fl

-f- Pm^i a

Cela posé, on a

V = V, (a — 6)' (fl — c)». . . (« — kf {a -> /)'.

Mais le produit (a — h) [a — c)...(a — A) (a — /) est égal (n*' 49) à la valeur que prend la dérivée du poly: nome X pour x = a, c'est-à-dire égal à

SECTIOK II. — CHAPITRE I.

donc on aura

V — V, [/wa**-' + (m — i)/7, û'"-» -4- ... 4- pm-t]".

D'après cela, si nous admettons qu'on sache former la valeur de la fonction V pour une équation du degré m — i , on pourra également trouver la valeur de cette fonction pour une équation du degré m. Effectivement, par hypothèse, on sait exprimer la valeur de V, par les coefficients deTéquation (2), c'est-à-dire en fonction de a et des coefficients de la proposée ; donc la fonction V pourra ellemême être mise sous la forme d^un polynôme ordonné par rapport aux puissances de a, et, en divisant ce polynôme par le premier membre de Téquation proposée, dans lequel on aura remplacé x par /z, le reste de la division donnera la valeur cherchée de V. Or on sait calculer la fonction de V pour une équation du deuxième degré ; on pourra donc calculer cette fonction pour Téquation du troisième degré, puis pour celle du quatrième, et ainsi de suite.

Cas de V équation du troisième degré, — L'équation

proposée est

x^ -\- px^ -^ qx -\- rzzzo,

et l'on a

V =(« — bY{a — cY{b — c)\

V =:V,(<i — ^)»(rt--c)»;

Vj étant relatif à l'équation du deuxième degré

-^ pa

On a immédiatement

y.^ip^oY — ^{q-^pn-^- «2) — — 3fl' — 7.pa-\r (p^ —'^q)y

3g8 COIIR8 D^ALOÈBftE SOPÉRIBUAB.

d'ailleurs

(a — b)(a — c)= 3/1^ -h iipa -!- ç, par suite.

V = ( — 3a' — 2/7fl -f-/?> — 4 <7) (3flrt 4- 2/?</ -f- ^y

— 547 I —>]^pq

à* -h 4/^*7 — iSpq'

Divisant celte valeur de V par a' + pa* 4- ça + 0 on trouve pour qi^otient

-— %'ja* — ^fjpa^ — 27^4 -h (4/>* 4- 27r — iSpq),

et pour reste^

ce qui est précisément la valeur de V que nous cherchons. On trouvera dans le Chapitre suivant une méthode plus expédilive pour résoudre la même question.

Formation de l'équation de laquelle dépend une fonc' tion rationnelle et non ^métrique des racines d*une équation donnée.

180. Soient a, &, c,..., A^, / les m racines d'ufie équation donnée X = o, et

une fonction rationnelle donnée de ces racines, ou de quelques-unes d'entre elles. La théorie des fonctions symétriques conduit à une méthode très-simple et trèsélégante pour former Téquation dont V dépend. Nous allons développer ici cette méthode.

Si la fonction V contient n des m racines, le plus grand nombre de valeurs qu*elle puisse prendre quand on échange les lettres a^ b^ Cj..,^kn l les unes dans les autres, de

SBCTION II. — CHAPITRE I. ig^

toutes les manières possibles, sera évidemment ëgai au nombre des arrangements de m lettres n à riy c^ est-à-dire

égal à

Mais il peut arriver que le nombre des valeurs distinctes de V soit beaucoup moindre^ nous désignerons par [i ce nombre de valeurs, et par

▼i> Vj, V3, • • •) V^

les fx v£(Icurs de Y- L'équaiiop en V sera alors

(V~-V.)(V-V,)...(V-V^) = o ou

eu posant

Or les quantités P,, P,,...,P sont des fonctions symétriques des quantités V|, V,. etc., et, par suite, elles sont aussi des fonctions symétriques des racines a, &, c, etc., de I équation proposée^ on pourra doMC calculer les coefficients de Téquation en V par l'une des méthodes quç nous avons exposées.

Nous avons admis comme évident que toute fonction symétrique des quantités V|, V,, etc., est aussi une fonction symétrique des racines a, i, c, etc. Voici, au surplus, un moyen très-facile de le démiontrer.

Par hypothèse, les quantités

4oo COURS d'algèbre supérieuhb.

sont toutes distinctes^ et ce sont les seules valeurs que V puisse avoir. Faisons subir aux lettres

(iy by C, . . . , k^ l

une permutation quelconque, et supposons que Vi se change en V',, V, en V',, etc, les quantités

devront toutes se trouver dans la série Vi, Vj, etc., puisque cette dernière comprend toutes les valeurs de V*, je dis, en outre, que tous les termes de la série (3) sont différents, et que, par suite, cette série coïncide avec la série (i) : on ne peut avoir, par exemple, V, = V,, car V, et V, ne diflerent de V, et Y^ qu'en ce que les quantités dont ces fonctions dépendent y sont désignées par des lettres différentes, et Tégalité \', ='^', entraînerait, en conséquence, V^ = V», ce qui est contre Thypothèse. II résulte de là que, si Ton fait subir aux lettres a, b, c^ etc., un changement quelconque, les quantités Vi, Vj, etc., ne feront que s'échanger les unes dans les autres; par suite, une fonction symétrique de ces fonctions ne sera pas changée, et elle sera aussi symétrique relativement aux quantités a, i, c^*... A', /.

On peut dans bien des cas simplifier le calcul de l'équation en V ; on en verra un exemple dans la recherche de l'équation qui a pour racines les carrés des différences des racines d'une équation donnée, prises deux à deiix.

Équation aux carres des différences»

181. Soient toujours a, i, c,..., A, / les m racines de Féquation X = o, et posons

SECTION II. — CHAPITRB I. 4^*

1* équation en V sera du degré — = jut, qui est le

nombre des combinaisons de m lettres deux à deux, puisque la fonction V est symétrique par rapport aux deux lettres qu^cUe contient. Soit

cette équation, dans laquelle les coefficients Pj, P^, etc.^ sont des fonctions symétriques des racines de l'équation proposée. Les valeurs de Pi, P^, etc., seront données par les formules de Newton, si Ion connaît les sommes des puissances semblables Si, Si,..., S des racines de

Téquation en V^ tout est donc ramené à calculer ces dernières sommes en fonction des coefficients de Téquatien proposée, ou en fonction des sommes 5i, 5t, etc., des puissances semblables de ses racines,' puisque les sommes 5i, 5s, etc , s'expriment par les coefficients, au moyen des formules de Newton.

Voici le procédé indique par Lagrange pour calculer les sommes S], St, etc., relatives à Téquation eu V, au moyen des sommes 5i, 5,, etc., qui se rapportent à l'équation proposée.

Posons

si Ton donne à j: successivement les yaleui^ a^b^c^.,,^ ^, /, et que Ton ajoute tous les résultats, on aura

f(a)-4-Hp(^)+. ,.'hif{l)={a — è)»«-h.. .-4- (« — /)'

+ (é — a)^-h...+ [h — If

Or le second membre de cette équation est évidemnruMU égala 2S„5 donc

2Sn = ff[a) -f- ç(ft) 4-. . .-f- <p(/).