DiFFÉREfIGES DES FOfTGTIOlf S ENTIÈRES. — Soît

une. fonction entière de x. Donnons à x les valeurs successives

• « • X^ — n y X^ ^ d?^ — ^ n f JC§ "T* 2n y » ■ • y JCj ~T~ fin ^ • . • y

qui forment une progression arithmétique dans laquelle la différence constante est égale i A, et désignons par

les valeurs correspondantes de u. Ces valeurs, ainsi que leurs différences du premier, du deuxième, etc., ordre, seront données par les formules

àu=/(x-\-h)'-/(x)y ^^u=/(x H- ih) — 2/(jr 4- h) -4-/(^),

OÙ il suffira de substituer successivement à x les valeurs ... (xq — A), Xo, (oToH-A),... Les quantités Au, A^u,.*seront dîtes les différences première, deuxième ^ etc., de la fonction u.

Théorème. — La différence /n'*'"* d* une fonction entière de X, du degré m, est constante.

Soit

u =/(x) = Ao «* -h Al a:"-' 4- . . . -^ A«, JT -+- A»

une fonction entière du degré m; on aura

Aa=/(x-f- A)— /(x)

SECTIOW I. — CHAPITBE VU. Slp

le second membre de cette formule est une fonction entière de X du degré m — i , dans laquelle le coefficient de jc""* est évidemment m Ao /< ; on a donc

ce qui montre que la différence Au d^une fonction entière u du degré m eslune fonction entière du degré m — i , et que le premier terme de Au s'obtient en multipliant par h la dérivée du premier terme de m. Cette proposition nous donne immédiatement les résultats suivants :

A^u^=m(m — i){m — 2)Ao A^^~* -f-. . .,

^"•a =z m[m — i). . .2. i Ao//*";

on voit que la différence m**"** ÙT'u est indépendante de x, et qu elle s'obtient en multipliant par h"^ la m**"** dérivée de u, ce qui démontre le théorème énoncé.

Il résulte de là que les différences de u des ordres supérieurs à m sont nulles.

155. Substitution de «ombres équidistamts dans une FONCTION entière. — La proposition que nous venons d'établir conduit à une conséquence très-importante qui remplit Tobjei principal que nous avions en vue, et que Ton peut énoncer comme il suit :

Si Von doit substituer à x une suite de nombres équi-' distants

dans une fonction entière u =f[x) du degré m, ilsuf" fira de calculer directement les résultats de la substitua tion de m termes consécutifs de la suite, après quoi on obtiendra les résultats de la substitution de tous les autres nombres par de simples additions.

Si l'on remplace, dans le second membre de cette formule,

n par — - — ^> on formera la fonction suivante :

Ix — Xf\ A Mo fx — xAlx — JC. \ A'tto

"•+ (-T-) T-^ (-Â-) i-Â- -'Jt:^ ^-

X — JT.X (x — JCe \ A^Wo

qui se réduit évidemment à i/„ pour a: = 0:^4- /i A, et en la retranchant de/'(j:), on obtiendra une fonction entière du degré m qui sera nulle pour les m -h i valeurs Xo , a?Q 4- A, . . . , JTo H- mA de a: : or cela ne peut avoir lieu que si la fonction dont il s'agit est identiquement nulle ; on a donc

\x — Xo)(j: — Xo — A)...(j7 — Xo — m — iA) ^^%