tous entiers. Réduisons les termes de chaque polynôme au même dénominateur, puis désignons par Di, Ds les deux dénominateurs obtenus, et par a un nombre premier quelconque; on pourra écrire
Pia ou P^a désignant, dans le numérateur de Xi ou Xf, la somme des termes divisibles par et, tandis que Qi ou Qf désigne la somme des termes non divisibles par a; on aura, d'après cela,
Supposons maintenant que a soit Tun des facteurs premiers de Di ; X étant entier, il faut que QiQs soit divisible par a \ cela exige que Tun des polynômes Qi et Qs se réduise à zéro; car, autrement, le premier terme du produit Qi Q,^ supposé ordonné, serait divisible par a, cequi est impossible, puisque aucun des termes de Qi et deQ, n'est divisible par a. D'ailleurs Qi n'est pas nul, car on peut admettre que la fraction qui représente la valeur de Xt soit réduite à sa plus simple expression; donc il faut que Qa soit nul.
On peut conclure de là que si les fonctîorts X] et Xs ne sont pas entières relativement aux coefficients, et qu'on réduise les termes de chacune de ces fonctions au même I. i6
a4^ COURS d'algèbre supérieure.
dénominateur, tout facteur premier a qui se trouve au dénominateur de l'une des fonctions se trouve au numérateur de l'autre. En supprimant ce facteur a, on obtient deux nouvelles fonctions qui ont encore pour produit X, et auxquelles on peut appliquer le même raisonnement; et ainsi de suite. Il résulte évidemment de là qu'on peut trouver deux entiers m et n tels, que tous les coefficients
des polynômes — Xi et — X* soient entiers, et la fonc-
tion X, qui a pour valeur
sera décomposée en deux facteurs ayant pour coefficients des nombres entiers.
Lehme 11/ — Si dans un polynôme X de degré quelconque, le ternie le plus élevé en x a pour coe^cient r unité, que tous les autres coejpcients soient des entiers dis^isibles par un nombre premier p, et enfin que le (eirtie indépendant de x soit égala zh p^ l'équation
X — o sera irréductible.
En effet, si celte équation n'est pas irréductible, on aura
a|, é7j|, . . . ,^1, ^s, . . • étant des coefficients entiers et n^ v étant des exposants entiers égaux ou supérieurs à i dont la somme fx H- v est égale au degré de X. Le dernier terme de X étant égal à dbp, on a a b^= zh p'^ en outre,
comme p est premier, l'un des nombres a , b^ doit ôtre
égal à dt I et l'autre a ±p] nous supposerons
SECTION I. CHAPITRE V. ^^i
Oa a identiquement, par hypotbèse,
OU
X{x) étant un polynôme à coefficients entiers^ on peut supprimer le terme ± p dans le second facteur du premier membre, et il vient alors
Xi(^) étant un polynôpie à coefl|cients entiers. Le terme le moins élevé en x, dans le premier membre, est ± iy,a:; donc il faut que iy, soit divisible par p;
on peut alors supprimer le terme h^^x dans le second
facteur du premier membre *, il vient alors
[xl'-\-...'^a^^x±i){x'-^..,^b^^,x')=xi*-^^pX^[xY
En continuant ce raisonnement, on voit que tous les coefficients b^^ ^tv? ^v ^^"^ divisibles par /?, et Ton a, en conséquence,
X,(a:) étant encore un polynôme à coefficients entiers. Or
cela est impossible, puisque le coefficient de x^ dans le
premier membre de la formule précédente est égal à db i ;
donc Féquation
X=:o est irréductible.
Théorème. — V équation
oh p désigne un nombre premier^ est irréductible,
a44 COUKS D ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
En effet, posons -2 = x-f- 15 l'équalion que nous considérons deviendra
(jc-hiy — i
OU
Cette équation en x est irréductible, diaprés le lemme qui précède; donc la proposée est elle-même irréductible. Les deux lemmes démontrés plus baut suffisent pour établir le théorème plus général que voici :
Si p est un nombre premier et que fx soit .un entier quelconque, Véquation
est irréductible.
En effet, posons z = x -f- 1 ; on aura
zP=:xP-hi -hpx, (x), . . ., zP" = arP* H- i-f- px^{x)y..,y
;^^(j:),..., x„(^)v» étant des polynômes à coefficients entiers. On aura donc aussi
/(x'^i) = xP^'"(P-^)-^px[x),
les coefficients de x(-^) ^^^^^ entiers. On a d'ailleurs, pour z = I ,
donc, d'après le lemme II, réquationy(j:-f-i) =0 est irréductible; par suite, la proposée /(«) =0 est ellemême irréductible.
SECTiON I. — CHAPITaE VI. ^45
