o,oi5i
—0, 003191 4-o,oi3ooo
On voit que la première racine est comprise entre i,35
SECTION I. CHAPITRE VII. SSp
et 1,36, la seconde entre 1,69 et 1^70^ il est évident qu'en poursuivant la même marche on pourrait calculer chacune de ces racines avec une approximation aussi grande que Ton voudrait.
Méthode d^ approximation de Newton,
160. Lorsqu'une racine d'une équation est séparée, on peut resserrer indéfiniment, comme on vient de le voir, les limites qui la comprennent, ce qui permet d'obtenir la racine avee l'approximation dont ou a besoin. IVfais le calcul devient de plus en plus laborieux \ aussi n'emploiet-on habituellement la voie des substitutions que pour déterminer les deux ou trois premiers chiffres, après quoi Ton a recours, pour achever le calcul, à des méthodes plus eitpéditives. Parmi ces méthodes, on doit remarquer surtout celle qui est due à Nev^ton et que nous allons exposer.
Soit Féquation du degré m
et supposons que Ton connaisse une première valeur approchée a de l'une des racines 5 si l'on désigne par a-\-u la valeur exacte de cette racine, on aura
f[a -h w) = o ou
\ f{a)^tf'{a) + —/"(a) -+-... -^ '!-—f-[a) ^. o;
d'où l'on tire
i ^^ ^^ f[a) r[a) u- f-[a) uT
Si Ton néglige les puissances de u qui figurent dans le second membre de cette formule, on aura, avec une ap-
34o COURS d'algèbre supérieure.
proximation d*aatant plus grande que u sera plus petit,
et si l'on fait
b sera une nouvelle valeur approchée de la racine. On peut appliquer le même procédé en partant de cette valeur &, et on en conclura une troisième valeur approchée
et ainsi de suite.
Telle est la méthode de Newton ; elle permet, en général, d'obtenir promptement une très-grande approximation, et il est aisé d'apprécier, dans chaque cas, le degré de rapidité avec lequel cette approximation augmente, en estimant la grandeur des termes négligés dans le passage des équations rigoureuses telles que ( i) aux égalités approchées dont on fait usage.
161. Exemple. — Soit Téquation x^ — ^0:4-7=0 déjà considérée au n° 159. Nous avons vu que Tune des racines est comprise entre i,35 et i,36; appliquons la méthode de Newton au calcul de cette racine, en partantde la valeur approchée a = 1,35 ; l'équation (i) devient ici
et l'on a
SBCTION I. CHÂPITEE VII. 34 1
comme u est <^o,oi, il est facile de voir que, dans la précédente expression de u, la somme des fermes en u* et en u' est positive et inférieure à o,ooo3 *, si donc on pose
Terreur commise sera moindre que cette liixiite. Nous prendrons pour deuxième valeur approchée
et Ton aura
on voit, à la simple inspection de ces formules, que f(x) devient négative pour 07= & + 0,0001, d'où il résulte que la racine dont nous nous occupons est comprise entre 1,3568 et 1,3569. ^^ ^'^^ désigne cette racine par & + u, on aura
la somme des deux derniers termes du second membre est positive et inférieure à o,ooooooo3, donc la formule
f(b) o,oooi4 i58643a
donnera la valeur de u à trois unités près du huitième
ordre décimal, en sorte que la racine demandée a pour
valeur
avec sept décimales exactes.
Complément de la méthode de Newton,
162. La méthode de Newton ne laisse rien à désirer sous le rapport de la simplicité, mais elle exige que Ton discute dans chaque cas le degré d'exactitude des résultats qu'elle fournit, et ainsi elle ne remplit pas la condition qu'on doit imposer à toute méthode d'approximation, savoir, de donner simultanément une limite inférieure et une limite supérieure de la quantité qu'on veut évaluer. Mais il est facile, comme on va le voir, de combler cette lacune sans altérer l'essence de la méthode.
Soient « et 6 ^ a deux nombres qui comprennent une seule racine x^ de l'équation
Comme nous supposons que cette équation n'a pas de racines égales, on peut admettre que les équations y'(jc)c=o, /" ( or) = o n'ont aucune racine comprise entre a et S; s'il en était autrement^ il faudrait resserrer les limites qui comprennent la racine a:^. Lorsqu'on applique la méthode de Fourier à la détermination de ces limites, on est assuré que notre condition se trouve remplie, quand la suite des indices que l'on forme, conformément à cette méthode, commence par les nombres i,o, o.
D'après notre hypothèse, f(x) change une fois de signe quand x croît de a à S, mais f {x) et f"{x) conservent le même signe. Considérons la fonction
dont nous nous sommes déjà occupé au n° 143 et qui est croissante ou décroissante suivant que f{x) et f"(^] sont de même signe ou de signes contraires.
Sif{x) et f"[x) sont de même signe pour oîrrsa, la fonction (p(x) sera croissante de a: = a à x^=ix^ et elle sera décroissante de a: = j:^ à a: = 6 ^ le maximum de cp(j?) est donc <f{Xç^) ou x^^ et Ton a
•«^•>?(a) et a:a>«p(6), OU
Si, au contraire, f{x) et f"{x) sont de signes contraires pour j; = a, la fonction cp(a:) décroîtra de a: = a à X = x<j et elle croîtra de a: = ar^^ à a: = 6, en sorte que f (Xq) ou x^ sera alors un minimum; on aura donc
II résulte de là qu^en appliquant la méthode de Newton à Tune ou à l'autre <}cs deux limites a et 6, on obtient dans tous les cas des résultats qui sont tous deux en deçà ou au delà de la racine et qui, en conséquence, ne peu* vent fournir qu'une limite unique.
Pour avoir une seconde limite, je considérerai la fonction
(3) ^[x)z=zf^{x)-'^[x-x,)\
où M désigne une constante de même signe que le rapport
-^,, r et dont la valeur absolue soit au moins ésûe à la
moitiéde la plus grande des valeurs absolues que prend le même rapport, quand x croit de a à 6; d'après cela on pourra écrire
d étant une fonction de x dont la valeur reste comprise
344 COURS D'ALGÈBaE SUPÉRIEURE.
entre o et i, pour les valeurs de x comprises entre a et S j je poserai en outre
Nous avons vu (n° 143) que Ton a
c étant une quantité qui s'annule avec h] il en résulte que si Ton fait, pour abréger récriture,
la formule (3) donnera
m désignant une quantité qui s'évanouit avec h.
En vertu des formules (4) et (5), la valeur de tj/(a:) peut s'écrire comme il suit :
(6) f (x) = — 2M(i — Ae)(x — X,);
et il est évident que la fonction ^(x) est croissante ou décroissante entre les limites x = a, x = 6 , suivant que ^'{x) est positive ou négative.
Cela posé, si f(x) et f"{x) sont de même signe pour a: = a , on a, comme on Ta vu plus haut, (p [x) <^ x^^ pour les valeurs de x comprises entre a el x^\ cette inégalité équivaut à A<^i; d'ailleurs, dans le cas que nous examinons, M est négatif, car f(x) et f'[x) sont de signes contraires pour a: = a ^ donc l'expression (6) de (|/'(x) est négative, ei^[x) décroît quand x croit de a à Xo, on a, par suite, ^{x^)<lif[cL) on
Métant<^o, si Ton remplace oTo par 6 dans le second membre de cette inégalité, on aura à plus forte raison
Si/(j:) eif^'(x) sont de signes contraires pourx=a, ces fonctions seront de même signe pour x = S ; dans ce cas, on a, pour les valeurs de x comprises entre x^ct ê, (f(x) > oTo 9 ce qui équivaut à A < i . Mais ici, M est po- . siiif; par conséquent ^'(x) est négative et ^{x) est une fonction décroissante. On a donc ^(ji^o) ^^(^) ^^
en remplaçant Xo par a dans ^(6), on aura, à plus forte raison,
Xq
Ce qui précède conduit à la règle suivante :
Soient et et è^ a deux nombres qui comprennent une • seule racine x^ de V équation y( j;) «= o et qui ne comprennent aucune racine des équations y(j:)=:o, /"(r) = o; 2 M un nombre qui ait le signe du rapport
-jrhi ^^ dont le module soit égal ou supérieur au plus
grand des modules que prend le même rapport quand x varie entre a et S, Si Von désigne par a celle des deux limites ca^ ê pour laquelle les fonctions f[x)^ f"{^) sont de même signe, et par b celle pour laquelle les mêmes fonctions sont de signes contraires^ on aura ces nouvelles limites de la racine x^ ,
- = -7Fi- ».=»-^-M,--.)..
dont la première est précisément celle de Newton, Si la
346 COURS d'algèbre supérietire.
fonction f"{x) "varie dans le même sens^ entre les limites a et bj auquel cas f'"{x) conserve le même signe, on pourra former le nombre M en dii^isant celle des
deux quantités -f^^(a)j ''f"(b) quia la plus grande va-
leur absolue j par celle des deux f [a) y f'(b) qui a la plus petite valeur absolue.
Le nombre M étant calculé comme nous venons de Tindiquer, il est nécessaire, pour notre objet, que la valeur absolue du produit M (a — b) soit inférieure à Tunité; si le contraire avait lieu, il serait indispensable de resserrer les limites de la racine, avant d'appliquer la méthode. Supposons que la valeur absolue de M soit comprise
entre — r-- et — v ? k étant un entier positif, nul ou néga-
lO*^' lO* r ? o
tif, et que — ^ soit la différence des limites primitives a
et 6 ou a et &. Au moyen de ces limites a et 6 on calculera, comme on vient de le dire, les nouvelles limites a^ bi , puis de celles-ci on en conclura deux autres a^, ^t? et ainsi de suite-, si Ton pose généralement
a — b = zt e ,
en sorte que e représente la valeur absolue de la différence des limites rt , i , on aura
lO
,qV«-*-*' ' ^ 10^"+^
formules qui mettent en évidence la loi des approximations successives.
