If
Cette formule subsiste quel que soit A ^ si Ton fait tendrai vers zéro et que l'on représente par m^ ^ la limite de -^ pour A = o , on aura
(.)/(x):^«.+ ^=fî «^'> + (^=^ «<»>+...+ iî=fî^«^ ^ '"^ ^ ' 1 « 1.2 « I.2.../II •
d'où il résulte que u^ est la valeur de la A'**^ dérivée de f{x) pour x = Xo , en sorte que l'on a
y*(a:) = hm — 74—^' p©urrt=o.
157. Limites des ràgiiïbs réelles d'une équation. — Lorsqu'on substitue des nombres équidistants dans le premier membre d'une équation /(.r) = o, en suivant la
marche indiquée au n^ 155, les résultats obtenus suffisent pour faire connaître deux limites entre lesquelles sont comprises toutes les racines réelles.
En effet, soient
•^0 > x^-\- hy, . » ^ x^-{-[m — i)h
m -f- 1 termes consécutifs quelconques de la série des valeurs substituées, et supposons h positive. Si leis quantités 1/09 Amo9* • •) ^"*2^o qui répondent à Xo sont toutes positives, la formule (i) montre que Ton 9i f[x)^o pour toutes les valeurs de x égales ou supérieures à jj 4- (/w — 1) A ; cette quantité est donc une limite supérieure des racines. Pareillement, si les quantités 2/09 ^u^^ A^Uq, . . ., A"*iiQ sont alternativement positives et négatives, on aura constamment f[x)^o^ ou constamment /(x)<^o, pour les valeurs de x égales ou inférieures à :r^; donc, dans ce cas, x^ est une limite inférieure des
j racines.
158. Substitution de nombres intermédiaires. — Quand on a calculé les résultats de la substitution des 1 termes de la progression, par différence
dans une fonction entière dex^ si Ton veut avoir les résultats de la substitution des termes d'une nouvelle progression telle que
on peut y parvenir en profitant des calculs déjà exécutés.
Supposons, par exemple, h= — et posons x = x^-i y
la formule (i) du n° 156 donnera
334 COURS D'ÀLGkBRE SUPÉRIEURE.
en faisant, pour abréger,
N(*) ~ n(n — io){n^:io)..,[n— io(^ — i)]
i.a.3.. .^.lo^
Nous emploierons la caractéristique d pour représenter les différences d*une fonction quelconque de la variable n relatives a un accroissement de n égal à i. Alors N^*^ étant une fonction entière de n du degré k^ sa différence k^'^ sera constante; on aura ainsi
Si Ton fait n = o et que Ton désigne par î*N['*^ ce que devient alors d^N^^^ la formule précédente donnera
Au moyen de cette dernière formule on peut calculer Juof (î*Moî • • M ^"*"oî et avec ces valeurs on construira le tableau relatif aux substitutions nouvelles. On obtient ainsi les résultats suivants :
^M«== 0,I A«o — 0,045 A' «e -h 0,0285 A^tto — 0,0206625 A* tf, -+■ 0,0161 1675 A* ITo — . . . ,
$^u^ =1 0,01 A'iio — 0,009 A* «0
+ 0,007 725 A* Mo — 0,0066975 A* «0 H-. . . ,
S^tlQ =: 0,Qpl A^tfo — 0,OOi35A*«o 4" 0,00l4625 A* tt« — . . . ,
S*Uo=^ 0,0001 A* «B — 0,000Ï8A^«e -4-. . . ,
^^«0 = 0,00001 A'tfo — . . . ,
qui suffisent jusqu'au cinquième degré inclasivement.
SECTION I. CHAPITRE Vil. 335
jipplication à un exemple, 159. Considérons Téquation du troisième degré
les théories exposées dans le Cbapi tre précédent indiquent que cette équation a trois racines réelles, Tune négative supérieure à — 4^ et les deux autres positives comprises entre i et 2 ; on arrive facilement aux mêmes résultats dans le cas dont il s'agit, par le moyen des substitutions. Substituons d'abord des nombres entiers \ les trois nombres
donnent les résultats
d^où Ton tire les différences premières
i et la diffëraoce deuxième
la différence troisième étant constante et égale à 6, nous formerons avec les résultats qui précèdent le tableau sui* vaut :
(*) Cette équation est Tune de celles que Lagrange a dioisies pour exemples dans la Résolution des équations numériques; elle se déduit de Véquation «*+ s* — 3s — 1 = 0 que nous avons considérée au n^ 101, au moyen
de la transformation » = •
-f-ia
-hiîà
Les valeurs de u, Au, ... , qui répondent à x = i, sont positives \ donc i -h a ou 3 est une limite supérieure des racines ; pareillement les valeurs de u^ Ai/, ... , qui répondent à j: = — 4? sont alternativement positives et négatives; donc — 4 est une limite inférieure des racines. L'inspection du tableau montre que la racine négative est comprise entre — 4 et — 3, mais elle ne fait rien connaître à regard des deux autres racines ; remarquons cependant que si nous n'avions aucun renseignement sur la nature de ces racines, les résultats précédents nous porteraient à penser qu'elles doivent être comprises, si elles sont réelles, entre i et 2, et nous serions ainsi conduits à opérer de nouvelles substitutions dans l'intervalle de ces deux limites, comme la méthode de Sturm ou celle de Fourier en démontre la nécessité.
Nous substituerons donc en deuxième lieu des nombres croissants par dixième entre 1 et 2. Les formules du n^ 158 donnent
5 tto rrr o, I A //a — 0,o45A'ao 4" 0,0285A'w., ^»£/o = 0,0 1 A^«o — 0,009 ^'//o, J^Wj zir 0,001 A^«o«
Si donc on prend Xo = i, on aura,' d'après le tableau qui précède,
doù
Silo = — 0,369, S^Uo=^ + 0,066, ^'«0 = 0,006.
Nous remettons la caractéristique A au lieu de S, et nous construisons le tableau qui suit en partant des données
XznijO, W =-1-1,000, Au=: — 0,369,
— o,ia5
— 0,104 -h o,oi3 4- 0,23a 4- 0,559 4- I , 000
+ 0,117 -f- o,ai9 4- o,3a7 4- 0,441
4- 0,066 4- 0,07a 4- 0,078 4- 0,084 4- 0,096 4- o, loa 4- 0,108 4- 0,114
Od voit que l'équation proposée a deux racines positives, Tune entre i,3 et 1,4? l'autre entre i,6 et 1,7.
Si Ton veut resserrer les limites de chaque racine, il faudra substituer des nombres croissant par centième. En prenant Xo = i,3 on a, d'après le tableau précédent,
«#=4-0,097, Aao= — 0,1 53, A' «0=" 4-0, 084, A'wo = o,oo6,
et on en conclut
338 COURS d'algèbre supiniEuns.
prenant, en second lieu, Xe = i,6, on a
«0= — 0,1 o4, Am.=:4-0,I17, a* «0=4-0,102, A*ao=::0,0o6,
ce qui donne
Au moyen de ces résultats, on peut construire les deux nouveaux tableaux qui suivent, dans lesquels on a rétabli la caractéristique A au lieu de S.
ir
A^tt
— o,oi8i23 —0,017331 —0, 016533 —0,015729 —0,014919
M. y vr»*
A'tf
