îo

— 3qo 4-1 5o

L'essai du diviseur 2 ayant réussi, on doit renouveler cet essai qui réussit encore \ la troisième ligne du tableau qui

SSCTIOK I. — CHAPITRE VII. 3a3

précède renferme les coefficients du quotient z — > et

comme le dernier de ces coefficients n'est pas divisible par 2, on passe au diviseur — 3, qui est racine; enfin Tessai du diviseur 5 ne réussit pas, et il en résulte que l'équation proposée n'a que trois racines commensurables, savoir deux racines égales à + ^ et une racine égale à — 3. La dernière ligne du tableau donne les coefficients du

quotient 7 >; / rr» lequel est ainsi x* ^x — ^ a5,

et la résolution de la proposée est ramenée à celle de l'équation du deuxième degré x* -h x — aS = o.

Théorie des différences.

151 • Lorsqu'on veut effectuer la séparation des racines réelles d'une équation, ou que l'on se propose de resserrer les limites entre lesquelles se trouve comprise une racine déjà séparée, on est conduit à calculer les résultats de la substitution de divers ndmbres à l'inconnue, dans certaines fonctions entières de cette inconnue. Dès que le nombre de ces substitutions devient yn peu considérable, il est indispensable de diriger le calcul d'une manière régulière et méthodique, ce à quoi l'on parvient par le moyen de V algorithme des différences que nous allons exposer ici.

Soit

une suite limitée ou illimitée de quantités assujetties à une loi quelconque. Si Ton retranche chacune de ces quantités de celle qui ta suit immédiatement, on formera une nouvelle suite que nous représenterons par

(2) A 2^0, A//i, Atf29 • * • ) Af/„. . . .

Les quantités (a) sont dites les différences premières ou

les différences du premier ordre des quautités (i), et

Ton a, pour toutes les valeurs de Tentier fx,

Lu = a — tf .

/A /A-hl /A

Si Ton opère sur la suite (a), comme nous venons de le faire sur la suite (i), on formera une troisième suite que nous représenterons par

(3) A' "m a' «m A'«j,..., A' If.

Ces quantités (3) sont les différences premières des quantités (2) ; elles sont dîtes aussi différences deuxièmes ou différences du deuxième ordre des quantités (i), et Ton a, quel que soit fx,

Si la suite (i) renferme un nombre illimité de termes, on pourra poursuivre indéfiniment la même série d'opérations et on formera de cette manière une infinité de suites nouvelles qui comprendront les différences troisièmes ou du troisième ordre des quantités (i), celles du quatrième ordre ^ et ainsi de suite ; on aura généralement, quel que soit n,

iîk'*"*"' u =z L^u — A" a .

Mais, si la suite (i) ne renferme qu'un nombre limité m-+-i de quantités, il est évident qu'il n'y aura que w différences premières, m — i différences deuxièmes, et généralement m — n-\-i différences du «'*"•* ordre; ainsi, dans Tordre m, il n'y aura plus qu'une seule différence. On peut avoir à considérer des suites de quantités illimitées dans les deux sens, telles que

Nos définitions n'exigent, pour ce cas, aucune modification, et l'on aura toujours

pour toutes les valeurs positives, nulle ou négatives de Imdice fx.

152. Expression générale des différences d'un ordre QUELCONQUE. — Nous uous proposous de donner ici Texpression générale de A"i/o en fonctions des quantités (i). On a d'abord

(4) A««=:tt,— I/o,

puis

et, en retranchant Tégalité (4) de cette dernière, il viendra

(5) A^tto = «2 — 2 «I -4- «0 •

Comme ii^, iii, Ug peuvent être considérés comme trois termes consécutifs quelconques de la suite proposée, il est évident que Ton aura aussi

et, en relranchant Fégalité (5) de la précédente, on obtiendra

(6) A^tfo^^Ws — 3«2-f-3ai — Uq,

On aperçoit aisément, sans qu'il soit nécessaire de poursuivre ces opérations, que l'on doit avoir, quel que soit tz,

les coefficients numériques du second membre de cette expression n'étant autre chose que ceux de la puissance «'*"' d'un binôme pris alternativement avec les signes 4et — . La formule (7) étant vérifiée dans le cas de « = i ,

si l'on retranche la première de ces égalités de la seconde, et que Ton ait égard à Tidentité

fX [yL — l)...(|* — ^ -4- l) /x (tt — l).*.(f* — A" + 2)

il viendra

ce qui est précisément le résultat fourni par la for- ^ mule (7), quand on fait dans celle-ci n := fx + i .

153. Expression du terme général d'une suite eit fonction du premier terme et de ses différences. — On a 9 d'abord,

(9) «, ^Me-^AlÉo,

puis

et, en ajoutant cette égalité à Tégalité (9), il vient (10) M, = tf« -h sAiio-f- A'tt,;

SEGTIOH I. CHAPITRE VII. 3^7

on peut appliquer à la suite (3) des différences premières ' la proposition exprimée par la formule précédente, ce qui donne

Ai£,=: A^a -h 2A*tto ■*" A'a»î cette formule étant ajoutée à la formule (10), il vient (11) «5 = a, -f- 3Aa« H- 3A'««-f- A*«o.

I Ces résultats nous permettent d'écrire immédiatement la formule générale suivante :

: dans laquelle les coefficients numériques sont ceux du

I développement de la ti'^"" puissance d^un binôme. Cette

j formule est vérîGée dans le cas de n = i, et, pour en dé-

[ montrer la généralité, il suffira d'établir que si elle a lieu

I pour une valeur quelconque (a de tï, elle subsiste pour

La formule (i a) ayant lieu par hypothèse pour ti = fji, nous pouvons l'appliquer non-seulement à la suite (i), mais aussi à la suite (a) que forment les différences premières \ on a donc

«^= a. -h ^ Aie, -h ^^^"^ ^' A» le, -f- . . . 4- A^ «0, f^ 1 1.2

ajoutant ces égalités et ayant égard à la formule (8), il vient

ce qui est le résultat que donne la formule (1 2) quand on y fait fï = fji -+- 1 .

3a8 COURS d'algèbre supérieure.