I. Ji

402 COURS d'aLP^BRE SUPÉRIBUft'E.

D un autre côté, en 4év^loppant les différents termes de (f (x), on trouve

Remplaçant a? 8ucç^3siyi3p[ien( par a, &i c,..., /, et ajoutait tous ]es résuUats, on fiura U valeur suivaiue clçç(a)-:hy-(6)4-...-hç(/) ou d^ aS„,

iin('in. — i)

2S„ = /W^an — UnSy S^n^i -h : ^» ^w— a — • • • 4" fi^w

Les termes à égale distance des extrêmes sont égaux dans le second membre^ par suite, on a cette valeur de S„,

bn = mS3n — 2 « J, Ja«, H ^2 Su^^t — . . .

En donnant à n les valeurs successives i, 2, 3, . . . , |^) <)" connaîtra les sommes Si, Ss,..., S dont on a besoin; on achèvera ensuite le calcul, comme nous Tavons indique précédemment.

Cas de r équation du troisièmç degré, — Prenons pour ; exemple Téquation du troisième degré

x^ + pœ^ -h qx -h r = a,

SBCTiOtr II. -^ CflÀPITKB t. 4^i

et soit

V» -+- PV» -h QV 4- R = o,

l'équation aux carrés de$ différences* On trouve

^3= — p^-^ ^pq — 3/-,

Si^=p^ — ^p^q -♦- ^pr-^ iq^,

Si= — /?* -h 5/?^7 — 5/7'r — 5/î'«7* ■+- S^r,

St=zp* — 6/?*^ -h6/>'r-f-9/>*^' — iipqr — 2^'-f- 3r';

puis

S, = 3*, — s\zsz ip^ — 6^, S,=r3#« — 4*<*3"+* 3*5 = 'ip*^ 13 p^q 4-167% S3 = 3^8 — 6ji X» -f- i5f, ^4 — 10.^5 = 2/>* — i8/>*ç — 1 2/>* r •+- 57/?' f* 4*54/^7'' — ^66^ — 8ï r",

et enfin

P :^ — Si := — a/>» 4- 67,

QSj 4" P5f * /? * . <

= ^ =P* — op'q 4- 97%

On suivrait une marche toute semblable pour former Téquation aux sommes deux à deux des racines d^une équation donnée.

Sur la forme des fonctions rationnelles d'une ou de plusieurs racines d^une équation.

182. La méthode générale dont nous venons de nous occuper s'applique avec le même succès, que V soit ou non une fonction entière des racines a, fe, c, etc.; mais

4o4 COURS d'algèbre supérieure.

an peut facilement démontrer qu^une fonction rationnelle d'une ou de plusieurs racines d'une équation peut toujours, si elle n'est pas entière, être remplacée par une fonction entière équivalente.

Nous commencerons par établir le théorème suivant, relatif aux fonctions rationnelles d'une seule racine.

Théorème. — Toute fonction rationnelle et non e/itière (Tune racine a d'aune équation

de degré m est équivalente à une fonction entière d^un degré inférieur à m.

Soit, en effet, la fonction rationnelle vt-t 9 oùcpet^ désignent des fonctions entières; on aura identiquement

b^ Cj. » ,^ l désignant les autres racines de l'équation (i). Le dénominateur ^ («) ^ (6) • • . ^ (^) du second membre est une fonction symétrique et entière des racines deTéquation (i), et il peut en conséquence s*exprimer rationnellcmeut par les coefiîcients de cette équation. Pareillement le facteur ^ (^) ^ (^) • . • ^ (l) du numérateur est une fonction symétrique et entière des racines de Téquation

et on peut l'exprimer sous forme rationnelle et entière, en fonction des coefficients de celte équation, c'est-à-dire en fonction de a et des coefficients de Téqualion (i). D'après cela, 1 égalité (2) prendra la forme

OU 6 [a) désigne un polynôme entier et rationnel, par rapport à a. En effectuant le produit des polynômes (f et 0, uotre fraction deviendra

et je dis qu'on peut supposer le degré fjt inférieur à w. En effet, de l'équation y* (a). == o on peut tirer la valeur de a'" qui sera exprimée par un polynôme du degré m — i ; en uuiltipliant par a cette valeur de a"*, on aura a*""*"*, qui sera exprimée par un polynôme du degré 7/r, mais qu'on pourra abaisser au degré m — - 1, en remplaçant a"* par la valeur trouvée précédemment. En continuant ainsi, on exprimera chaque puissance de a, à partir de la m"'"*, par un polynôme du degré m — i , et, par suite, on pourra chas-

ser de l expression de j — - que nous avons trouvée, toutes

les puissances de a supérieures à la (m — i)'^'. Mais on peut aussT opérer comme il suit : Si (a est ^ m, on divisera le polynôme Ao,-f- Aja -K... par /(«), et en désignant par Q le quotient, par n (a) le reste qui est de degré inférieur à m, on aura

d^ailleursy (a) étant nulle, on aura simplement

où tj désigne un polynôme de degr<i m — i au plus.

183. Quoique la démonstration précédcrite ne laisse rien à désirer sous le rapport de la rigueur et de la clarté, nous en présenterons une seconde qui aura l'avantage de nous fournir un procédé plus facile pour trouver la forme entière qui convient à une fonction fractionnaire donnée.

4o6 €OUR$ D*àLOÈ9IlE SUPÉftlEURB.

Soit touiours ^7-~ la fraction donnée, a étant une racine

àef(x) = o. On peut supposer ^ (a) de degré inférieur à m, car si le contraire avait lieu, on ferait disparaître de çp (a) les puissances de a supérieures à la (m — i)^*^ par Fun des procédés indiqués précédemment.

Cela posé, opérons sur les polynômes /"( a) et «{/(a), comme s*il était question de trouver leur plus grand commun diviseur^ on aura cette suite d*égalités :

R»-» = B*-i Q» -i- Rji jr

oô R„ ne coutient plus la quantité a. Or,^ y*(a) étant nul;

on aura

R.= -Q,|,(flr),

R,=:(i-hQ,Q,)^(a),

R, zzr - (Q, -f- Q3 4- Q. Q, Q,) .Ka),

la dernière de ces égalités sera de ta forme

0(a) désignant un polynôme entier et rationnel par rapport à a, et on en tire

on a donc

Cette valeur de -—— | est entière par rapport a û, puisque Rn B« contLenI pas a, et, si elk reaferme des puissances

SECTÏOH ir. — CtiAt»ITRE I. 4<)7

cfc a supéiieiifes à la (m — i )**'"*, où pourra les faire disparaître pslt le procédé que tious avoiis indiqué au 11^ 182.

A lâ vérité, celte méthode' semble en défaut dans le cas oà les polynômes ^ [x\elf[x) ont un diviseur comfnuti; car, dans ee ea»,^ la quantité désignée par R„ est nulle, ainsi q»e Q[a\: mais alors on pourra enlever de/(ji:)^ par une simple division^ tons les factettrs linéaires qui sont dans ^ [x)^ et parmi lesquels ne se trouve pas x — «, car autrement ^ (a) serait nul. En désignant par f^ [x) le résultai ainsi obtenu, d sera r'atcinÊf de/i [x) = o, et le polynôme ^ [x) étant dès lors pi'emier avec ft(pf)j on pourra appliquer la méthode.

Il résulte de ee qui précède que la fonction rationnelle la plus ^nérale d'une racine d'une équation de degré m est une fonction entière du degré m — i , renfermant par conséquent m coefficients arbitraires.

Exemple. — Toute fonction rationnelle d!une raciiio a de Téqualion du troisième degré

x^ •+- px* -h y.r -î- r m o

peut être mise sous la forme

A -h B.1 -+- Ca^j

mais il est souvent préférable de prendre une forme fracr tionnaire dans laquelle les deux termes soient linéaires, et cela est toujours possible \ car si l'on divise l'un par Tautre les polynômes a^ -h pà^ + qa'+- r et C«*-f-Ba-t-A, dont le premier est nul, on aura un quotient et un reste du premier degré en a, d'où il résulte que la fonction A-f-Brt-hCa* peut être mise sous la forme M« 4- N

4o8 COURS D^ALGEBRE SUPÉRIEURE.