i X 2" ou

a86 COURS d'algèb&b supérieure.

on a donc

^ . .,(2/»-2X)(2ll — 2A~-l)...(/»^l-2X-) ^,*^^^

Le polynôme X„ est du degré n^ il ne renferme que des puissances de x de même parité et il n*a que des variations. Dans le cas de /i = i , il se réduit à un seul terme, savoir :

(i) %i=jc;

pour n = 2, on a

Si, dans Texpression de Xni on change n en n — 2, il viendra

^ ' [2.4. ..(aX' — 2][2.4...(2«-" 2^' — 2)]

et l'on vérifie très-facilement que la somme

est égale au produit de la fonction X„^i par (2/1 — i]x\ on a donc

(3j /ïX«— (2/1 — i)xX,^,H-(« — i)X,, = 0.

Cette formule servira à définir Xo en y faisant ti = 2 et en substituant les valeurs de Xi etXi écrites plus haut; on trouve ainsi

SBGTION I. — CHAPITRE VI. 287

Gela posé^ considérons la suite des fonctions

la dernière de ces fonctions est constante; et, d'après la formule (3), deux fonctions consécutives ne peuvent être nulles pour une même valeur de X] car si elles s'évanouissaient, la dernière fonction Xq serait nulle, ce qui n'a pas lieu ; en outre, quand Tune des fonctions X, autre que la première, s'annule, les fonctions qui la comprennent sont de signes contraires, d'après là formule (3). > Enfin, cette même formule (3) jointe aux formules (i) et (a) montre que l'on a

X;„ = (— i)" pour x = —i, Xot=H-i pour a:=4-i;

donc, quand on fait croître a: de — ià + i,la suite (5) perd n variations, d'où l'on peut conclure que :

I** L'équation X„ = o a ses /i racines réelles inhales et comprises entre — i et -f- 1 ;

2** Les racines de Ir'équation X„j === o séparent celles de l'équation X» = o 5

3° Si a et D ^ a sont deux nombres compris entre — i et -j-i, le nombre des variations de l'équation X„ = p comprises entre a et S sera égal au nombre des variations perdues par la suite (5), dans. le passage de x =^ a à a: =6.

On serait arrivé aux mêmes résultats en considérant, au lieodes fonctions (S), la suite

\^j An, An» A.«, . . . , An )

formée par la fonction X» et ses dérivées successives. On a effectivement les relations suivantes, qu'il est facile de vérifier au moyen de l'expression de X„ écrite plus

388 COURS d\L6EBKE svpérieukb.

haut :

(7) (i — x'jx'L — nxX'n 4- n{n -*-i)X„ = o,

et

On voit, par ces relations^ que, dans la suite (6), deux fonctions consécutives ne peuvent pas s'annuler en même temps, et que, si Tune d'elles s'évanouit pour une valeur de X comprise entre — i et + i , la fonction qui précède et celle qui suit ont des valeurs de signes contraires. Ces mêmes relations montrent que, pour x = — i , la suite (6) n*oiTre que des variations, tandis qu'elle n'a que des permanences pour X =:^ 4- i; on peut donc tirer les mêmes conséquences que nous avons formulées plus haut. Cette conclusion s'accorde avec la proposition du u^ 119, puisque l'équation X„ = o a toutes ses racines réelles.

135. On peut encore démontrer très-simplement, par la méthode de Sturm, la réalité des racines des équations en X que nous avons obtenues dans le Chapitre précédent

en appliquant la transformation z -^ — = x* aux deux

équations

Application de la méthode de Sturm à la détermination du nombre qui exprime combien une équation quelconque a de racines réelles ou imaginaires dans r intérieur d^un contour donné,

136. Soh/[z) = P -H iQ une fonction entière de la variable imaginaire ^ = x -H ijr^ dans laquelle les coefficients sont des quantités quelconques données réelles ou

SECTION I. CHAPITRE VI. 28y

iraaginaîres; i désigne, comme à l'ordinaire, l'imaginaire

^— I, P et Q sont des fonctions réelles des variables réelles x et j.

Pour connaître le nombre w des racines de l'équation

comprise dans un contour donné, il suffit, d'après le théorème de Caucby (n*' 55), de chercher l'excès A relatif à ce contour ; on a effectivement

si Ton suppose qu'il n'y ait aucun point racine sur le contour lui-même. Rappelons encore que si, partant d'un point quelconque, on décrit le contour donné, comme il a été indiqué au n° 55, le nombre A est égal à

Texcès du nombre de fois que le rapport — ? en s'éva-

nouissant et en changeant de signe, passe du positif au négatif, sur le nombre de fois que le même rapport, en s'évanouissant et en changeant de signe, passe du négatif au positif.

Quel que soit le contour donné, on peut le partager en plusieurs parties telles que AB, et il est évident que l'ex*

ces A relatif au contour total sera égal à la somme des excès qui se rapportent aux diverses parties dans lesquelles ce contour a été divisé.

Si les coordonnées x et j^, pour la portion AB du contour donné, sont exprimables par des fonctions ration- L 19

igO COURS D^LGÈBRE SUPÉRIRURE,

nellesil'une variable t^ eu sorte que Ton ail

?) ^, ^, V étant des fonctions entières, on pourra déterminer Texcès positif ou négatif A qui se rapporte à la portion de contour AB par une règle très-simple que Sturm a fait connaître (*)* Soient t^ la valeur de t qui se rapporte au point A et T celle qui est relative au point B. Quand on décrit Tare AB en marchant de A vers B, la variable t a ainsi la valeur initiale /o ^t la valeur finale T, mais dans l'intervalle elle peut varier d'une manière quelconque et repasser plusieurs fois par les mêmes valeurs. Remplaçons x eiy par leurs valeurs fonctions

de t^ le rapport rr deviendra une fonction rationnelle

de ^, et Ton aura

V et Yi désignant des fonctions entières de f, sans diviseur commun. Cela posé, voici en quoi consiste la règle de Sturm :

Si le degré de V nest pas inférieur au degré de Vi, on dwisera V par Vi, et on poussera V opération jusquà ce que Von obtienne un reste — V» de degré inférieur au degré de Vi •, on divisera pareillement Vi par Vj, ce qui donnera un reste — Va 5 on di\*isera encore Vj par Vs, et on continuera la même série d"* opérations jusqiH à ce que Von arris^e à un dernier reste — V indépendant de t. On obtiendra ainsi la suite de fonctions

V> V I , V j , . . . , V^ __ j , v^ ; {*) ^urnal de Biathématiqurs pures et appliquées, i'® série, t. I.

on comptera le nombre des variations que présente la suite des signes de ces fonctions pour t^^^T, ainsi que le nombre des ^variations quelle présente pour ^ = f© î I^OX" ces du prentier nombre sur le second sera précisément V excès cherché A.

Si le degré de V est inférieur au degré de Vi , on opé^ rera de la même manière^ seulement, dans la première dimion, on prendra Vi pour di\^idende et V pour divi^ seur^ on obtiendra ainsi la suite

on comptera le nombre des variations de cette suite pour f = T, ainsi que le nombre de ses variations pour f = t^^ et si l'on désigne par h Vexe es du premier nom^ hre sur le second ^ on aura A = * — k, ou A = — A-f-i, ou A = — k — I, sav^oir : i^ A = — k, quand lès termes Vi, V offrent une variation ou une permanence pour t = tii ainsi que pour t = T] 2**A=: — /r-hi, quand les termes V< , V offrent une permanence pour 1"=! t^ et une variation pour f = T ; 3^ enfin , A = — k — i , quand les termes Vi , V offrent une variation pour / = fo > et une permanence pour f = T.

Cette proposition devient évidente après les développements que nous avons présentés au n^ 133.

137. Si le contour que l'on considère est une circonférence de rayon R dont le centre soit placé aurpoint qui a Xo et y^ pour coordonnées , on pourra faire

et pour décrire la circonférence entière, en marchant toujours dans le même sens, il suffira de faire croitre t de

2g2 COURS d'algèbre supérieure.

Le cas le plus simple est celui où le contour donné est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes coordonnés ; on cherche alors séparément la valeur de Fex-

cès A qui se rapporte à chaque côté. Dans ce cas, Tune

p des coordonnées a:, j est constante, et le rapport - est

une fonction rationnelle de la deuxième coordonnée; on peut donc prendre celle-ci pour la variable t que noas avons introduite.

Soit le rectangle ABDC, et supposons que Ton ait res-

pectivement