I .2. . . (iM — l
comme il peut arriver que la valeur a: = a annule/' (or) et quelques-unes des dérivées suivantes, je désignerai généralement par f" {x) la première de ces dérivées qui ne s'annulent pas pour x = a» Alors, en divisant Tune par Tautre les deux équations précédentes, on aura
id""'
la fraction qui multiplie '-9 dans le second membre, a
pour limite Funité quand u tend vers zéro \ donc, pour des valeurs de u positives ou négatives dont le module est suflSsamment petit, les quantités
a et ZllJtiîl /'(« + «)
seront de même signe \ il résalle de là que si h désigne une quantité positive suffisamment petite i et que l'on fasse croître u de — A à + A, le rapport
SBCTiON 1. CHAPITRE Vi. 263
d'abord n^alif, s'annulera en même temps que u et deviendra ensuite positif.
Corollaire. — Si le polynôme f[x) et ses n — i premières dériv^ées s'annulent pour x = a, et que h dé* signe une quantité positivée suffisamment petite, la suite des /i -H I fonctions
présentera n variations pour x = a — A, et elle n^ offrira que des permanences pour j: = a + A .
En effet, deux fonctions consécutives de cette suite sont de signes contraires pour x=^a — hj et elles sont de même signe pour a: = a + A.
121. Théorème de Budan. — Étant donnée une équation quelconque f(x) =: o de degré w, si dans les m -4- 1 fonctions
on substitue deux quantités réelles quelconques a et S^-a, et si, après chaque substitution, on compte les vcaiations de signe que présente la suite des résultats, le nombre des racines de f(x) :=:zo comprises entre ce et S ne peut jamais surpasser celui des variations perdues cfe x=:a à x = ëj et, quand il est moindre, la différence est toujours un nombre pair (*).
En effet, quand on fait croître x d'une manière continue de a à ê, la suite des signes des fonctions (i) ne peut
(") Ce théorème est souyent attribué à Fourier, qui Tayait sans aucun doDte rencontré dans ses recherches; mais la priorité appartient réellement à Bttdan qui communiqua en i8ii à TAcadémie des Sciences la démonstration complète du théorème. L'énoncé que nous adoptons ne diffère que dans la forme de celui donné par Budan, et il est tel que Fourier Va présenté dans son Analyse des équations, publiée après sa mort, en i83i» par les soins de Navier.
a64 COURS d'algèbre svpérieuiie.
éprouver de modifications qu'à rinstant où X atteint et dépasse une valeur qui annule quelqu'une de ces fonctions; supposons donc que, pour x = a^ une ou plusieurs des fonctions (i) s*annulent. Parmi ces fonctions qui s'annulent, pour a: == a, 51 peut y en* avoir plusieurs qui soient consécutives; soient donc généralement
n fonctions consécutives qui s'annulent pour x = ay le nombre n pouvant se réduire à l'unité. L'indice /i peut
être zéro, auquel ca9^'*{a:) représente la fonction y(jr) ; mais le dernier indice ik-^n — i ne peut être égal à to, car la fonction/*'" (x) est une constante différente de zéro. Cela posé, considérons la portion de la suite (i) qui comprend les fonctions (2) et la fonction suivante, savoir :,
d'après le corollaire du lemme qui précède, si h désigne "une quantité positive suffisamment petite^ les n-\-i fonctions de la suite (3) offriront n variations pour X = a — A, tandis qu'elles ne présenteront que des permanences pour X =p a ^ h. Appliquons successivement ce résultat aux cas de fx = o et de ja ]>• o.
Dsins le ca? de ji* = o, on peut dire que : si les n premiers termes de la suite (i) s^ annulent pour x==a, cest-à-rdire ^i r équation f(x)z=zo a n racines égales à a^ la portion de la suite (i) qui embrasse les /i + i premiers termes perd n variations, quand on passe de X =z a — h à X =^ a -^ h.
Dans le cas de fx^ o, joignons aux fonctions (3) celle qui les précède dans la suite (i), on aura les n + 2 fonc- ^ions
Si n est un nombre paîr aAr, réqùation f^(x) = o a a* racines égales à û, et, en conséquence, f^(x) ne change pas de signe, quand x varie de a — A à a + A 5 d'ailleure
f^"^ (x) conserve aussi le même signe; donc la suite (4) perdra 2 A variations quand on passera de a — h à a 4- A. Si, au contraire, n est un nombre impair aA + i, Féqualion/^(a:) = o a aA-Hi racines égales à a> et/'* (a:) change de signe quand x varie de a — h à a4-A^ comme y*""* (a:) conserve, le même signe, il s'ensuit que la suite des deux fonctions y^""*^), f^{x) perdra ou gagnera une variation dans le passage de a — A à a -f- A» et, par conséquent, la suite (4) perdra dans ce cas (2A:4-i)±i, c'est-à-dire aft ou aft + a variations. On peut donc dire que : sin termes consécutifs de la suite (1), ne comprenant pas le premier terme ^ s* annulent pour j: = a, la portion de la suite (i) qui embrasse ces n termes a^ec celui qui les précède et celui qui les suit perd un nombre pair de variations^ quand on passe de a — h à a + h^ ce nombre de variations perdues peut se réduire à zéro quand /* = 1 5 mais, pour n^ij il est positij.
Il résulte de là que, x croissant de a à ë, chaque fois que cette variable atteint et dépasse une valeur a qui annule quelques-unes des fonctions (i), cette suite perd v + a/i variations, k étant un entier positif ou nul, et le nombre v, qui peut aussi se réduire à zéro, étant précisément égal au nombre'des racines de l'équation/ (j?) = o qui sont égales à a. Si donc N désigne le nombre total des racines réelles égales ou inégales comprises entre a et S, le nombre des variations perdues en passant de a: = a kx=ë sera égal à N ou égal à N augmenté d'un nombre pair.
CpROLLAiriE — Si r équation f\x) =0 a N racines
a66 COURS d'algèbre supÉviEiJiie.
comprises entre a et Q, et que la suite (i) perde N H- 2K "Variations dans le passage de x^=^a à x=: S^ t équation a au moins 2K racines imaginaires.
Eh effet, désignons par No le nombre des racines comprises entre — 00 et a, par N' celui des racines comprises entre S et +00 • Soient aussi No-f- aK©, N'-f- 2K' les nombres de variations perdues dans la suite (1) quand on passe dej: = *— 00 à x = a et de j: = 6àx = -f-oo.Il est évident que pour x== — 00 la suite (i) présente m variations, tandis qu'elle n'a que des permanenc^es pour jc =3 00 ; on a donc
No -h N -h N' -4- iiK. 4- 2K -f- 2K' = /Il ;
le nombre 2I des racines imaginaires est égal n m — (No + N + N'), et l'on a conséquemment
I = Ko-+-K-4-K', d'où 1= ou >K.
122. Nous présenterons ici deux remarques au sujet du théorème deBudan*
Quand on applique ce théorème^ il peut arriver que l'un des nombres a et 6 qu'il faut substituer à x annule quelques-unes des fonctions de la suite (1). On sauve cette difficulté en substituant oL + h an lieu de a et 6 — /< au lieu de 6, h désignant comme précédemment une quantité positive suffisamment petite. Aucun calcul ne sera d'ailleurs nécessaire, car supposons que l'hypothèse x = a annule les termes de la suite (3) à l'exception du dernier, nous savons que cette syîte (3) n'offre que des permanences pour j? = «+ A. Si c'est, au contraire, l'hypothèse x=: ë qui annule les fonctions dont nous venons de parler, la suite (3) ne présentera que des variations pour x = 6 — h.
Le théorème de Descartes peut être regardé comme un corollaire de celui de Budan. Supposons, en effet, que l'on
SECTION I. — CHAPtTEE VI. ^6j
veuille appliquer ce dernier théorème en prenant a = o, 6= -t-oo . Pour X = -I- 00 , la suite des fonctions (i) ne présente que des permanences» et pour .r = o ces fonctions se réduisent aux coefficients de réquationy(j:) = o, en faisant abstraction de certains multiplicateurs numé* riques et essentiellement positifs. A la vérité, Thypothèse x = o peut annuler quelques-unes des fonctions (i), et cela arrive nécessairement si Té^juation proposée manque de quelques termes. Mais supposons qu'au lieu de substituer zéro, on ait substitué successivement — h et + A; comme le nombre des variations perdues en passant de — h à 4- A est pair, si, comme on le suppose, Téquation proposée n'a pas de racines nulles, il est permis de ne tenir aucun compte de celles des fonctions (i) qui s'annulent pour x= o, lorsque Ton applique le théorème de Budan en prenant a = + h et ë= + co^ ou, ce qui revient au même, en prenant a = o, 6 = + oo , Il résulte donc du théorème de Budan que : si V équation ^(jr) = o a N racines positives, la suite des coefficients des termes contenus dans le premier membre offrira N + a K varia* lions, K étant un entier positif ou nul; ce qui e$t précisément le théorème de Descartes.
# Théorème de Rolle.
123. La proposition connue sous le nom de théorème de Rolle est utile dans quelques circonstances, et elle se rattache directement à la théorie que nous exposons. Aussi croyons-nous devoir la présenter ici.
Théoeeme. — Si a et h désignent deux racines consécutives de réquationf[x) = o, en soHe que cette équa* tion n^ait aucune autre racine comprise entre a et h, VéquationJ^[x) = o, obtenue en égalant à zéro la dé-rivée def(x)^ a au moins une racine comprise entrer a
a68 GQUAS D^ÀLGiBEE SOPÉRIBURB.
et i, et quand elle en a plusieurs, le nombre de ces racines est impair.
En effet, si l'on suppose b'^a et que Ton désigne par h une quantité positive suffisamment petite, le premier des deux rapports
sera positif, tandis que le second sera négatif (n® 120). D'ailleurs les numérateurs f[a -h h) et f[b — h) sont de même signe, puisque Téquation proposée n'a pas de racine entre a-f-/i et b — }i\ donc les dénominateurs J'{a-\-h)^ f'(b — h) sont de signes contraires, et, en conséquence, l'équation J'{x) = o a un nombre impair de racines comprises entre a -f- A et b — A, ou entre o et i. Il faut remarquer que ce théorème subsiste^ lors même que a ou b serait une racine multiple de l'équation proposée.
CoROj^LÀiRE I, — Deux racines consécuti\fes a et & de r équation f [x) = o ne peuvent comprendre entre elles plus d'une racine de V équation f[x) :^o.
Car si l'équation y (a:) = o avait deux racines a elh commises entre a et 6, l'équation f'(x) = o aurait au moins une racine y comprise entre a et &; cette racine serait donc comprise, à plus forte raison, entre a et 6, ce qui est contre l'hypothèse.
Co&OLLÀiRE II. — ^ Si V équation f(x) =z ode degré m a toutes ses m. racines réelles , V équation y^(a:) = o a également toutes ses racines réelles, et deux racines consécutii^es de la seconde équation comprennent toujours une racine de la première.
Désignons par
SECTION I. — CHAPITRE Vr. *i6Q
les racines de l'équation y*( a:) t= o, rangées par ordre de grandeur à partir de la plus petite, et par
IW,, Wj, Wj, . . ., #w«,
les degrés de multiplicité de ces racines; on aura
m = nii •+- m^ + . . . -H /?i„.
Cela posé, diaprés le théorème des racines multiples, réquationy'(a:) = o a mi — i racines égales à a^, elle en a m, — I égales à a,,. . ., w„ — i égales à a„; le nombre de ces racines est m — n. En outre, d'après le théorème de RoUe, Téquation y'(a:) = o a au moins une racine comprise dans chacun des n — i intervalles que forment deux termes consécutifs de la suite (i) ; elle ne peut d'ailleurs en avoir plus d'une dans chaque intervalle, puisque le nombre total de ses racines est m — i .
Soient
les » — I racines de y (je) = o dont nous venons de parler et qui sont respectivement comprises dans les n — i intervalles formés par deux termes consécutifs de la suite (i). Il est évident que les termes de cette sui^e (i) seront compris respectivement dans les n intervalles formés par la suite
les termes de la suite (2) séparent donc les racines (i) de Téquation proposée.
124. Exemple. — Pour donner un exemple des applications du théorème de RoUe, nous établirons une propriété importante que possède une classe de fonctions qui se présentent dans diverses recherches mathématiques.
a^o ^oufts d'4Lgèbre supérieure.
Posons, pour abréger,
fix) = ,
et désignons par
les dérivées successives da polynôme y (x); la fonction que j'ai en vue et que je désignerai par X„ est définie par
la formule
La fonction f{x) étant un polynôme de degré an, sa jjiàme dérivée^ /"(Jc) ou X„ sera un polynôme du degré n. Cela posé, je dis que Téquation
a ses y» racines réelles inégales et comprises entre — i et-Hi.
Pour établir cette proposition, il suffit d'appliquer n fois de suite le théorème de RoUe à Féquation
Cette équation a n racines égales à — i et n racines ^les à + 1 ; donc Féquation
aura n — i racines égales a — i , /i — i racines égales i + 1 , et une racine Ui comprise entre — i el 4- 1 • De là il résulte qae Féquation
a 71 — 2 racines égales à — ^i , n — a racines égales à + 19 une racine b^ entre — i et ^i, et une racine b^ comprise entre a^ et -+- 1 .
Il n'est pas nécessaire de pousser plus loin ce raisonnement, pour reconnaître que Féquation /" (x) = o'ou
SBCTIOM 1. •— CBAI»ITRE VI. 3^1
X„= o a ses n racines réelles inégales est comprise entre — I et + 1^ ainsi que nous l'avions annoncé.
125. On peut tirer du théorème de Rolle les conditions delà réalité de toutes les racines d'une équation de degré donné; mais, devant bientôt faire connaître une méthode beaucoup plus simple qui remplira le même objet, nous n'aborderons point ici cette question générale, et nous nous bornerons à appliquer le théorème à la détermination du nombre des racines réelles d'une équation /nnome y telle que
/( jr) = x»" -4- />j:» -t- ^ = 0,
dans laquelle nous supposerons les exposants m et n impairs.
Le nombre total des variations contenues dans cette équation et dans sa transformée en — x est égal i i ou à 3 ; le nombre des racines réelles est donc lui-même égal à 1 ou à 3 *, il s'agit dé distinguer ces deux cas. La dérivée f[x) a ici pour valeur
si p est positif, l'équation^ (x) = o ne peut avoird'autre racine réelle que zéro> donc la proposée ne peut pas avoir dans ce cas trois racines réelles. Si p est négatif, et que Ton désigne par b le radical
Téquation f'{x) = o admettra les racines — i et -H i, indépendamment des racines nulles qu'elle peut avoir et qui sont, par hypothèse, en nombre pair. Alors, si la proposée a trois racines réelles, — b sera comprise entre les
ay2 COURS d'algèbue supérikuhe.
deux plus petites, tandis que + & le sera entre les deux plus grandes ; donc ces trois racines seront respectivement comprises dans les trois intervalles que forme la suite
ce qui exige que Ton ait
Réciproquement, si ces conditions sont remplies, Téquation proposée aura nécessairement (n^ 115) une racine comprise entre — oo et — i, une deuxième entre — i et -h b, une troisième enfin entre -h i et -h oo . En remettant au lieu de b sa valeur, on trouve que nos deux conditions deviennent
et elles peuvent s'exprimer par une inégalité unique, en écrivant que la puissance (m — « )**'"' de la quantité intermédiaire est inférieure à la puissance [m — /i )'*"*' de Tune des quantités extrêmes. On obtient ainsi la condition demandée,
/ nq X"^» ^ /np
on voit qu'elle n'est jamais satisfaite quand /t? est]> o. Si le premier membre de celte inégalité se réduit à zéro, l'équation proposée a encore trois racines réelles, mais il est évident que deux de ces racines sont égales entre elles. Si l'on a
Téquation proposée devient
x^ -f- px -f- ^ = 0,
àECTlOM I. — CHAPITRE Vî. 1^3
ce qui est la forme à laquelle peut être ramenée toute équation du troisième degré (n^ 62). Quant à la condition de réalité des trois racines, elle devient
^4--^<o, ou 4/^* H- 27 o^ < o.
Théorème de Sturm,
126. Parmi les problèmes que Ton rencontre dans la théorie des équations, l'un des plus importants est celui qui a pour objet la découverte d'une règle à l'aide de laquelle on puisse déterminer le nombre exact des racines réelles d^une équation qui sont comprises entre deux nombres donnés,
La proposition du n^ 119 nous a donné la solution de ce problème ) pour ce qui concerne les équations dont toutes les racines sont réelles, et les recherches de Budan ont eu pour objet, comme on Ta vu, de tirer des mêmes principes un critérium qui pût s'appliquer à tous les cas. Mais^ malgré son utilité incontestable, le beau théorème auquel ce géomètre est parvenu ne donne pas une solution complète de la question que nous venons de poser. * L'Algèbre offrait ainsi une lacune regrettable, mais cette lacune se trouva comblée de la manière la plus heu* reuse par le fameux théorème de Sturm» Ce grand géomètre communiqua à TAcadémie des Sciences, en 1829, la démonstration de son théorème, qui constitue Tune des plus brillantes découvertes dont se soit enrichie l'analyse mathématique.
127. Le théorème de Sturm consiste dans la proposition suivante :
Théorème. — Étant donnée V équation V = o dont le premier membre est une fonction entière d'un degré quelconque m de Vinconnue a:, et qui na pas de ra^ I. 18
3^4 coulis d'algèbre SUPÉfllEUBE.
cines égales^ soit V, la dérivée du poljnôme V. Effectuons la division de V par Vj , jusqu^â ce que nous soyons arrivé à un reste de degré injérieur au degré de\ i^ changeons les signes de tous les termes de ce reste et désignons par Vj ce quil devient alors. Divisons de même Vj par V, , et après avoir changé les signes des termes du reste^ nous aurons un nouveau polynôme Vs dont le degré sera inférieur au degré de V, . Divisons pareillement V, par Vs et continuons la même série d 'opérations y comme s'* il s'agissait de déterminer le plus grand commun diviseur des polynômes \ ef Vj , mais en ayant soin de changer les signes de chaque reste avant de le prendre pour diviseur. L'équation proposée n^ ayant pas de racines égales^ nous arriverons après un certain nombre (i — i de divisions à un reste numérique différent de zéro, et nous représenterons par V ce reste changé de signe. Nous obtiendrons' ainsi une suite de li-hi fonctions
dont les degrés^ par rapport à jc, formeront une suite décroissante.
Cela posé, soient a et ê'^a deux quantités réellei quelconques données, et substituons successivement a et S à X dans les fonctions (i). Ze nombre des racines réelles de l'équation V = o, comprises entre a et ë^sera précisément égal à Fexcès du nombre des variations que présente la suite des signes des fx -4- i fonctions (i) pour X = « , sur le nombre des variations que présente la suite des signes des mêmes fonctions pourx=z &.
Désignons par les quotients que l'on obtient en divisant V par V,, V|
SECTION I. CHAPITRE VI. 2j5
par V,, . : . , V^^^ par V^i; on aura celle suite d'égalités:
qui conduisent aux deux conséquences suivantes :
ï" Dans là suite (i), deux fonctions consécutives ne peuvent s^ annuler pour la même valeur de x.
En effet, si l'on avait V;t i = o, V/^ = o, pour une certaine valeur de Xj la relation
montre que l'on aurait en même temps \k^i = o. On conclut de là que si une même valeur de x annulait deux fonctions consécutives, elle annulerait aussi toutes les suivantes, ce qui est impossible, puisque la dernière fonction V^ est une constante différente de. zéro.
2** &*, pour une valeur de Xy Vune des fonctions de la suite (i), autre que la première, s^atinulcy la fonction précédente et la fonction suivante sont dé signes contraires.
En effet, si Ton a V;t = o, l'égalité (3) donne
Faisons maintenant croître x d'une manière continue entre les limites a et 6; la suite des signes des fonctions (i) ne pourra être modifiée qu'à l'instant où x atteindra et dépassera une valeur qui annule une ou plusieurs des fonctions de la suite (i). Soit a Y une de ces valeurs, et supposons d'abord que parmi les fonctions
^yd COURS d'algèbre supériecjae.
qui s'annulent pour a: = a, la première V ne soit pas comprise.
Si h désigne une quantité positiye suffisamment petile, les équations Vj t = o, V^^i = o n'auront aucune racine entre a — A et a + A* et) en conséquence, chacune des fonctions Vjt i, ^«4.1 conservera le même signe quand on fera croître x de a — h à a -h h. Ces fonctions étant de signes contraires pour x = a, comme nous Tavons dit plus haut, elles sont pareillement de signes contraires pour X = a — A , ainsi que pour x = a -f- A ; donc la portion de la suite (i) qui comprend les trois fonctions
offre une variation unique pour x = a — A, ainsi que pour X = a -h A ; ceci s'applique évidemment à chacune des portions de la suite (i) qui sont formées par l'une des fonctions Y^y V^,. . . et les deux qui la comprennent. On peut conclure de là que la suite des signes des fonctions (i) ne perd ni ne gagne aucune variation quand x croit de a — hk a^h.
Supposons maintenant que x, croissant de a à S, atteigne une valeur a qui annule la fonction Y, et pour laquelle quelques-unes des autfes fonctions de la suite (1),
telles que
puissent aussi s'annuler. Le raisonnement qui précède montre que la portion de la suite (i) formée avec l'une de ces dernières fonctions et les deux qui la comprennent présente une variation unique pour x=== a — A , ainsi
que pour.j: = a + A. D'ailleurs, d'après le lemme du
n^ 120^ le rapport r=- passe du négatif au positif quand x
croit de a —^ A à a + A ; ce qui revient à dire que les deux fonctions V, Vj offrent une variation pour .r = a — A, et
SECTION I. — CHAPITRE VI. Hyj
une permanence pour x=i=a^h'^ donc, dans le passage de x = a — Aàx = a-|-A, la suite entière des fonctions (i) perd une variation et n'en perd qu^une seule.
En résumé, si x croit d'une manière continue depuis a jusqa'à 6, le nombre, des variations de la suite des fonctions (i) n'éprouve de modification que quand x atteint et dépasse une racine de Féquation V = o, et chaque fois que X atteint et dépasse une telle racine, il y a une variation perdue, dans la suite des fonctions (i); ce qui démontre le théorème énoncé.
128. Sturm a fait lui-même sur son théorème des remarques importantes que nous reproduisons ici.
1° Dans les divisions successives qui servent à trouver les fonctions V, » V^ , . . • , il est permis de multiplier ou de diviser les dividendes ou les diviseurs par des nombres positifs quelconques; les fonctions (i) se trouveront alors multipliées par des facteurs positifs, ce qui ne changera point leurs signes. Mais il faut éviter de supprimer ou d'introduire des facteurs négatifs.
2^ La condition que la dernière des fonctions (i), savoir V^, est une constante, n'intervient pas dans la démonstration que nous avons présentée du théorème; cette démonstration suppose seulement que V^ ne change pas de signe quand x varie de a à 6. Il résulte de là que si, parmi les fonctions (i), il s'en trouve une Y^ qui n'ait aucune racine comprise entre a, et 6, on pourra arrêter la suite (i) à cette fonction et faire abstraction de toutes celles qui suivent.
3^ Il peut arriver que l'une des limites a, 6 annule une ou plusieurs des fonctions de la suite (i); mais il ne saurait résulter de cette circonstance aucun embarras pour compter le nombre des variations. Il suffira effecti-
2^8 COURS d'algkbrb supérieure.
vement, dans ce cas, de substituer ot — A au lieu de a ou ê + A au lieu de 6, h désignant une quantité aussi petite que r*n voudra. Supposons que la fonction Y s'annule, soit pour X = oc^ soit pour a: = 6 . Ainsi que nous Tavons yu, les deux fonctions V, Vf offriront, dans le premier cas, une variation pour xzzza — A, et une permanence, dans le deuxième cas, pour x = 6 + A. Quant aux fonctions qui suivent, si Tune d'elles s'annule pour a: = a ou pour j?= €, nous avons vu que pour une valeur de a: trèspeu différente de a ou de ë, la suite formée par cette fonction et les deux qui la comprennent offre toujours une variation unique*
129. Le théorème de Sturm s'applique sans modification aux équations qui ont des racines multiples, pourvu que l'on fass^ abstraction du degré de multiplicité de ces racines.
En effet, soit X=:o une équation qui a des racines multiples, et désignons par Xi la dérivée du polynôme X. Opérons sur les fonctions X et Xi , comme s^il était question de chercher leur plus grand commun diviseur, en ayant soin de changer le signe de chaque reste, ainsi que le prescrit Ténoucé du théorème. On obtiendra ainsi la suite de fonctions
dans laquelle le dernier terme ne sera plus constant^ mais trois fonctions consécutives seront encore liées entre elles par une égalité de la forme
X*, = XjtQ* — Xi^^l ,
ou Qjt désigne une fonction entière.
Soit D le produit des facteurs linéaires communs à X et à Xi ; il est évident que les fonctions (i) pourront
SECTION I. — CIlA.PlïnE VI. 2jy
être divisées exactement par D, et si ron désigne par
les quotients de ces divisions, la dernière des fonctions (2) sera nne constante, en outre trois fonctions consécutives de celte suite seront liées entre elles par la relation
enfin, d'après le lemme du n^ 120, le rapport — - =r —
passera toujours, en s' annulant, d'une valeur négative à une valeur positive. En conséquence, on peut appliquer aux fonctions (a) le raisonnement entier du n**.127, et il en résulte que si 6 est ^ a, Téquation V = oouX = o a autant de racines comprises entre a et 6 qu'il y a de variations perdues dans la suite des signes des fonctions (2), lorsque x croît de a à S. Enfin, comme les fonctions (i) s'obtiennent en multipliant les fonctions (2) par un
même polynôme D, il est permis de substituer les unes
aux autres.
Des conditions de réalité de toutes les racines d'une
équation de degré donné.
130. Pour avoir le nombre total des racines réelles d'une équation donnée V = o, il suffit de former, conformément au théorème de Sturm, la suite des fonctions
(0 V, V|, Vî, . . . , V^i , v^,
et d'y substituer successivement deux limites L, 1/ entre lesquelles toutes les racines réelles soient comprises *, mais comme, pour une valeur de x dont le module est suflSsamment grand, une fonction entière a toujours le signe de son premier terme, et que nous n'avons à nous préoccuper que du signe des résultats des substitutions, on
a8o COURS p'algesre supérieure.
peut prendre, pour plus de commodité, — oo et + oo au lieu de L et de L'. Soient donc A le nombre des va* riations contenues dans la suite des fonctiops (i), pour x= — 00 5 A;' le nombre des variations de la même suite pour jc = 4- 00 , le nombre des racines réelles de l'équation V = o sera A — h!.
Si l'on veut avoir séparément le nombre des racines positives et celui des racines négatives, il faudra en outre substituer zéro à x dans la suite (i), ce qui réduira chacune des fonctions à son dernier terme ; soit A^ le nombre des variations de la suite (i) pour x=o^ l'équation proposée aura Ai — A' racines positives et A-— &i racines négatives.
131. Supposons maintenant que Ton veuille connaître les conditions qui doivent être remplies pour que Téquation V' == o, du degré m, ait ses m racines réelles et inégales. Il faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que la suite des fonctions (i) perde m variations quand x croît de' — 00 à + 00 •, cela exige d'abord que cette suite ait au moins m-h i termes , or elle ne peut en avoir davantage, donc le nombre (i est égal à m, et les fonctions (i) sont respectivement des degrés
En outre, la suite des signes des m -f- 1 fonctions (i) doit renfermer m variations pour a: = — oo , et elle n'en doit plus ofirir aucune pour a: = -f- oo 5 il est évident que cela revient à dire que le coefficient du premier terme, dans chacune des fonctions (1), doit être positif.
On peut énoncer, d'après cela, la proposition suivante :
Pour qu^une équation du degré m ait ses m racines réelles et inégales y il faut et il suffit que la suite formée
SECTIOir I. — CHAPITRE VI. . a8l
conformément à l * énoncé du théorème de Sturm se com' pose de m -h i fonctions, et que^ dans chacune de ces fonctions^ le coefficient du premier terme soit positif.
Comme, dans les deux premières des fonctions dont ^ous venons de parler, le coefficient du premier terme est toujours positif, la proposition précédente indique seulement m — 1 conditions pour la réalité de toutes les racines. Mais il se peut que ces conditions rentrent les unes dans les antres ; le nombre m — i ne doit donc être regardé que comme une limite supérieure.
Exemple. — Prenons pour exemple Féquation du troisième degré
pour éviter les dénominateurs, dans les deux divisions que nous avons à exécuter, je multiplie les dividendes respectivement par 3 et 4p' \ on a alors
V = x* -+-/7X -h <7, ou 3j;*-f- 3/?jr -f- Sgf, Vi=3x' -+-/?, ou I2/P^ x'-f- 4/^%
V,= — 2/?x — 3 y, Va= —4/'*— 279».
Les conditions de réalité des trois racines sont donc
mais la première condition est comprise dans la seconde; celle-ci peut s'écrire
c^est la même que nous avons déjà obtenue par une autre ▼oie, au n** 125.
Extension de la méthode de Sturm.
132. Les fonctions dont le théorème de Sturm prescrit l'emploi peuvent être quelquefois suppléées, ainsi que Ta
â8a COURS d'algèbre scpêribure.
remarqué Tillustre auteur, par d'autres fonctions qui remplissent le même objet.
Soient
(i) V, V(, Vj, ..., V^
jx -H I fonctions entières d'une variable x qui satisfont aux conditions suivantes :
I** Que la dernière Jonction V^ ne change pas de signe quand x varie entre deux limites données a et 6>«;
2** Que deux fonctions consécutwes ne puissent s'annuler pour une même valeur de x comprise entre a et 6;
3® Que si une fonction autre que la première s^annule pour une valeur de x comprise entre a et 6, les deux fonctions qui la comprennent aient alors des valeurs de signes contraires;
4° Que le rapport — - passe toujours du négatif au
positif chaque fois qui il s* annule y quand x croit de a à 6.
Il est évident que ce» conditions sont les seules que nous ayons fait intervenir dans la démonstration du n** 127; on peut donc affirmer que, dans noire hypothèse, le nombre des racines réelles de l'équation V = o comprises entre a et ê est égal au nombre des variations perdues par la suite (i) dans le passage de j: = a à
Supposons que la dernière des quatre conditions que nous venons de mentionner soit remplacée par la condi-
tion contraire, savoir : Que le rapport — passe toujours
du positif au négatif en s* annulant^ quand x croît de a A 6. Les trois premières conditions étant maintenues, il
SBCTIOlf I. CHAFITRE VI. 283
est évident que le nombre des racines réelles de l'éqnalion V = o comprises entre a et 6 sera égal au nombre des variations gagnées par la suite (i), quand x croit de a à S. C'est uniquement pour fixer les idées que nous avons supposé 6 }> a ; les mêmes choses ont lieu dans le cas de S<^a, seulement les variations perdues deviennent des variations gagnées, et inversement.
133. Supposons maintenant que les trois premières des quatre conditions précédentes existent seules, et que Ton ait constaté chez la suite (i) une perte ou un gain de h variations dans le passage de x = a à a; = 6, a et 6 étant des quantités quelconques données. Il est évident que si l'on fait varier x dans le même sens, depuis x=:a jusqu'à a:= S, le nombre des variations de la suite (i) ne pourra être modifié qu'à l'instant où x atteindra et dépassera une valeur qui annule la première fonction Y. Donc, la perte ou le gain de A variations ne peut avoir lieu que si l'équation V = o a au moins k racines réelles entre « et 6.
En outre, si l'on désigne par A l'excès du nombre jde
fois que le rapport —-9 en s'évanouissant et en changeant
de signe, passe du positif au négatif, sur le nombrede fois que le même rapport, en s'évanouissant et en changeant désigne, passe du négatif au positif, on aura nécessairement
le signe + ayant lieu dans le cas où la suite (i) gagne k variations quand on passe de a: =: a à j? = S, et le signe — dans le cas où la même suite perd k variations. Désignons aussi par A' l'excès du nombre de fois que
le rapport —? s'annule en passant du positif au négatif sur
a84 ^ COURS d'algèbre supérieure.
le nombre de fois que le même rapport s'annule en passant du négatif au positif, quand x varie de a à 6. Comnie y et Yi sont, par hypothèse, de signes contraires, chaque
fois que Vi s'annule, les deux rapports -ît et rp passent,
l'un du positif au négatif, l'autre du négatif au positif; si donc on représente par V le nombre des yariations gagnées ou perdues par la suite
dans le passage de a? :;= a à j: :^ 6, on aura, comme plus haut,
Comparons maintenant les nombres k et V, La suite (2) se déduit de la suite (i) en supprimant dans celle-ci le
premier terme ^ donc, si le rapport — a le même signe
pour X = a et pour x = 6, on aura À^ = A, et, par suite,
si — a le signe -+- pour a: = a et le signe — pour x = 6,
on aura A' = A zi: 1 , le signe supérieur ayant lieu quand il y a gain de variations dans le passage de x = a à x = 6, et l'inférieur dans le cas contraire ; on a donc
enân, si -- a le signe — pour x = a, et le signe H- pour
x = 6, on a encore A^ = A ± i ; mais ici le signe supérieur a lieu dans le cas d'une perte de variations, et le signe inférieur dans le cas contraire \ il en résulte que
Ainsi, en résumé, l'excès ù! est égal à — A, à — A -i- 1
SECTION I» . — CHAPITRE YI. ^85
ou à — A — I ; le premier cas a' Heu quand «- a le même
signe pour x = a et pour a: = ê ^ le deuxième cas quand le même rapport est positif pour a? =: a et négatif pour
x = g* le troisième cas, enfin, quand rr- est négatif pour
a: = a et positif pour a: = 6. On trouvera plus loin une application importante de ce résultat.
Si le nombre k est égal au degré m de la fonction V^ Véquation V = o a toutes ses racines réelles ^ en outre, quand x croit constamment ou décroit constamment de a
à S, le rapport ^=-9 chaque fois qu'il s'annule, passe tou-
jours du positif au négatif, ou toujours du négatif au positif. Il suit de là que le raisonnement dont nous avons fait usage (n^ 123) pour établir le théorème de RoUe est applicable à la fonction Vj, comme si cette fonction était la dérivée de Y ^ en conséquence, deux racines de Tequation Y = o comprennent nécessairement ime racine de Téquation Yi = o. Si cette dernière équation est du degré m — i , elle aura toutes ses racines réelles, et ces racines sépareront celles de l'équation Y = o.
134. Pour bien faire sentir l'importance des considérations qui précèdent, je les appliquerai à un exemple remarquable, celui de la fonction dont nous nous sommes déjà occupé au u? 124 et que nous avons repré* sentée par X„.
Cette fonction X„ est la zi**"*' dérivée de la fonction
