X .. tX/0 et X — ■ A
pour les côtés parallèles CD et AB,
.r~Xo et j = Y pour les côtés CA et DB. Représentons par
{a^ -f- ib,) (jr + /.r)™ -f- («, ■+■ ib^) [x -h z»"*-' -f- . . .
le premier membre de l'équation proposée. On J)eut toujours ramener le coefficient du premier terme à l'unité ou à i ; mais nous ne ferons point cette simplification et nous supposerons que a^ ne soit pas nul quand m est pair et que 5o ne le soit pas quand m est impair. Cela posé, la fonction P étant ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de j^, son premier terme sera ± «oj^"* dans le cas de m pair, et il sera ± b^^y"* dans le cas de m impair. Donc, si l'on attribue à y une valeur positive ou
négative déterminée, dont le module soit sufBsamment
grand, le rapport — né s'annulera pour aucune valeur de
jr comprise entre a:© et X ; en conséquence, si l'on suppose jq=z — oo,Y=-+-oo, l'excès relatif à chacune des portions CA, BD du contour sera nul. D'ailleurs> l'excès re« latif au côté DC est égal et de signe contraire à l'excès qui se rapporte au même côté CD changé de sens, et, en conséquence, on a la proposition suivante :
Soient z une variable imaginaire x -h iy et
une fonction entière de z. Soitk^ r excès du nombre de
fois que le rapport , f [ f annule en passant du positif
au négatif sur le nombre de fois que le même rapport s'annule en passant du négatif au positifs quand y varie de — 00 à + 00 5 soit aussi K la quantité analogue /'e-
lative au rapport ^ ' — -. > et désignons par [a le nombre
des racines de V équation f [z) == o comprises entre les deux parallèles qui répondent à x = x^^ xzzz"^-^ on aura
II est presque superflu d'ajouter qu'on peut déterminer d*une manière semblable le nombre des racines comprises entre deux parallèles à l'axe des x.
; Premières recherches sur la séparation des racines '> réelles des équations numériques. Emploi du théorème de Sturm.
138. Une équation, dans laquelle quelques-uns des coefficients sont imaginaires, peut être mise sous la forme
294 couBs d'algèbue supérieurb.
(p(x) •+- i^(^) =o, ^(x) et ^{x) étant des polynômes à coefficients réels, et les racines réelles doivent évidemment satisfaire aux deux équations cp (x) = o, ^ [x) = o, ainsi qu'à l'équation obtenue en égalant à zéro le plus grand commun diviseur des polynômes tf(x) et ^(x)*, il en résulte que la recherche dont nous avons à nous occuper doit être bornée aux équations à coefficients réels. En outre^ il n'y a évidemment lieu de considérer que les équations qui n'ont pas de racines égales.
La première idée qui se présente pour séparer les racines d'une équation y(x) = o, d'un degré quelconquem, et qui n'a pas de racines égales, est de déterminer (n** 112) deux limites / et L ^ /, entre lesquelles les racines réelles soient toutes comprises, et de substituer à x^ dans le po* lynôme f{x)^ une suite de nombres croissants
commençant à la limite inférieure l et se terminant à un terme 4 ^g^l <>ti supérieur à L. Deux termes consécutifs de cette suite, s'ils fournissent des résultats de signes contraireç, comprendront entre eux au moins une racine (n^ 115)^ mais, si ces résultats sont de même signe, on ne pourra plus rien conclure en général. Toutefois, la séparation des racines sera eniièrement effectuée, s'il arrive que le nombre des intervalles dans chacun desquels les substitutions indiquent l'existence d'une racine, soit égal au degré m de l'équation*, la même. chose aura lieu aussi, si, le nombre /ix de ces intervalles étant inférieur à m, on a constaté, par le théorème de Descartes, ou autrement, que l'équation ne peut avoir plus de ix racines réelles.
Mais le procédé dont il est question prendra le caractère d'une méthode générale conduisant infailliblement, dans tous les cas, à la séparation des racines réelles, si
nous j ajoutons une règle pour former la suite (i) de telle manière que deux termes consécutifs ne puissent comprendre plus d^une racine. Or, il est évident qu'on réalisera cette condition en faisant coïncider la suite (i) avec une progression par différence
dans laquelle la différence h soit inférieure à la différence de deux racines réelles quelconques de l'équation f(x) = o 5 tout est donc ramené à déterminer cette quantité A. On y arrive par le moyen de l'équation aux carrés des différences (n^97) des racines de l'équation f[x) = o . Supposons que Ton ait calculé celte équa-
tton, qui est, comme on sait, du degré — ^ et que
Von ait déterminé une limite inférieure X de ses racines positives, La différence de à.eu% racines quelconques de
la proposée sera supérieure à y À, et, en conséquence, il suffira de prendre pour h une quantité positive égale ou
inférieure à v^. La différence h ainsi déterminée peut être un nombre inférieur à i , et l'on doit chercher à éviter les substitutions de nombres fractionnaires -, on y parviendra au moyen de la transformation x = hx! qui sert à diviser par h la racine de la proposée. En faisant cette transformation et en choisissant / de manière que j soit un
nombre entier, on n'aura à substituer que des nombres entiers dans l'équation en od,
139. La méthode que nous venons d'exposer est communément attribuée à Lagrange, mais il est juste de dire, et l'illustre géomètre le reconnaît lui-même, que Waring avait indiqué antérieurement, dans ses Miscellanea^ l'usage de l'équation aux carrés des différences pour la
ag6 couns d^algèbre supérieure.
séparation des racines. Cette méthode fait connaitre d*iuie manière certaine le nombre des racines réelles, en même temps qu'elle opère leur séparation; mais on aperçoit sans peine combien l'application en est laborieuse, en considérant d'une part le grand nombre de substitutions que l'on peut avoir à effectuer, et d'autre part la longueur du calcul nécessaire pour former l'équation aux carrés des différences. Cependant Cauchy a montré qu'on peut éviter ce dernier calcul, et que, pour être en mesure d'assigner unç valeur de la quantité A, il suffit de connaître le dernier terme de l'équation aux carrés des différences, lequel peut être calculé séparément par diverses méthodes dont on trouvera le développement dans la Section II de cet Ouvrage. En effet, soient a, fc, c, . . . yf, g les m racines de l'équation f(x) = o; le dernier terme deTéquation aux carrés des différences sera égal, abstraction faite du signe, à l'expression
Cette valeur de V étant supposée connue, soit v son module, en sorte que ^' = zh V; désignons aussi par p une limite supérieure des modules des racines de l'équation proposée (n*^ 46). Les modules des différences
seront inférieurs à 20 (n^39); si donc on suppose que les racines aetb soient réelles, l'égalité précédente donnera
..<(«- 6)^(2p)"'C"-.)-= d'où («-i)'>^-^Jl-^,;
si donc on prend
h =1 OU <^
la quantité k sera certainement plus petite que la diffé-
SECTION I. — CHAPITRE VI. ap^
rence de deux racines réelles quelconques. On y erra dans la Section II que si le coefficient du premier terme de Téquation proposée est égal à i et que les autres coef* ficienls soient des nombres entiers, la quantité v est toujours un nombre entier 5 on pourra donc, dans ce cas, se dispenser de calculer ^ et Ton prendra
h= ou <C
Ce perfectionnement, apporté par Cauchy, a sans doute de l'importance, mais il ne fait pourtant disparaître qu'une partie des inconvénients de la méthode.
140, Nous ne pouvons nous dispenser d'indiquer ici Tusage de Téquation aux carrés des différences pour former les conditions de réalité de toutes les racines de l'équation proposée f(x) = 0. Si cette dernière équation a toutes ses racines réelles, il est évident que toutes les racines de l'équation aux carrés des différences seront réelles et positives; donc cette équation sera complète et elle n'offrira que des variations. Si au contraire l'équation/"(x) = 0 n'a pas toutes ses racines réelles, soient a ± I S deux racines imaginaires conjuguées, l'équation aux carrés des différences admettra la racine négative — "4S* et, si elle est complète, elle offrira nécessairement quelques permanences, d'après le théorème de Uescartes. Donc :
Pour qu'une équation ait toutes ses racines réelles^ il faut et il suffit que V équation aux carrés des différences soit complète et ne présente que des variations.
Ce théorème donne ainsi — conditions, mais
quelques-unes de ces conditions devront être satisfaites
d'elles-mêmes ou rentreront dans les autres, car on a TU au n^ 431 que le nombre total des conditions distinctes ne peut pas surpasser m — i .
141 . Plusieurs géomètres, après Lagrange, ont cherché à éviter Temploi de Téquation aux carrés des différences*, mais nous n'avons à signaler aucun résultat essentiel, jusqu'à la découverte du théorème de Budan. Ce théorème a une grande importance dans la théorie des équationS) et il permet d'effectuer très-simplement, dans la plupart des cas, la séparation des racines. Mais avant de développer cette application importante . du théorème de Budan, je dois parler de la méthode si remarquable qui nous est donnée par le théorème de Sturm, et qui résout de la manière la plus complète et la plus élégante le^problème que nous avons en vue. Effectivement, quand on aura formé les fonctions dont ce théorème indique l'usage, on substituera à l'inconnue une suite de nombres croissants
et le théorème fera connaître combien il y a de racines dans l'intervalle que forment entre eux deux termes consécutifs de cette suite. S'il y a une seule racine dans l'un des intervalles, cette racine sera séparée; si, au contraire, il y a plusieurs racines, on substituera des nombres intermédiaires, et l'on arrivera infailliblement ainsi à achever la séparation. Il est à peine nécessaire d'ajouter qu'on devra prendre pour termes extrêmes de la suite précédente deux nombres au delà desquels il n'y ait plus de racines réelles.
Les nombres à substituer peuvent être pris arbitrairement*, mais dans les applications il conviendra en général de choisir d'abord les nombres
.. — loo, — 10, — I, o, -f-I, -4-IO, H-lOO
«ECTIOK I. — CHAPITRE VI. 299
dont la substitution se fera sans difficulté. Si les substitutions indiquent Texistence d'une ou de plusieurs racines dans un intervalle, entre i et lo par exemple, on substituera les nombres a, 3, . . . jusqu'à 9, ce qui donnera la partie entière des racines comprises entre i et lo. S'il y a plusieurs racines dans l'un de ces nouveaux intervalles, par exemple entre 3 et 4 9 on substituera les nombres 3,1; 3,2, . . ., et ainsi de suite.
On voit que ce procédé donne non-seulement la séparation des racines, ce qui est l'objet que nous nous proposons, mais qu'il permet h la rigueur de calculer chaque racine avec un degré d'approximation quelconque.
Il importe de remarquer . le cas où l'on sait d'avance que toutes les racines de l'équation proposée sont réelles. Dans ce cas, on peut se dispenser d'employer le théorème deSturm, ou plutôt on appliquera ce théorème, en prenant pour suite de fonctions, conformément à la proposition du n*^ H9, celle qui est formée du premier membre de l'équation proposée et de ses dérivées successives.
142. Exemple I. — Supposons qu'on demande de séparer les racines de l'équation
En supprimant certains facteurs numériques positifs, l'application du théorème de Sturm donnera les fonctions suivantes :
'JJC^
ces fonctions sont au nombre de cinq, et leurs premiers
3oo COURS d'algèbre supérieure.
termes sont positifs, donc Téquation proposée a ses quatre racines réelles. Les règles des n°* 113 et 114 indiquent que les racines sont toutes comprises entre — 2 et + 2, ce qui s'accorde avec les résultats des substitutions. La substitution des nombres
dans la suite des fonctions V, donne les résultats suivants :
Il y a deux variations perdues dans le passage de — 2 à
— I , une dans le passage de o à i et une dans le passage de z à 2 ^ l'équation proposée a donc deux racines entre
— 2 et — I , une racine entre o et i et une autre i et 2.
Il reste à séparer les deux racines comprises entre — i
et — 2, Or, d'après le tableau précédent, on voit que la
première des fonctions V est positive pour x = — 2,
ainsi que pour x= — 1 , et l'on trouve qu'elle est néga-
tive pour o: = \ donc les deux racines négatiyes sont
comprises, Tune entre — i et — 1,5, l'autre entre — 1,5 et — 2.
Exemple IL — Prenons pour deuxième exemple l'équation
SECTIOM I. — CHAPITRE VI, 3oi
on trouve, dans ce cas,
V = a:® -h jc* — x^ — x^ -^ x^ — x -f- i ,
V,=:6x»-f- Sx^ — i\Jt^— Sx'-h 2X— I,
Vî=: 17a:* -f- i^x^ — 27 X' H- Z^X — 35, ¥3!=: — 792X^ 4- 2o52.r2 — 2o58x 4- 127,
On reconnaît, par la mélbode du n° 114, que réquation proposée ne peut avoir de racines réelles en dehors des limites — 0,6 et 4- i. Or l'équation V^= o a ses deux racines réelles, mais l'une d'elles est comprise entre — 1 et— 0,6, l'autre entre 4- i et 4-25 donc il est inutile, pour notre objet, de calculer V» et V^c La suite des signes des fonctions
v j V| , Vo, V3, V4 ,
est, pour a? = — 0,6 ,
et, pour a: = 4- 1 , cette suite devient
il y a, dans les deux cas, deux variations; donc l'équation proposée n'a point de racines réelles.
Méthode de Fourier pour la séparation des racines.
143. La méthode de Sturm ne laisse rien à désirer sous le rapport de la perfection théorique 5 malheureusement le calcul des fonctions dont cette méthode exige l'emploi peut devenir très-pénible, même dans des cas fort simples; ainsi, dans le second des exemples que nous venons de présenter, le nombre constant Vg qui terminerait la suite complète des fonctions n'a pas moins de quarantequatre chiffres. Aussi est-il plus avantageux, dans un
3oa COURS d'algèbre supérieure.
grand nombre de cas, de se borner à remploi du théorème de Budan. Ainsi que nous l'avons dit déjà, Fourier avait trouvé de son côté ce théorème, et il a montré dans son Analyse des équations comment on peut en tirer parti pour effectuer la séparation des racines réelles d'ane équation, et obtenir en même temps le nombre exact de ces racines. Nous allons indiquer ici cette méthode de Fourier ^ mais, afin d'apporter plus de clarté dans notre exposition, nous commencerons par établir une proposition dont nous aurons à faire usage.
Lemme. — Soient f {x) une fonction entière de la variablç x, etf [x), f" (x) les deux premières dérivées 'de f{x). Si Von fait croître x entre deux limites Xt et X gui ne comprennent aucune racine de V équation
y*' ( x) = o, la fonction cp [x) = a: — TvVi croîtra tant
que f(x) et f" (x) seront de même signe ^ et elle décroîtra tant que f[x) et f^{x) seront de signes contraires.
On a effectivement
^{x-i- u) = x-hu — ^ ' -^ ^ '
d'où
e et r) désignant des quantités qui s'évanouissent avec u; il résulte de là que si h désigne une quantité positive dont le module soit suffisamment petit, la quantité
y (jr -h «) — ff{x) u
SECTION I. CHAPITRE VI. 3o3
aura le signe de — )^ — ou le signe àe f[x)f" [x)
pour toutes les valeurs de m comprises entre — A et -f- A, pourvu que/' (x) ne soit pas nulle. En conséquence, si x croit de ^0 à X et que ces limites ne comprennent aucune racine de l'équation f^(x) == o, la fonction ç (x) croîtra ou décroîtra suivant qaef[x) el f" [x) seront de même signe ou de signes contraires, ce qui est la proposition énoncée.
Corollaire I. — Si V équation f[x) = o a deux racines réelles comprises entre les limites ce et ë^ ce, mats (jumelle n'en ait pas un plus grand, nombre^ si, en outre , ï équation f" (a:) == o na aucune racine entre les mêmes limites, on aura
En eflfet, soient x^ et x'^ ^ x' les racines def(x) = o comprises entre a et 6 ; comme /'' (x) ne peut changer de signe, quand x varie entre ces limites, la fonction /'(j?) est constamment croissante ou constamment décroissante, et il en résulte que Véquation f^(x) = o ne peut avoir qu'une seule racine entre a et € 5 d'ailleurs cette racine existe d'après le théorème de RoUe, et elle est comprise entre x^ elx". D'après la proposition du n° 120,
les rapports ^/. ^ ? ^} ' sont négatifs quand x croît de
2 à x', tandis qu'ils sont positifs quand x croît de x" kè\ donc dans Pun et Tautre cas, f{x) el f" [x) sont de même signe, et, par conséquent, la fonction
est croissante. On a donc
3o4 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIECRE.
D'ailleurs on a
d'où
donc, à plus forte raison,
ou
/'(6) /'(-) ce qui est le résultat annoncé.
' Corollaire II. — Si V équation J"{x)=:o a une racine Xi entre a.etè'^ct^ et que les équations f('Tc) = o, f"(x) = o niaient aucune racine entre ces limites; si, en outre, les fonctions f[x)yf"[x) sont de même signe, pour les valeurs de x comprises entre a«ef S, V inégalité
powra ai^oir lieu, mais elle cessera nécessairement de subsister si Von augmente a ou que Von diminue ë d'une quantité convenable.
D'après notre hypothèse, la fonction ç [x) croît quand X augmente Aq a k x^ ou de Xi à S. Il s'ensuit que si Ton fait décroître j: de 6 à Xi, la fonction
croîtra depuis la valeur initiale cp(a) — ^ (S) jusqu'à -h 00 . Pareillement, si l'on fait croître a: de ah Xx^\^ fonction
croîtra aussi depuis ({>(«) — (f (6) jusqu'à -h 00 . Si donc a' et 6' désignent des valeurs comprises entre a etj:i,
SECTION I. — CHAPITRE VI. 3o5
Xi et S respectivement et suffisamment approchées de oTi, on aura
cest-û-dire
144. Cela posé, soity(x)=:o une équation donnée dud^ré 7n, et considérons la suite
formée par la fonction /*(x) et ses dérivées successives. Pour effectuer la séparation des racines, on procédera de ia même manière que par la méthode de Sturm, et Ton substituera à x^ comme nous l'avons indiqué au n^ 141 , nne suite de nombres croissants
compris entre les limites des racines.
Si, dans le pa;ssage a: = a à a: := 6, la suite des signes des fonctions (i) ne perd aucune variation, Féquation /(x) = o n'aura aucune racine réelle comprise entre a et 6. S'il y a une seule variation perdue, l'équation y* (jr) = o am*a une seule racine entre a et 6, et cette racine sera séparée.
S'il y a deux variations perdues en passant de o: = a à X = 6, il peut arriver que l'équation /(x) = o ait deux racines entre a et S ou qu'elle n'en ait aucune ; on a vu que, si le dernier cas a lieu, l'équation a nécessairement deux racines imaginaires. Nous allons indiquer comment ou peut distinguer ces deux cas l'un de l'autre, lorsque la perte de deux variations se manifeste dans la portion I. ^o.
3o6 COURS I>'A.La£B1lB SUPÉRIEURE.
de la suite (i) qui est formée par les trois premières fonctions
Comme le théorème de Budan s'applique à l'une quelconque des fonctions de la suite (i), il résulte de notre hypothèse que ré({uation f (x) = o na. aucune racine comprise entre a et ô. Si donc on a
on sera certain, diaprés le lemme du n^ 143 (corollaire I), que réquationy(j:) = o ne peut pas avoir deux racines réelles entre a. et S. Lorsque Tiné^altté précédente n'est point satisfaite, il faut substituer dansy(jr) et^ (jr)un nombre a compris entre a et 6; si /'(a) est de signe contraire k/(ot) eif(è), il y aura deux racines réelles comprises l'une entre a et a, l'autre entre a et 6 ; mais sif(a) est de même signe quey(a) et/* (6), on connaîtra, par les substitutions faites dans la suite (2), quel est celui des deux intervalles de a à a ou de a à 6 dans lequel il peut exister deux racines. On appliquera alors à ce nouvel intervalle ce qui a été dit du premier, et après quelques essais du même genre, on arrivera généralement à connaître la nature des deux racines ^ ceci suppose bien entendu que Téquation proposée n'a pas de racines égaies.
• 145. Considérous maintenant le cas général, et désignons par A„ le nombre des variations perdues par la suite
dans le passage de a: = a a x = S* Ce nombre A„ est ce que Fourier nomme V indice relatif a J"(x)^ Findiee relatif hf(x) sera donc représenté par A^, et celui qui
SECTIOH X. — CHÀP1TR|S VI. So^
se rapporte à la dernière fonction f'^{^) sera zéro, en sorte que la série
(3) Ao, A„ Aj,..., A;„„ O,
comprendra les indices des m*+-i fonctions (i); il est évident que, dans cette suite, deux termes consécutifs sont égaux entre eux ou ne diffèrent que d'une unité; ainsi Ton a
A,-=: ài^i — I , ou = A,--,.! ou A|-4., -h I .
Nous avons examiné plus haut le cas de ùk^ = o et celai de A» = 1*, dans le premier cas Téquation f(x) = o n'a aucune racine entre a et S ; dans le second cas, Téqua* tion a une seule racine entre les mêmes limites. Il importe de remarquer que si Ton a A^ = i, on peut, en diminuant Tin terv aile de a à S, faire en sorte que Aj = o ; I en eSetjf{x) = o n'a qu une seule racine x' entre a et ë^ et, par suite, elle ne peut avoir, avec sa dérivée, aucune racine commune comprise entre a et 6; donc, en rem* plaçant les limites a et ë par deux autres suffisamment rapprochées, on pourra toujours faire en sorte que Téquation /* (x) = o n'ait aucune racine dans le nouvel intervalle; alors la suite (i) ne perdant qu^une seule variation, on aura Ai = o.
Supposons actuellement que A«=: a ou Ao[> 2. Par* courons la suite (3) en partant de la gauche, jusqu'à ce que nous trouvions un indice égal à i : soit A„ ce premier indice égal à l'unité; la méthode que nous allons développer a pour objet de reculer successivement l'indice un vers la gauche de la suite (3), ou, ce qui revient an même, de diminuer le nombre n qui marque le rang de l'indice. L'indice A^.i qui précède A» ne peut être ^al à I, par hypothèse, donc il est o ou 2; mais si l'on avait û,.., =: o, comme Ao est au moins égal à 2, en remontant
3o8 COURS d'algèbre supérieure.
la suite (3) à partir de û„|, on rencontrerait nécessairement un indice égal à i, ce qui est contraire à Thypothèse; ainsi Ton a A„| =2, en sorte que le premier indice A„ égaKà 1 est nécessairement précédé d'un indice égal à a. Or, si ce même indice n'est pas suivi d'un indice A,^i égal k zéro, on pourra toujours, comme on Ta vu plus haut, trouver deux limites a\ 6' comprises entre a et 6 et qui ne comprennent aucune racine de réqualiony""*'*(ji:) = o; l'intervalle de a à 6 sera alors partagé en trois autres, savoir : celui de a à a\ celui de a' à 6' et celui de 6' à 6. L'équation /""(a:) = o n'a aucune racine dans le premier et dans le troisième intervalle; donc, pour chacun de ceux-ci, Tindice A„ est zéro, et, en conséquence, le premier indice égal à i est reculé vers la gauche de la suite (3). A Tégard de l'intervalle dont a' et è^ sont les limites, il peut arriver que A„ ne soit plus le premier indice égal à i ; dans ce cas, ce premier indice se trouvera reculé vers la gauche. Mais il peut arriver aussi que A„ demeure le premier indice égal à i^ et alors on a simultanément
Tant que ce dernier cas ne se présentera pas, on pourra reculer le premier indice 1 vers la gauche de la suite (3), jusqu'à ce que <;et indice y occupe le premier rang, et on se trouvera dès lors dans le cas de Aq == i qui est celui d'une seule racine comprise dans l'intervalle dont on s'occupe.
Ainsi nous n'avons plus à considérer que le cas où le premier indice A„ égal à i est précédé d'un indice égal à 3, et suivi d'un indice égal à o. L'équation y """'(x) =0 peut alors avoir deux racines réelles entre a et ê, mais elle peut aussi n'en avoir aucune; on distinguera ces deux cas l'un de l'autre, au moyen de la règle exposée au
SECTION I. CHAPITRE VI. Sog
n° 144. En même temps celte règle donnera le moyen de séparer les racines, si elles sont réelles et inégales; l'une d'elles sera comprise entre a et un certain nombre a^ la seconde entre a et S; à chacun de ces nouveaux intervalles répondra une série d^indices dans laquelle le premier terme égal à i se trouvera reculé vers la gauche au delà de A„. Si l'équation/*""* (x) = o n'a aucune racine réelle entre a et S, on reconnaît, en se reportant à la démonstration du théorème de Budan, que chacune des équations
a deux racines imaginaires. En effet, il résulte de nos hypothèses que l'équation/*" (a:) = o a une racine entre a et 6, laquelle, substituée dans /*"""* {x) et dans^'""*"' (x), donne des résultats de même signe; donc la suite des trois fonctions
perd deux variations dans le passage dex=a à x = ë. En conséquence, cette circonstance introduit dans les indices
une partie égale à 2 que Ton peut supprimer, car chaque indice n'exprime autre chose, dans cette théorie, qu'une limite supérieure du nombre de racines réelles que peut avoir l'équation correspondante, dans l'intervalle considéré. Alors on aura, aprè» cette suppression de deux unités,
en sorte que le premier indice égal à i se trouvera reculé vers la gauche.
Il peut arriver que l'équation 7^"~*(.t') = o ait deux latines égales comprises entre a et f : il est facile de
3io COURS d'algèbre supérieure.
voir que la conclusion est la même que dans le cas de deux racines imaginaires^ à moins que réqiiation proposée n'ait des racines égales. Si la racine double dont nous nous occupons appartient à chacune des équations (4)9 la proposée aura n +1 racines égales à cette racine.
146. Exemple I, — Je choisirai pour premier exemple Téquation
déjà considérée au n® 142. On a
/(jc) =:.jp*-|- j:* — X* — .r*-f- Jr' — or -h r, I ^
rr:l5x'-+- 5x — I,
Les racines réelles de réqualiony(a?) =0 sont comprises entre — i et -|- i -, substituons les nombres
dans la suite
SEGTIOV I. — CHAPITRE Tï.
(m obtiendra les résultats suivants :
3it
rw
r^ KA
Il y a deux variations perdues de — i à 5 deux autres
de 0 à - > deux enfin de - à i .
On reconnaît immédiatement qu'il n^y a point de racines réelles entre - et i , parce que l'on a
<^e qui donne
Pour Tintervalle de o à -9 la série des indices est
le premier indice i étant suivi d'un autre indice égal à i,
3ia
il nous faut resserrer nos limites. La substitution dey
donne les résultats
d'où il suit qu'il n'y a aucune variation perdue de o à ^;
il suffit de considérer l'intervalle de 7 à ~; la série des in-
dices qui répondent à cet intervalle est
comme on a
d'où
/•|iUi. /-(!)=..,
on conclut que Téquatiou f"{x) = o n'a pas de racine
entre -? et -; donc la proposée elle-même n'en a pas dans
cet intervalle (n° 145).
Enfin, la série des indices pour l'intervalle de — 1
à est encore
on a
SECTIOB I. CHAPITRE VI. 3l3
d'où
ce qui montre que l'équation f"(x) = o n'a pas de racine entre et — i ^ la proposée elle-même n'en a donc
aucune dans cet intervalle.
Ainsi les six racines de notre équation sont imaginaires, comme nous l'avons déjà reconnu à l'aide du théorème de Sturm.
Exemple II. — Je considérerai encore l'équation
X* — i2ar*-f-6oa:*-l- i23j:'-f- 4567 a: — 89012 = 0,
traitée par Fourier. On a ici
f'ix)
— i — =r 6a:' — 6ox*-4- 2400:^ -h 246;»: H- 4567,
' z=zi^x^ — i2oar^-h SÔOx^H- 123,
rrz 20a:' — I20J?'H- 2^0X,
= oj: — 12,
Soit 6 une quantité positive aussi petite que Ton voudra. En substituant les nombres
... — 10, — I, — é, -fe? ^-'> H- 10,....
3i4 COURS d'algèbre supérievrc.
on obtient les résultats suivants :
rw
— lO
