La méthode précédente se résume, comme on le
a4S COURS d'algèbre supérieure.
voit) par une règle uniforme qui est applicable dans tous les cas; mais cette règle fournit souvent des limites fort éloignées des racines extrêmes ; aussi le procédé suivant doit-il être employé de préférence.
Supposons d* abord que le premier membre de l'équation proposée f(x) = o' se compose d un ou de plusieurs termes positifs suivis de termes tous n^atifs, et soit n le degré du dernier terme positif ; on pourra écrire
f (x) et ^{x) désignant des polynômes dans lesquels tous les coefficients sont positifs. Par bypotbèse, la première des fonctions
ne renferme que des puissances positives de x^ et il ny a, dans la seconde, que des puissances négatives. La première de ces fonctions est donc croissante avec Xj tandis que la seconde est décroissante. Il résulte de là que si rinégalité
est satisfaite pour une valeur de x^ elle le sera aussi pour les valeurs plus grandes. Par conséquent, pour avoir une limite supérieure des racines positives, il suffira de substituer à X une série de nombres croissants, à partir de zérOy et le premier de ces nombres qui donnera un résultat positif sera Illimité cherchée.
Maintenant, considérons une équation quelconque jf(x) = o; le premier terme que nous supposons positif peut être suivi d'un ou de plusieurs autres termes positifs; réunissons a ces termes tous ceux qui sont négatifs
SECTIO» I. — GHAPITUE VI. î»49
pour en composer un polynôme F(a:); on aura
(f(x) ne renfermant que des termes positifs etF(j:) étant une fonction du genre que nous venons de considérer plus haut. Il suffira évidemmeht, pour remplir lobjet demandé, de chercher une valeur de x qui rende F(x) positive, ce à quoi Ton parviendra en substituant à or, dans F(a:), une série de valeurs croissantes à partir de zéro.
On peut encore arriver au résultat cherché, en partageant le premier membre de Téquation proposée en divers groupes, formés chacun d'un ou de plusieurs termes positifs suivis de termes négatifs de degrés moindres, et en cherchant une valeur de x qui rende positifs les polynômes contenus dans ces dijfférents groupes.
Nous n'avons eu ici en vue que la recherche d'une limite supérieure des racines positives; mais, d'après ce qui a été dit au numéro précédent, c^est à ce problème que se ramène la détermination des autres limites.
Exemple. — Considérons Téquation
ar* — ^5jc* h- 'J2X* -f- 36x^ — 928a: — 1 47 =0.
On peut décomposer le premier membre dans les deux parties suivantes
Pour j: = 4^9 la première partie est nulle, et la deuxième partie est évidemment positive; donc 4^ est une limite supérieure des racines positives de Téquation proposée. La méthode du n^ 112 donnerait 929 pour limite.
En changeant j: en -9 on obtient la transformée
JC
I — 454? -h 72^:' -f- 36ûr^ — 928X* — i47^* = Oi
35 O COURS D*ALG]SBRE SlTPéRIEUlIC.
le premier membre de cette équation, changé de signe, peut être décomposé dans les deux parties
i47^* H- 928.»* — 36a:' — 72 0?% ^Sjc — I,
qui sont positives toutQ,s deux pour a:s= ^> d'où il ré-
suite que 3 est une limite inférieure des racines positives de la proposée.
Si Ton change a: en — x dans la proposée et dans la
transformée en -9 on obtient deux nouvelles équations
dont les premiers membres peuvent s'écrire comme il
suit :
•^('47"^^ — 928* — 36) -h 72 jc* H- ^5x -+- 1;
le premier polynôme est positif pour x= ou ^ 3, et le second pour x = ou ^ 7.
Il résulte de là que les racines positives de Téquâtion proposée sont comprises entre 3 et 45, et que les racines
négatives le sont entre et — 3 .
114. Méthode de Newton. — Cette méthode, dont l'emploi offre souvent quelque avantage, repose sur la proposition suivante.
Soient
la suite formée par une fonction entière du degré m et ses dérii^ées successis^es. Si pour une valeur a attribuée à X, ces fonctions sont positis^es^ elles le seront aussi pour toute valeur a-\-hde x supérieure à a.
Il suffit évidemment de considérer la première fonclion f(x)y et la proposition énoncée résulte immédialcraenl
SECTION I. CHAPITKB VT. a5l
de Tégalité
/(«+A)=/(«> ^/'(«)+ il/«'(a) + ... + -Jl /"(«);
tous les termes du second membre étant par hypothèse
positifs, on a
/(aH-A)>o.
D suit évidemment de là que Téquation f{x) = o n'a aucune racine supérieure à a.
D'après cette proposition, pour avoir une limite supérieure des racines de l'équation J{x) = o, on formera la
suite
On déterminera un nombre x^ qui rende /'""* (x) positive, ce qui est facile, puisque cette fonction est du premier degré. Si aucune des fonctions qui précèdenty*"*"* (x) n'est négative pour x = x^^ on pourra prendre x^ pour la limite cherchée. Si, au contraire, en remontant la suite que nous considérons, on rencontre une fonction qui soit négative pour x = Xq, on prendra une valeur Xi supérieure à x^ qui rende la même fonction positive. Pareillement, si, pour cette valeur Xi, l'une des fonctions qui précèdent celle dont nous venons de parler est négative, on prendra une valeur x^ > x, pour laquelle la mènle fonction soit positive, et ainsi de suite. On arrivera infailliblement par ce procédé à une valeur de x pour laquelle la fonction f(x) sera positive ainsi que toutes ses dérivées : celte valeur sera la limite cherchée.
Après ce qui a été dît au n° H2, il est presque superflu d'ajouter que la méthode précédente peut être appliquée à la recherche de la limite inférieure des racines positives, ainsi qu'à celle des limites des racines négatives.
Exemple. — Reprenons l'équation qui a été considérée
a5^ COURS d'algèbre supérieure.
au numéro précédent. On a
^ ' = Sx* — i8oa:* H- 2i6x' -+- 72X -- 928,
lox' — 270a:* H- 216a? -h 36,
^ — i-~=iox*— i8oar -h 72,
La valeur j: = 9 annule f*^ (x), mais toule valeur supérieure rend cette fonction positive 5 la dérivée précédente, f'"(x)^ est positive pour x = i8, mais la même valeur rend f"[x) négative. Cette dernière fonction devient positive pour x= 27, ety(x), qui est alors négative, devient positive pour a:= 36. La valeur a:= 36 rend f{x) négative, maisy*(a:) devient positif pour a: = 44' On peut donc prendre 44 pour limite supérieure des racines positives.
Théorème relatif aux résultats de la substitution de deux nombres quelconques à l'inconnue.
115. Théorème. — Soient f[x) = o une équation à coefficients réels^ x^ et X deux quantités réelles quelconques. Le nombre des racines de V équation f(x)^^ comprises entre les quantités x^ et X est pair ou impair suii^ant que les résultats f (xq)^ f(^)'> obtenus en substituant Xa et IL à X dans le polynôme f[x)^ sont de même signe ou de signes contraires; zéro est regarde comme un nombre pair. En particulier, si /(^Ca) ^' y'(X) sont de signes contraires y Inéquation f(x)=-ofi au moins une racine comprise entre Xo et X .
SECTION I. — . CHAPITRE VI. a53
En effet, supposons le polynôme /(ar) décomposé en facteurs linéaires. Nous savons que si, parmi ces facteurs,
il y en a (x égaux à x — {p -^Ç ^ — i)> il y en a aussi fi qui sont égaux à x — {p — g ^ — i ) •, le produit de ces ^11 facteurs est la puissance de^ degré (x du polynôme (x — p)* -+- q* lequel reste positif pour toutes les valeurs de X. Si donc on désigne par F (x) le produit de tous les facteurs linéaires imaginaires de/*(x), on aura
/(x) = F {x) (x — X,) (ar — JCj) . . . (x — x,), F(x) restant toujours positif. On a, d'après cela,
y («g») F(j?o) J^o — Xi X^ — JTa J'o — ^n .
le premier facteur *( est positif, et l'un des facteurs
Xf^ — — J?
suivants tels que — ne peut être négatif que si la ra-
cinex^ est comprise entre x© et X. Donc la valeur de ~l- est positive ou négative, suivant que Téquation
f[x) =r o a un nombre pair ou un nombre impair de racines comprises entre Xo et X. Dans le premier cas, /(Xo) et/(X) sont de même signe; dans le deuxième cas, ces quantités sont de signes contraires.
Corollaire I. — Toute équation de degré impair a eu moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme»
On suppose, dans cet énoncé, que le premîçr terme de Técpiation proposée ^ (x) = o a un coefficient positif. Si le dernier terme de cette équation est négatif et que Ton nomme X une limite supérieure des racines positives de l'équation /( a: ) = o, les résultats /(X), /(o) seront de
354 COURS D'iLGÈBR£ SUVÉmiBURE.
sigaes contraires; il y a donc une racine positive, et s'il y en a plusieurs, elles sont en nombre impair. Si le dernier terme de l'équation f{x) = o est positif, on changera a: en — x, et la transformée étant écrite de manière que son premier terme ait un coefficient positif, le dernier terme sera négatif ; on rentre dans le premier cas.
Corollaire II. — Toute équation de degré pair dont le dernier tenue est négatif a au moins une racine positivée et au moins une racine négatii^e.
On suppose encore ici que le premier terme de l'équation proposée /* (a?) = o ait un coefficient positif. Si l'on nomme X une limite supérieure des racinea positives de réquation/(j:) = o, les quantités /(X),y*(o) seront de signes contraires, donc Téquation a un nombre impair de racines positives, et par conséquent elle en a au moins une. Ce raisonnement s'applique aussi à Téquation y ( — jp) = o ; donc la proposée jf (a:) = o a un nombre impair de racines négatives.
Théorème de Descartes,
1 i 6. On dit que deux termes consécutifs d'une fonction entière y* (oî) à coefficients réels offrent une variation, quand ils ont des signes contraires; deux termes consécutifs qui ont le même signe offrent une permanence. Cela posé, l'importante proposition connue sous le nom de théorème de Descartes repose sur le lemme suivant.
Lemme. — Si f{x) désigne une fonction entière et que a soit une quantité positive, le nombre des varia' tions contenues dans le produit [x — ^) f {^) surpassera d\ine unité au moins y et toujours d^un nombre impair y le nombre des variations de f [x).
En effet, ordonnons la fonction /(j?) par rapport aux
$£CTIOII I. — CHAPITRE VI. ^55
puissances décroissantes de x et posons
f(x) = (Po^r* -f- ...) — (Pi J^"» -h ...) -^- (P»'^'"' "+-•••)—•• •
en écrivant entre parenthèses tous les termes consécutifs qui ont le même signe ; le nombre des variations def[x) est évidemment égal à n. Multiplions y (j:) para: — a, et écrivons d'abord le produit par or, il viendra
x/(ar)=r:(PoX^'+...)— (Pi^"'»"*"' +...) + (Pi^*"^' -+-...)— ••• 4-(— i)''{P«a:*"^*H-.. .).
Pour déduire de ce résultat la valeur du produit (X'^a)f(x)^ il faut lui ajouter — af[x). Or, je dis qu'après cette addition les signes des termes dont les de-^ grés sont respectivement m-+-i, mi-f-i, wij-f-i,..., w„ -f- 1 seront restés les mêmes. Cela est évident pour le premier de ces termes, puisque le produit — af[x) n est que du degré /n. Quant au terme du degré m^ + i, il pourra être modifié, parce que — ^f{^) peut renfermer un terme du même degré; mais ce terme, s*îl existe, est le produit par — a du dernier des termes contenus dans la première parenthèse Aef{x)^ et, par conséquent, il est négatif; donc le signe du terme de degré Toi -I- I dans xf[x) ne sera pas changé. Pareillement, si — a/(x) peut donner un terme du degré /w, + i, ce terme est nécessairement le produit par — a du dernier des termes contenus dans la deuxième parenthèse de /(x), et il a le signe -f-, comme le terme semblable du produit xf(x). 11 est évident que le même raisonnement s^applique à ceux des termes suivants que nous considérons. Mais le dernier terme de — af[x) est de signe contraire au terme de degré w„ -f- 1 qui figure dans xf[x)^ et il ne peut se réduire avec aucun de ceux contenus dans ce produit. Donc, dans le produit [x — a)f[x)^
les termes dont les degrés sont w -f- 1 , Wi 4- 1 , /Wj -f- 1 ,..., i7ï„ H- I et le dernier terme auront alternativement les signes + et — ^ il y a par conséquent au moins » -f- 1 variations dans ce produit. Il peut y en avoir davantage; mais comme, en passant d'un signe + à un signe — ou inversement, on rencontre nécessairement un nombre impair de variations, il est évident que si le produit (x — a)f(x) a plus de «-4-1 variations, il en aura 2A -h /i + I, a A désignant un nombre pair.
li7. Le lemme que nous venons d^établir nous donne immédiatement le tbéorème de Descartes, qui consiste dans la proposition suivante :
Théorème. — Dans une équation quelconque^ le nombre des racines positis^es ne peut pas surpasser le nombre des variations du premier membre; et quand il est moindre^ la différence est toujours un nombre pair.
En effet, soit y (x) =0 Téquation proposée. Décom* posons le polynôme y(x) en ses facteurs linéaires; désignons par F (x) le produit des facteurs qui répondent aux racines imaginaires ou négatives, et soient ai, <Zs, . . . , a], les racines positives. On aura
L'équation F {x) = o n'ayant pas de racines positives, le premier et le dernier terme de F (x) sont de même signe, et en conséquence le nombre des variations de ce polynôme est un nombre pair 2 A: qui peut se réduire à zéro.
Le polynôme F (x) ayant 2 A: variations, le produit F (x) (x — ai) en aura 2 A^i -f-i, d'après la proposition précédente, A^i étant égal ou supérieur à A*. Pareillement, le produit F {x) (x — ai) (x — a,) aura 2Ar, -4- 2 variations, et ainsi de suite, de manière que le dernier pro-
SECTION I. — CHAPITRE VI. Qi^'J
duît,quîestëgalày*(jt:), aura a/r^-f-T» variations, k^ étant un entier positif ou nul.
CoROLLÀiAE. — Dans une équation quelconque^ le nombre des racines négatives ne peut pas surpasser le nombre des variations de V équation transformée en — X, et quand il est moindre la dij^rence est toujours un nomhre pair^
118. Le théorème de Descartes à pour complément la proposition suivante, qui n'en est au surplus qu'une conséquence^
Théorème. — Si une équation a toutes ses racines réelleSy le nombre des racines positis^es est égal au nom* bre des variations j et le nombre des racines né g attires est égal au nombre des variations de la transformée en — X,
Considérons les différences entre le degré de chaque terme d^une équation de degré m et le degré du terme suivant. Parmi ces différences, il peut y en avoir qui soient des nombres impairs : je les désignerai par
quant aux différences qui sont égales à des nombres pairs, je distinguerai celles qui répondent à deux termes de signes contraires de celles qui se rapportent à deux termes de même signe. Je désignerai les premières par
tandis que les autres seront représentées par
Comme il y a/i-hv-f-p différences , le nombre des termes de Téquation est égal à fx -h v -h p -f- i, et il est I. ly
258 COURS D* ALGEBRE SUPÉtlECBE.
évident qu'il manque à celle-ci, pour qu^elle soit corn* plète, un nombre de termes qui sera égal à 2S 4- v — /), si l'on fait, pour abréger,
En ajoutant le nombre des termes contenus dans Téquation proposée avec le no'tubre de ceux qui lui manquent pour qu^elle soit complète, on aura évidemmenl une somme égale à m + 1 ; donc
(i) wt = jz 4- 2v 4- aS.
Désignons maintenant par V le nombre des variations de Téquation proposée, par V le nombre des variations de la transformée en — x, et cherchons la valeur de
V 4- V. Considérons d'abord deux termes consécutifs dans lesquels la différence des degrés soit un nombre im* pair 2 A: 4- I ; il est clair que si ces deux termes offrent une variation dans la proposée, ils présenteront une permanence dans la transformée en — x^ et inversement; donc, les deux termes ne donnent qu'une unité dans
V 4- V, et comme il y a, par hypothèse, fx couples de termes du même genre, ces termes fourniront [l unités à la somme V 4- V. Considérons en second lieu deux termes consécutifs de signes contraires et dans lesquels la différe^ce des degrés soit un nombre pair 2 A 4- 2; ces deux termes donnent une variation dans la transformée aussi bien que dans la proposée, et comme il y a v couples de pareils termes, ils apporteront 2V unités dans la somme V 4* V. Enfin, si Ton considère deux termes de même signe et dans lesquels la différence des degrés soit un nombre pair 2^", ces termes ne donneront aucune variation dans la transformée en — a: et ils ne fourniront rien à la somme V 4- \ '. On a donc, d'après cela, .
SBCTIOH I. — CHAPITRE VI. aSp
et par conséquent la formule (i) peut s'écrire
(3) • m=zY-hV'-h^S.
Si Ton désigne par P le nombre des racines positives de Téquation, par P' le nombre des racines négatives et par 3I le nombre des racines imaginaires, on aura aussi
(4) «t— P-hP'-f-2l;
et la comparaison des formules (3} et (4) donnera
Si Féquation proposée a toutes ses racines réelles, I est nul; d'ailleurs aucun des nombres V — P, V — P' ne peut être n^atif ; donc on a, non^seulemenl
mais encore
Les formules (6) démontrent la proposition énoncée ; la formule (5) nous fait connaître en outre une limite du nombre des racines imaginaires. On en tire effectivement
1= oa >S;
d'où il résulte qu'une équation a toujours des racines imaginaires lorsqu'il manque plus d'un terme entre deux termes de signes contraires, et lorsqu'il manque même un seul terme entre deux termes de même signe.
CoiiOLLAiRE I. — Si une équation a toutes ses racines réelles et positiues^ Véquation est complète et elle ne présente que des variations.
Carie nombre des variations doit être égal au degré m de l'équation^ et celle-ci renferme en conséquence m + 1 termes.
ado COURS d'algèbre SUPéaiBURB.
Corollaire II. — Si Inéquation f{x) = o a toutes ses racines réelles et que a soit une quantité posiùve, le produit (x — ^)f(x) ne renferme quune variation de plus que f[x).
Car, dans chacune des équations
le nombre des racines positives est égal au nombre des variations du premier membre. La deuxième équation ayant une seule racine positive de plus que la première, elle a aussi une seule variation de plus que celle-ci.
119. Le théorème de Descartes conduit encore à une autre proposition sur laquelle nous croyons devoir appeler Tattention, parce qu'elle est le point de départ de recherches nouvelles dont nous aurons à parler ensuite. Cette proposition est la suivante :
Théorème. — Soient f(x) = o une équation du degré m dont les m racines sont réelles, et J* (x), J" ( j:)). •• 9 f"* [x) les m dérivées successives du pofyn&mè f(x)* Si, dans la suite des m -f- i fonctions
on substitue successivenient deux quantités réelles quel' conques ce et ê'^a^ et si, après chaque substitution, on compte les variations de signes que présente la suite des résultats, le nombre des variations perdues en pas^ sant dex = aàx=6 sera précisément égal au nombre des racines de l'équation f{x) = o comprises entre a et S.
En effet, posons successivement x = x*-\-a et a:=: x'+ 6. Le nombre des racines de la proposée qui sont supérieures à a sera égal au nombre des racines positives de la transformée ^'{j:' -4- a) = o, et, en censé-
SECTION I* — CHAPITRE Vi. 26 1
quence, égal au nombre des variations du polynôme /(x'-f-a), puisque toutes les racines sont supposées réelles. Pareillement le nombre des racines de la proposée qui sont supérieures à S sera égal au nombre des racines positives dey(a:' -f- 6) î=: o, et, par suite, égal au nombre des variations de f{x' -j- 6), D'où il suit que Téquation f(x) = o a précisément autant de racines comprises entre a et ê qu'il y a d'unités dans l'excès du nombre des variations de f{x* -h ol) sur le nombre des variations de/* (a:'-4- 6). Mais on a
f[^-hJc)z=/(a:)^/' (z) ~-h/'' (:r)— +...H-/'»(^) -^^, ^ ^ I ^ ' 1.2 ^ 'l.2;,.//l
donc l'excès dont nous venons de parler est égal à la différence entre le nombre des variations que présente la suite
pour jc = a, et le nombre des variations que présente la même suite pour x=o.
Théorème de Budan,
120. La proposition précédente cesse d'être exacte, lorsque Téqùation f{x) = o n'a pas toutes ses racines réelles. Mais, en cherchant à en modifier l'énoncé de manière a embrasser tous les cas, Budan est parvenu à un théorème remarquable que nous allons exposer après avoir établi préalablement un lemme fort important sur lequel nous aurons à nous appuyer.
Lehme. — Si f(x) désigne une fonction entière de X ayant pour dérii^ée y'(.r), et que Von fasse croître X de — oo à 4- oo , chaque fois que le rap-
port -^ s^annulera, il passera toujours d^une valeur
fiégative à une valeur positii^e.
a6a COURS D*ALGi»RB SUPÉRIEITIUB.
En effet, soit a une valeur de x pottr laquelle /(or) 8*annule. Si m est le d^rë de cette fonction et que Tou représente par/'(x),/"(x),.«*5y'"(^) sesdërîvées successives, on aura
