Lorsque les coefficients d'une équation sont ra

3l8 COUKS D* ALGÈBRE SUPÉRIEUnE.

tîonoels, on peut chasser les dénominateurs qu'ils peuvent contenir; ces coefficients deviennent alors des nombres entiers. Cela posé, la recherche de toutes les racines cornmensurables se ramène à celle des racines entières, au moyen de la proposition suivante :

Théorème. — Lorsque le premier terme d'une équation a pour coefficient V unité et que les autres coefficients sont des nombres entiers, V équation ne peut avoir pour racines commensurables que des nombres entiers.

En effet, soit Téquation

dans laquelle les coefficients Aj, . . . , A^ sont des entiers. Substituons à x une fraction irréductible quelconque ti

on aura

==: -r -*- A,«"-' -h Ai^tf^-'-h . . . -I- A«A"-';

or, pour que r fût racine de réquatîony(x) = o, il faudrait que Ton eût

"J^ — A I Cl - . . . A/n U f

ce qui est impossible, puisque le second membre est un nombre entier, tandis que le premier membre est une fraction irréductible ; donc Téquation proposée ne peut avoir une racine fractionnaire.

D'après cette proposition, pour avoir toutes les racines rationnelles d'une équation à coefficients entiers, il suffira de transformer Téqualion proposée en une autre (u° 58) dans laquelle le coefficient du premier terme soit l'unité.

SECTfOlf I. CHAPITRE VII. 3 19

les autres coefBcients étant entiers, et de déterminer les racines entières de la transformée.

Soit

A, Jt^ 4- A, af^' -4- . . . H- Ao»«, * -h Aa, = o

Téquation propQsée; on posera x = - (n° 58), et la transformée sera

Al a Aaa^* , k^ctT" Z" 4- -^ z"*-» H — tT":^ -I- ... h ^!— = o,

le nombre entier a. devant être choisi de manière que les expressions

Al a Aja' A«,a'"

Aq -Ao -^0

se réduisent à des nombres entiers* Il est évident qu'on satisfera à cette condition en prenant ct = Ao, mais on remplira souvent l'objet demandé en donnant à a une valeur inférieure à A^. Quand les racines entières de la transformée en z auront été obtenues, eu les divisant par (X, on aura les racines commensurables de la proposée.

150. Il nous reste à indiquer comment on déterminera les racines entières d'une équation

(1) f(x) z=z A^xT" -h A.o:^-' -h . . . + kn^iX -{- k^—o,

dans laquelle les coefflcients A^, Ai,..., A,„ sont des nombres entiers sans diviseur commun.

Dire que a est une racine de cette équation, c'est dire que le premier membre f(x) est exactement divisible par j: — a; représentons le quotient de la division par

?(a?) = — h,af^' — Br-î^^»— ... — B;^,x — B«,,

ou aura

et si a est un nombre entier, il est évident que les coeffi« cients du polynôme cp (x) seront aussi des nombres entiers, En effectuant le produit indiqué dans le second membre de la iprécédente égalité, et en écrivant que les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres sont égaux entre eux, on trouve :

Ain—i -4- -Dm-.!

= flB«3— B

d'où

= aBo — B|,

■=^ — Bo,

-hBo

Ao-f-B

et réciproquement, si les relations précédentes sont satisfaites, la formule (2) aura lieu identiquement. Donc, pour que le nombre entier a soit une racine de l'équation proposée, il faut et il suffît que les valeurs précédentes de B«i, B^.j,..., B^, soient des nombres entiers, et que le dernier de ces nombres soit égal à — Aq. Ainsi les conditions auxquelles on reconnaîtra qu'un nombre entier positif ou négatif est racine d'une équation sont les suivantes :

Il faut et il suffit qu'il divise exactement le dernier terme de V équation; qu*il divise la somme obtenue en ajoutant le quotient de cette diwion at^ec le coefficient de la première puissance de V inconnue , quil dii^ise la somme obtenue en ajoutant le quotient de cette deuxième division as^ec le coefficient de la deuxième puissance de Vinconnue; et ainsi de suite, jusquà ce quon arrivée à ajouter un dernier quotient a\^ec le coefficient du pre-

SECTION I. CHAPITRE V.ll. 3 ai

mer terme de V équation ^ ce qui désira donner une somme égale à zéro*

On peut disposer de la manière suivante l'opération qu'on exécute pour essayer un nombre a :

-Bo

Ani—i Bm 2

— Bfl,i

Les coeiBcients de Téquation ayant été écrits sur une première ligne horizontale, on divise le dernier«coefficient A„ par a et on écrit au-dessous de ce coefficient le quotient obtenu — B«i changé de signe. On divise ensuite par a le coefficient A«i augmenté du premier quotient B«i et Ton écrit au-dessous de A^^i le deuxième quotient obtenu — B„^8 changé de signe. On continue de la même manière jusqu à ce que Ton ait écrit au-dessous du coefficient Ai Je quotient changé de signe — Bq obtenu en divisaQt par âla somme Ai + Bi. Si Tune des divisions ne se fait pas exactement, ou si la somme Ao 4- Bo n'est pas nulle, le nombre essayé a n'est pas racine. Dans le cas contraire, le calcul qu'on vient d'exécuter fournit les coefficients du

quotient ; et, pour trouver les autres racines. en-

tières, il suffit d'appliquer la même règle à ce quotient, et ainsi de suite.

Les nombres qu'il faut ainsi essayer sont les diviseurs du dernier terme de l'équation pris avec les signes H- et — ; toutefois on devra rejeter ceux des nombres ainsi obtenus qui tomberaient en dehors des limites des racines et ceux qu'on peut avoir reconnus comme n'étant pas des racines. Par exemple, si a est une racine entière, l'identité (a), savoir :

3a2 donnera

COURS d'aloèbre supéribure.

d^ailleurs les coefficients de f (x) étant entiers, cp (d: i) est un nombre entier. Donc : le nombre entier a ne peut être une racine de V équation f(x) = o si f(± i) n'est pas dii^isible par aiç.i.

Quant aux résultats y* (=i= i) de la substitution de ±i è x, ils s^obtiennent par de simples additions ou sonstractions entre les coefficients Aef[x) \ on peut donc reconnaître immédiatement si l'équation proposée admet les racines -4- i et — i .

Exemple. — Soit l'équation

f{x) ;^ X* — 34-2P' -^ 29X' ^- 2 1 2 j: — 3oo =r: o,

on a

en conséquence -t- x et — i ne sont pas racines. On reconnaît immédiatement que toutes les racines réelles sont comprises entre — 6 et -f-6; les seuls diviseurs de 3oo qu'il y ait lieu d'essayer sont donc ±2, ±3, ± 4> — ^» mais il faut rejeter H- 3 parce que/*(— i) n'est pas divisible par 4j ainsi que • — 2, d;4 et — 5, parce que ces nombres diminués de i ne sont pas des diviseurs de y*{4- 1) \ on devra donc se borner à l'essai des uombres 2, — 3, ■+• 5 et on disposera le calcul comme il suit :