v-f-4)(v-f-l), Aj — — .. ■> ■' Al

{vH-2).2

Aji — r V Ajj__| .

En n^ultîpliarit ces égalités membre à membre, il vient

ce qui permet d^écrire immédiatement la valeur delà fonction symétrique cherchée F(jia, v) .

II faut remarquer que notre procédé est en défaut dans le ca^ de V =: o, mais la formule qui fait connaître }„ ne cesse pas toutefois d'être exacte. Dans le cas dont il s'agit,

les valeurs de 6^ et de A^ deviennent

(2/Z — 1) (2/1 -- 2). . .,(271 -^ p), tt — I, A — -— ,

on voit que A„ n^est pas nul, comme dans le cas général, et qu'il est ici égal à A„i . L'équation entre î»? ^^-iv*«» ^1 peut alors s'écrire ainsi ;

en remplaçant successivement n par i, 2, . • , , w, on obpent n équatiops, d'où Ton \îre

>, -f-2=:::0, >,-+->, rrr O^ X3 -h ^2 = O , . . , X„4-Xb-i^0,

et, par suite,

SECTÎOJS II. — chapitre: I. 391

on a donc celle valeur de F(fx, o) ,

Méthode de Cauchy.

177. Cauchy a publié, dans ses anciens Exercices de Mathématiques (4^ année, p. io3)« une méthode nouvelle et fort élégante pour obtenir la valeur d'une fonction symétrique et entière des racines d^une équation. Cette méthode consiste à éliminer successivement de l'expression de la fonction symétrique qu'on veut évaluer chacune des racines de l'équation proposée; elle repose sur la proposition suivante :

Soit V une fonction symétrique et entière des racines a^h^ Cy , , , ^ i^kyl d'une équation

que nous représenterons aussi, pour abréger, par

et supposons qu'ayant éliminé de l'expression de V, par un moyen quelconque, toutes les racines excepté a, on ait mis la valeur de cette fonction sous la forme d'un polynôme entier et rationnel ordonné par rapport aux puissances de a, que l'on ait, par exemple,

Ao, Al , etc., étant des quantités composées rationnellement avec les coefficients de l'équation proposée; je dis 4ue si l'on divise cette expression de V par le polynôme

39^ coulis D*ALGÈBBE SUPÉRIEURE.

obtenu eu remplaçant x par a dans X, le reMe de la division ne contiendra pas a, et sera préeiséntent la valeur delà fonction V.

En effet, si Qet R désignent le quotient e4 le reste de la division V par A, on aura V = AQ H- R, et comme A

est nul ,

D'ailleurs, ce reste R est au plus du degré m — i en a\ nous le représenterons par

q^ar^' -f- qx fl"""* -f- . . . -h Çm-,fl -f- ^«-.,, et Ton aura

Mais V étant une fonction symétrique, on peut changer les lettres a et 6 Tune en l'autre, ainsi que a et e, etc.-, et comme, par ces changements, ^o? ^ij^tç., conservent leurs valeurs, il s'ensuit que Téquation

sera satisfaite en remplaçant x par Tune quelconque des m racines /z, 6, . . . , it, /-, ce qui e^t impossible, à moins que les coefficients ne soient tous nuls, car celle équation n'est que du degré m — 15 on aura donc, en particulier,

comme nous Tarions annoncé.

La dém^onstration précédente suppose que les m racines éi, J, c, . . . , A, / sont inégales^ mais les conclusions précédentes ne subsistent pas moins, si quelques-unes de ces racines sont égales entre çlles. Noiis emploierons, poiir

SECTION TI. — CHAPITRE I. igi

justifier cette assertion, un raisonnement dont on fait un fréquent usage en analyse.

Si réquation X = o a des racines égales, on considérera d'abord à sa place une équation Xi = o, dont toutes les racines seront inégales, et qu'on obtiendra en faisant subir des modifications insensibles aux coefficients de X; par exemple, si Téquation X = o a trois racines égales à a, et que les autres racines soient différentes, on prendra

Le polynôme Xf ne diffère de X qu'en ce que deux des trois racines égales à a sont remplacées par a + & et a-{'h^: on voit aisément, sans qu'il soit nécessaire d'insister davantage, comment on devrait cboisir le polynôme Xi , si, outre les trois racines égales à a, Téquation proposée avait plusieurs racines égales à £, à c, etc. Cela posé, substituant l'équation Xi = o à X = o, et conservant d'ailleurs les notations précédentes, on arrivera à Téquatiou

et cette équation aura lieu, quelque petites que soient les quantités /i, //, etc.; elle aura donc lieu aussi à la limite, quand on fera /i=z o, A'= o, etc.

178. Voici maintenant la métbode donnée par Caucby, pour calculer la valeur d'une fonction symétrique et entière V des racines a, i, c, . • • » i, it, / de l'équation

X = j::* -1- /?, x"-' -f- Pi a:"-' -f- . . • -f- /?«! = o .

Divisons X par x — u^ et désignons par Xi le quotienl ; divisons de même Xi par x — &, et désignons par Xs le quotient, puis X^ par x — c, et soit Xg le quotient, et pODtinuons ainsi d'enlever de X tous les facteurs linéaires

jusqu^à X — Al inclttsivement, en sorte que X^^i n6 contiendra plus que le seul facteur x — /. Cela posé, considérons les m équations

X=:0, X| = 0, Xs=09...9 Xa,i = O .

La première n est autre que la proposée, et elle a pour racines a, b^ Cj,.., Ar, /; la seconde a pour racines &, c, . . . , A, /, et ses coefficients sont exprimés sous forme entière en fonction de a et des coefficients de la proposée ; la troisième a pour racines e , . . . , A, /, et ses coefficients sont exprimés sous forme entière en fonction de b et des coefficients de la précédente, c'est-à-dire en fonction de â, h et des coefficients de la proposée ] et, en général, les coefficients de Tune quelconque de ces équations sont ext»rimes sous forme entière en fonction des coefficients de la proposée et des racines qui n'appartiennent pas â l'équation que l'on considère. Désignons enfin par A la yalear de X pour x = a, par B la valeur de Xi pour a: = i, par C celle de X^ pour x=rc, et ainsi de suite, en sorte que I sera la valeur de X«8 pour a: = t, K celle de X^-i pour x = A^, et L celle de X;„i pour x = /; on aura

A=:o, B=ro, C=:o,..., I = o, K = o, L = o.

Cela posé, V est une fonction symétrique, non-seulemcnl ! des racines de l'équation X = o, mais aussi des racines de l'une quelconque des équations

X = o , X| — o , . . . , Xài--3 — o y Xffli 2 — o , Xfli.| — 0.

Nous allons faire voir comment, en s'appuyant sur cette remarque, on peut, à l'aide du théorème fondamental démontré plus haut, éliminer successivement chaque racine de l'expression de V. ^i D'abord l'équation L = o, où /entre au premier degré,

SECTIO» II. — CHAPITHB I^ 3j;5

permet de chasser immédiatement / de lexpression de V. G^asidéraut alors Y comule fonction syinélrique des deux racines Ar et / de l'équation X,„.j = o, dont l'une / est déjà éliminée, on Tordonnera par rapport à h^ et on la divisera par R, coufotmément à ce qui a été dit plus haut; le reste de la division ne contiendra pas h et sc^a la valeur dé \ débarrassée des racines h et /. On considérera alors V comme fonction symétrique des trois racines i, A, / de l'équation X„.8 = o, dont les deux dernières n'entrent pltis dans son expression, et l*ayaiit ordonnée par rap> port à i, on la divisera par I .à Teffet d'éliminer i*^ le reste de la division ne contiendra pas i et sera la valeur de V débarrassée des trois racines i, A, /. On continuera de la même manière^ jusqu'à ce qu'on ait éliminé de Y chacune des racines a, &, c,..., f, k^ l\ on aura alors la valeur de cette fonction exprimée par les coefficients de l'équation proposée.

Il importe de remarquer que Texpressioti définitive de Y s'obtient par de simples divisions^ et que les premiers terme$ des polynômes A, B, C,..., î, K, L, qui servent successivement de diviseurs, ont tous l'unité pour coefficient : par conséquent, ces divIsÎQns n'introduiront aucun dénominateur; en sorte que si l'expression primitive de Y est entière, non-seulement par rapport aux racines a, &, c,..., /, A, /, qui y entrent syniétriquement, mais encore par rapport aux coefficients p^^ p^, etc., qui peuvent eux-mêmes y figurer, l'expression définitive de Y sera aussi entière par rapport à ces coefficients ; enfin, si ces menées coefficients sont des nombres entiers, Y sera pareillement un nombre entier. Ce résultat important, que nous n'avions pas établi complètement par notre première méthode, mais qui résiilte immédiatement de la méthode de Waring, se déduit aussi, comme oh voit, de U méthode de Gauchy.

396 couas d'algèbre supérieure.

Application de la méthode de Cauciry à un exemple.

179. Nous allons appliquer la méthode de Cauchy à la détermination du produit des carrés de toutes les différences des racines d^une équation donnée, prises deux à deux. Cet exemple suffira pour montrer comment on peut, par des artifices convenables, simplifier dans certains cas remploi de la méthode.

Soient toujours a, 6, c,..., /r, / les m racines de l'équation *

soient aussi

V = (a — hY[a — c)\ . .(X- — /)'

y, = {b — cy[h — df, . . (X — /)';

V sera le produit des carrés des différences des racines de Téquation (1), prises deux à deux, et Vf le produit des carrés des différences des racines de Téquation