NUMÉRIQUES
De la résolution numérique des équations,
ill . La résolution numérique des équations, dont nous allons nous occuper, comprend deux problèmes distincts, savoir : la séparation des racines et le calcul numérique de ces racines. Les propositions que nous développerons dans ce Chapitre se rapportent exclusivement au premier des deux problèmes dont nous venons de parler.
On dit qu'une racine réelle d'une équation est separécy lorsque Ton connaît deux nombres qui la comprennent et qui ne comprennent entre eux aucune autre racine. Quant aux racines imaginaires, leur séparation sera effectuée lorsque, conformément aux idées qui ont été développées dans le Chapitre III, on sera parvenu k renfermer chacune d'elles dans un contour fermé qui n embrasse aucune autre racine. La définition qui précède ne suppose pas que les diverses racines soient simples; cependant, dans le cas des racines multiples, la séparation n'est complète que si le degré de multiplicité de chaque racine est déterminé. Au surplus, cette remarque n'a qu'une médiocre importance au point de vue des applications; car la résolution d'une équation qui a des racines multiples se ramène toujours (n^ 50) à celle d'une ou de plusieurs équations qui n'ont que des racines simples.
Dans ce qui va suivre, nous supposerons toujours
a46 COURS D'ALGEBaE SUPÉRIEURE.
les polyDÔmes que nous aurons à considérer ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de la variable. En outre, il ne sera question que d'équations à coefficients réels, à moins que nous n'avertissions du contraire.
Limites des racines réelles d^une équation
à coefficients réels,
112. Le procédé général que nous avons fait connaître au n^ 46 pour obtenir une limite supérieure et une limite inférieure des modules des racine^, donne en particalier des limites des racines réelles. Mais, quand on ne considère que ces dernières, on peut obtenir souvent des limites plus resserrées.
Soit
une fonction entière de la variable x, dans laquelle les coefficients soient des quantités réelles données, et pro* posons-nous de trouver une limite supérieure des racines positives de Téquation
c'est-à-dire une quantité supérieure à la plus grande racine positive.
Le coefficient A^ étant supposé positif, si tous les coefficients qui suivent sont positifs, Téquation n'aura point de racines positives ; soit donc A» le premier des coefficients négatifs, et désignons par A la valeur absolue de celui de ces coefficients négatifs qui a la plus grande valeur absolue. Comme la quantité
A h AC**"-" 4- A'"-"-' -4- ... H- X 4- i)
est idemiquement nulle, on peut l'ajouter à rexpression de f(x) et celle-<;i devient alors
^jfn-tH-l 3^i-l (j; > ,)
Cette formule montre que l'on a /'(x)^o, pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition
Ao
et, par suite, pour toutes les valeurs de x, telles que
(af-i)»>-^.
On tire de là, si ai = i,
et si /i est supérieur à i ,
^ Va
"^ V A^la quantité 14-—^^ i-+-i/— <^t donc une limite su-
Ao V A«
périeure des racines positives.
Pour avoir une limite inférieure des racines positives, on changera x en - et l'on déterminera comme pré-
cédemment une limite supérieure des racines positives de l'équation transformée. Enfin, pour avoir des limites des racines négatives» il suffira de clianger x en — a: et de chercher des limites pour les racines po&itives de Ja transformée.
