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Comme il j a six variations perdues dans le passage de — lo à 4- lo, les racines réelles sont toutes comprises entre ces limites.

De — loà — i,îlya une variation perdue 5 il y a donc, entre ces limites, une racine unique qui est ainsi séparée.

De — € à4-eil ya deux variations perdues, ce qui indique deux racines imaginaires. Enfin, de 4- i à 4-10 il y a trois variations perdues, donc il y a entre ces limite» une ou trois racines réelles.

La série des indices relatifs à l'intervalle de i à 10 est

on a ICI

ce résultat montre que Tintervalle de i à 10 est trop considérable pour qu'on puisse reconnaître la nature des racines par une seule opération. Mais avant de diminuer cet intervalle, il convient d'examiner si Téquation /'*^(j:) = o n'aurait pas deux racines égales comprises entre i et 10. On reconnaît effectivement que x — 2 est un diviseur Ae f^^[x) et Aef''[x)'^ d'ailleurs ce binôme

SECTION I. CHAPITRE VF. 3l5

ne divise pas toutes les fonctions y"' (x),. . .,/ (x) qui précèdenty*"'(x) 5 donc on pourra retrancher a des cinq premiers indices. On obtiendra ainsi la nouvelle série

I , Oy o, o, o, I9 o

qui montre que la séparation des racines est terminée. Ainsi Téquation proposée n'a que deux racines réelles, l'une entre — i et — 10, l'autre entre -h i et -f- 10.

Séparation des racines imaginaires.

147. Si f(z) désigne une fonction entière de la variable imaginaire ^ = a: -H r^, dans laquelle les coefficients soient des quantités données réelles ou imaginaires, on pourra efiectuer la séparation des racines de Téqualiony(^)=o, en faisant usage de la proposition que nous avons établie au n^ 137.

I Effectivement, si l'on trace deux axes de coordonnées

rectangulaires ox et oy, puis qu'on mène à l'un des axes, celui des y par exemple, des parallèles qui répondent aux abscisses

on pourra déterminer, par le théorème du n** 137, le nombre des racines comprises entre deux parallèles consécutives. S'il n'y a qu une seule racine dans l'un des espaces ainsi déterminés, cette racine sera séparée^ conformément à la définition du n*^ 111*, s'il y a plusieurs racines comprises entre deux parallèles consécutives, on pourra achever la séparation par le moyen de parallèles intermédiaires, à moins que plusieurs racines n'aient la même partie réelle.

On connaîtra ainsi deux limites aussi rapprochées Tune de l'autre que l'on voudra, entre lesquelles sera comprise la partie réelle x de chaque racine. Si l'on veut

3i6 COURS d'algèbre supérieure.

avoir en même temps des limites de la valeur correspondante ou des valeurs correspondantes de y^ on y parviendra en menant des parallèles à Taxe des or; celles-ci, avec les deux parallèles à Taxe des j^ qui comprennent les points racines que Ton considère, détermineront divers rectangles, et le théorème du n° 136 fera connaître quels sont ceux de ces rectangles qui renferment les racines dont on s'occupe.

SECTION I. — CHAPITRE VII. ilj