ExTEffSIOIl AUX FONCTIOUS RATIOlf If ELLES DB PLU
SIEURS RACINES D^uNE ÉQUATION. — La méthode précédeûte a surtout Tavantage de pouvoir être appliquée aux fonctions rationnelles de plusieurs racines d^une équation. On a, en effet, ce théorème :
Toute fonction rationnelle non entière de plusieurs racines d^une équation peut être remplacée par une fonction entière de^ mêmes racines.
Rien ne sera changé à nos raisonnements, si la fonction T-7— (» Que nous avons considérée, renferme d'autres
racine^ &, c, etc., de réquatîony*(x) = o, et cette fonction pourra se mettre sous la forme A(> a -f- Ai a* H-. . ., A ^ et Al étant des fonctions rationnelles de racines parmi lesquelles ne se trouve pas a^ A leur tour, on pourra rendre ees fonctions Ao, Ai, etc., entières par rapport à une autre racine &, puis par rapport à une troisième, et ainsi de suite.
MétJiode d^ élimination fondée sur la théorie des
fonctions symétriques.
185. Parmi les applications que Ton peut faire de la théorie des fonctions symétriques, on doit regarder comme Tune des plus importantes la méthode d'élimination que nous allons exposer.
Considérons deux équations, des degrés mein respectivement, contenant deux ou un plus grand nombre de irariables x^j^ etc., et entre lesquelles il s'agit d'éliminer j^. Nous supposerons ces équations complètes, et leurs coefficients entièrement indéterminés, et les ordonnant par rapport hj^ nous les représenterons par
(2) j» -4- 9,7"-' -It 72 J"-* 4-. . .-+- (/n-i J -^ qn^o.
SEGTIOIV II. — CHAPITRE I. 4^9
Les coefficients p^^ pt, eic , ^i, ç,, etc., sont des fonctions entières de x, etc.
Désignons par a, £, c,..., A, / les m racines de 1 équation (i)-, ces racines dépendent de x et des autres variables^ s^il y en a ; en les substituant à j-, dans le premier membre de Féquation (2), on aura les m résultats
A"-+- 7, ^"-' -+- y, ^«-2 -I- ... + ^^, ^ H- 7„ , (3) { ff -\- qtc^' -h «7a c«~» 4- . . . -f- 7;^, c -h q
Cela pose, si Ton forme le produit de tous ces résultats^ et que Ton désigne par V ce produit, il est facile de voir que
sera l'équation finale résultant de réliminalion de j^ entre les deux équations proposées. En effet, Téquation finale qui résulte de Télimination dey entre deux équations est simplement la condition nécessaire pour que ces deux équations aient une racine commune, et il est bien évident que la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (i) et (2) aient une racine commune est que lun des résultats (3), ou leur produit Y, soit nul.
D'ailleurs, V est une fonction symétrique et entière des racines de l'équation (i), qui contient, en outre, rationnellement les coefficients de l'équation (2); on pourra donc exprimer cette fonction rationnellement par les coefficients des équations (1) et (2).
186. La méthode précédente conduit facilement au théorème de Bezout, relatif au degré de l'équation finalç.
Nous supposerons, comme précédemment, que les deux équations (i) et (2), l'une du degré m, Taulre du degré «,
4fO COURS d'aLGÈBUE SlJPÉRIEUtifi.
soient complètes, et que leurs cwfîîcieiil» soient dan* une complète indépendance. Alars les quantités p, et^ sont des fonctions entières du premier degré par rapport aux variables ;r, etc., qui figurent dans les équations proposées 5 pareillement, ^j, q^ sont du deuxième degré, et, en général, le degré des coefficients de j dans le* équations (i) et (2) sera indiqué par leur indice. Cela posé,' je dis que :
Le degré de V équation finale qui résulte de l' élimina-^ lion d^une ^fariable y^ entre deux équations complètes dont les coefficients sont indéterminés et indépendants les uns des autres j est précisément égal au produit des degrés des deux équations.
Considérons, en effet, un terme quekonque du produit des expressions (3), par exemple
ce terme se trouvera dans V, ainsi que la fonction synic- Irique dont il fait partie. V est donc la somme d'expressions de la forme
en observant qu'il faut remplacer çr^ ^ par i, si a = ^'1 et de même pour les autres. Or,, d'après ce qui a élé dit plus haut, le facteur ^«^aîn — 6* ••în— ;i est du degré {n — a)'h(n — ê) -H. ..-!-(« — i) ou mn — (a -f-o -+-... 4-i) par rapport aux variables a:, etc.; si donc nous faisoBS
voir que le second facteur^ a°^Z)^ , , .1^ est, par rap|)ort
à ces mêmes variables x^ etc., du degré a 4- S +. . . -f-^» il s'ensuivra que le terme de V que nous considérons est du degré nm, et que V est lui-mcjne de ce degré. Les
9ECTIOM II. — CHAPITRE I. 4^^
coefGcients Pi^pt^ etc., de réquation (i) étant, par rapport à x^ etc., d'un degré égal à leur indice, il en sera de même des somnoies de puissances semblables ^i, is» etc., de ses racines; cela résulte immédiatement des formules de Newton. Ainsi, le degré d'une fonction symétrique ûmple telle que s^ est le même', soit que Ton considère s^
comme fonction de a, 6, etc., soit qu'on la considère comme fonction de a:, etc. Enfin, ^^a^i^. . .i' peut
s'exprimer en fonction des sommes 5^ par une formule
entière qui est du degré a -h ê -f-. . .-f- X par rapport aux racines a, &, elc, et qui est, par conséquent, aussi du même degré par rapport à jr, elc. Le tbéorème est donc démontré.
Nous avons admis comme évident que les termes de degré m/z, qui se trouvent dans V, ne peuvent se détruire, tant qu'on laisse indéterminés les coefficients des équations (i) et (2). On peut, au surplus, mettre ce fait hors de doute en' se référant, comme nous l'avons fait au n** 71 , au cas particulier de deux équations dont les premiers membres sont décomposables en faciears linéaires.
187. Si les coeflScients des équations (i) et (a) ont des valeurs déterminées, on pourra toujours leur appliquer fe raisonnement du n® 185, pourvu que ces équations contiennent la plus haute puissance de Tirtconnue qu'on élimine. On est ainsi conduit à la proposition suivante^ qui est générale :
Le degré de Véquation finale résultant de V élimina' tion d^unc inconnue entre deux équations qui en con^ tiennent plusieurs est au plus égal au produit des r/cgrés de ces équations.
Ce dernier théorème subsiste lors même que h^s équa-
4l2 G0TJI13 d'algèbre SUPÉRIEURE.
lions proposées manquent de la plus haute puissance de Tinconnue qu^on élimine.
Soient, en e(Tet, deux équations entre deux variables x et jy ayant respectivement mei n pour degrés et manquant du terme le plus élevé en y. En considérant x etj comme des coordonnées rectilignes, ces deux équations appartiendront à deux courbes, et le degré de Téquation finale résultant de Télimination àe y sera égal au nombre des points d'intersection réels ou imaginaires de ces courbes. Par conséquent, ce nombre ne changera évidemment pas, si Ton rapporte les deux courbes à d'antres axes de coordonnées •, mais alors les nouvelles équations de ces deux courbes se déduisent des anciennes, en remplaçante: et j par des fonctions linéaires aX'\-hy^ al X -H hfy^ et elles contiendront évidemment, l'une un terme en j-'", l'autre un terme en j^", à cause derindétermination de h et V\ le degré de Téquation finale en a: résultant de l'élimination de y entre ces nouvelles équations sera donc au plus égal à nin : par suite, le nombre des points d'intersection des deux courbes ne pourra surpasser m«, et il en sera de même du degré deFéqualion finale qui résulterait de l'élimination de y entre les deux proposées.
La même démonstration s'applique au cas où les deux équations proposées contiennent, outre x et y^ d'autres variables u, z, . • • • En effet, si l'on pose
et que l'on considère /r, ^, etc., comme des paramètres, le raisonnement précédent s'appliquera aux deux équations proposées qui ne renferment plus que x et y» Par où l'on voit que l'équation finale en x, «, i/, etc., résultant de l'élimination de 7, sera au plus du degré mn, si l'on y remplace z, u^ etc., par Ao:, Ji Xy etc., et cela, quels que
soient AT, k'^ etc.-, mais cette substitution ne' change évidemment pas son degré, lequel ne pourra donc, en aucun cas, surpasser nin.
On verra plus loin qu'on peut fixer avec précision, dans chaque cas particulier, le degré de l'équation finale qui résulte de Féliraination d'i;Lne inconnue entre deux équations données.
188. Quand on opère 1 élimination dans le but d'obtenir les systèmes de solutions de deux équations à deux inconnues, il faut déterminer en outre les valeurs de l'inconnue éliminée qui répondent à chaque racine de Péquation finale; on a vu au ii° 73 comment on doit diriger le calcul pour remplir cet objet. Au reste, comme l'équation finale en x exprime que les équations proposées ont une racine eOmmunej^, on peut déterminer celle-ci par le procédé suivant qu'Abel a fait connaître dans le tome XVII des Annales de Mathématiques de Gergonne.
Soient les deux équations
qui ont une racine commune y^ , mais qui n'ont que cette seule racine commune, et proposons-nous de la calculer. Désignons par j^i , j^,, . . . , y„ les /i racines de l'équation (2), et portons-les dans le premier membre de l'équation (i) f{y) \ on aura ces n résultats
dont le premier est nul. Faisons ensuite les produits n — I à/î — I de ces n quantités, et désignons généralement par R celui de ces produits qui ne contient pas le
facteur fi^j ) 5 les quantités
**»> Rj» «$> • • • > R«
4l4 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
seront toutes nulles, à Texception de la première. Ces quantités sont exprimables rationnellement, la première en fonction de j^i, la seconde en fonction de yti etc., la dernière en fonction de Vn \ ^^ effet, B est une fonction
symétrique des quantités j^i , j^i, . . . , y^^ excepté j ,
c'est-à-dire une fonction symétrique des racines de l'équation
ou
■ Il — ^s
R pourra donc s'exprimer sous forme rationnelle et entière en fonction de y et des quantités connues qui entrent dans les équations (i) et (2), de la manière suivante :
p«-+-p.ru-^-ptJ^L'+-----Hp/»rl
En outre, par l'un des procédés indiqués aux n®' Iffî et 183, on pourra chasser de l'expression de B tootes
les puissances de r supérieures à la (/i — i)'*"*', en sorte
que la valeur de R aura finalement cette forme :
(3) R^^po-f-p.r^-+-p,r;^-i-...-+-p^.j;^
On voit que Téquation
a les n — i racines yi , j^s , . . . , j^„ ^ on a donc
on a d'ailleurs
^a "^ ^3 "+■••• "f" jTii — \
ri -+-7a-+-r3-+-. . .4- j„ = — 7
et, par la soustraction, on obtient la valeur demandée de ji , savoir :
Pn-I
Xi — - l^
Pn-i
On voit qu'il suffit, pour avoir j-j, de calculer dans R les coefficients de r"~' et de r
Théorème de Lagrange sur les conditions nécessaires pour que deux équations aient plusieurs racines communes^
489, C'est ici l'occasion de mentionner un beau ibéorème que Lagrange a déraontré^dans son célèbre Mémoire inséré parmi ceux de l'Académie de Berlin pour 1770 et 1771, et qui est relatif aux conditions nécessaires pour que deux équations aient plusieurs racines communes.
L'objet de ce théorème est de faire connaître les conditions pour que deux équations algébriques aient deux, trois, etc., racines communes, quand on connaît la condition pour qu'elles en aient une. Voici en quoi il consiste.
Théouème. — Si V = o exprime la condition pour que deux équations algébriques
(1) f[x) =r.r™-4-/?.^-'-|-/;>2^'^*-*-...-f-/7«,-,a--+-/?«,=rO,
(2) ■F(x) z=zx^ -\- q^af-^ -h 7aX"-* +.:.-{- qn-xX -^ q,^=io
aient une racine commune y V étant une Jonction e«tière des coefficients pi^ p^,. . ., ^, , ^j,. , , », et que
Von désigne par D^,^V, D^ V les dérivées d'ordre (i ei
d'ordre v du polynôme V, prises la première par rapport à p„j, et la deuxième par rapport à q„^ les con^ ditions nécessaires pour deux racines communes seront
V=:o et Dp V = o,
4i6 COURS d'algèbre supérieure.
ou bien
V = o et D« V = o ;
pareillement y les conditions nécessaires pour trois racines communes seront
V=:o, D« V = o, Dp V = o,
ou bien
\ = o, D-V=ro, DiV^o,
et ainsi de suite ,• en sorte quon jormera les conditions nécessaires pour i». racines communes, en joignant à Véquation V = o nécessaire pour une seule racine commune les [K — I équations obtenues en égalant à zéro les yi — I premières dérii^ées du polynôme V, prises par rapport au dernier terme de Tune des deux équations proposées.
Tel est renoncé que Lagrange a donné de son théorème; maïs il est nécessaire d'ajouter quelques mots sur la manière dont cet énoncé doit être entendu. Ainsi les équations
V = 0, Pp V = Oy Dp V=:0,..., Dp'^^rzO n* m m
expriment simplement les conditions nécessaires elsalSsantes pour que^ racines de l'équation (2) satisfassenl à l'équation (i), en sorte que si l'équation (2) a des racines égales, il sera possible de satisfaire aux /ut équations de condition écrites plus haut, sans que les premiers membres des équations (i) et ( a) aient un diviseur commun do degré jix, ce qui serait la conditiou nécessaire pour que les équations (i) et (2) eussent réellement |u. racines communes. Pareillement les équa lions
expriment les conditions nécessaires pour que ft racines de Téquation (i) satisfassent à Téquation (a), en sorte que si Téquation (i) a des racines multiples, on pourra satis-* faire aux équations de condition précédentes, sans que les équations (i) et (2) aient réellemeat ^ racines communes.
Il faut remarquer, en outre, que le dernier ferma p^ ou ^„, par rapport auxquel sont prises les dérivées de V, doit être considéré comme un paramètre indéterminé dont tous les autres coefficients sont indépendants*
Gela posé^ passons â la démonstration du théorème. Soient a, 2», c, . . • , A, / les n racines de Téquation (2)^ et posons
V est une fonction symétrique des racines de Fëqua* tion (a), dans laquelle les coefficients sont des fondions entières des coefficients de Téquation ^1)^ on pourra donc 1 exprimer par une fonction entièi'e des coefficients des équations (1) et (2).
Les racines a, £, c,..., /r, l étant indépeudanics die p-^^ les quantités f[a)^ ^ (^l? • • • ^ f{^) sont des fonctions linéaires de /?,« et leurs dérivées sont toutes égaler k r uni té; donc D^ V est égale à la somme des pioduiis
m — I km — I des quantités
^ /(«), f[b)>"2 /{^u fini
pareillement D^ V est égale â la somme des produits
ffi — 2 à m — 2 des mêmes quantités^ et géncralcmeiii -. DJ, V est égale à la somme de leurs produits va — i
Par conséquent, Téqualiou qui a poui* racines k*s n
4l8 COURS d'algIiBRÏ 5tJ^ÉRtKtJt\%.
qaailhléd est
Or, pour qde ^ rdti«i«ft de ré|uatton :(2) satisfasi^Di à Tëquatiob (i)*, il JPatlt et il 6U(Bt ^ne IN^uatmn en X ait fj. rsLVÀne^ nulles, cVst-à-Kiire XjUfe l'on ait
fi m m
Vr=o, D^.V=ro, D^ V = o>.v., D^ 'v = o,
ce qui démontre le tiiéorènié énoncé.
La démonstralioB qui précède est plue claire et plus précise que celle (Jui a été donnée par Lagrange* II semble ciSectivement au premier abords par le raisonnement de Tauteur, qu'il soit permis, dans renoncé du théorème, de substituer aux dérivées de V, prisée par rapport au dernier tenue de Tune d^s équations proposées, les dérirées prises par rapport à uu coefficient quelconque, on même par rapport à un paramètre doht Un cm plusieurs de ces coefficients seraient fonctions. Mais il est aisé de voir qu'on obtiendrait de cette manière des équations de condition trop générales.
Par exemple, p^-i étant le coefficient de x* dans/(x),
et tous lés autres (ïoefficfents élatit inc^é^peudahrs de p^.,,
les équations
peuvent avoir Keu, quoique les équations (i) et (^) n'aient qu'une seule racine commune. En effet,/ (a),y*(i),. .m /(/) sont des fonctions linéaires de p;„, et leurs dt»Hvées
par rapport à p^^i ont respeclivement pour valimis U\ i*,.'> ''> donC) à cause de
oa aura
U est évident) d'après cela, que les équations de condi'
tioa
seront vérifiées si chacune des équations proposées a une racine nulle.
ExEMt>LE. -^ Appliquons le théorème de Lagrange aux deux équationrs
x^ -h /?, a:* -{- yp, JT -f- /73 = O, jc'-+- 9,vr -h ^4=0.
En appelant d et & les racines de la seconde équation, on a
— qxqxPxP-i-^ (ql — ^qt)PiPr^-^qipl— q^P^Pi-^pl, et
La tonditron, pour que les équations proposées aient tme racine commune, est V = o*, par suite, les condhious pour deux racines communes seront
V=:o, D^V = o* En éliminant pt entre celles-ci, il vient
t;ette dernière se décompose en deux auires. SLl'onpreîjd
on exprimera que les deux racines de Téquation du second degré sont égales entre elles, et ces racines satisferont à l'équation du troisième degré en vertu 4e la condition V = o. Si Ton prend, au contraire,
Téquation D^ V = o se réduit à
Les deux équations précédentes expriment les condilions nécessaires et suffisantes pour que la première des équations proposées soit divisible par la seconde.
Méthode de Tschirnaûs, pour faire disparaître autant de termes que Von veut d^une équation*
190. On peut rattacher à la théorie qui nous occupe la méthode élégante que Tschirnaûs a donnée dans les Jetés de Leipsick pour i683, et qui sert à faire disparaître d'une équation autant de termes que Ton veut. Cette méthode consiste à transformer l'équation proposée en une autre dont la racine soit une fonction rationnelle de celle de la proposée, ou, si Ton veut, une fonction entière de degré inférieur à celui de l'équation proposée, car c'est à cette forme (n° 182) que peut se ramener la fonction rationnelle la plus générale.
Soit
(i) x^-^- p.af'-' -{- p^af"-^ -h. » :-\- pnt-iJo -{-/?„, r=>o une équation du degré m, et posons (2) jr := a^ -h «, X -h a-i .r'^ -f- . . . -f- «„, a:*"' -♦- «« x", rtfo, «1, etc., désignant des indéterminées, n un entier
SBCTIO» II. — CHAPITÎVE I* 4^^
inférieur à nii L'équation finale eu j^ qui résulte de l'éli-' miuation de x entre les équations (i) et (2), sera évidemment du degré w, puisque jjr a[ autant de valeurs que x. Celte élimination peut se faire par les fonctions sj^métiriques, de la manière suivante : en élevant l'équation (2) aux dilTérentes puissances 2, 3,. . ., m, et en ayant soin de rabaisser les exposants de x au-dessous de m, à l'aide de Téquation (1), on obtiendra uue suite d'équations de la forme
Jo, i,, etc., sont des fonctions homogènes et entières du deuxième degré des indéterminées «o, a^^ etc. 5 pareille-* ment c^, Cj, etc., sont des fonctions homogènes et entières du troisième degré de «o, «i, etc., et ainsi d,e suite* Si, maintenant, 5i, 5,, etc., désignent les sommes de puissances semblables des racines de l'équation (i)-, 81,82, etc., celles des puissances semblables des racines de l'équation enj, les équations (2) et (3) donneront
!' Si = tna^ -f- a, .î, -4- «2 .Çj -i- . . . -h flr„i J„i H- <7„ f„ , Sa =r /« V-+- Ai ^1 -h ij *2 -f- -+- ^m-i ^m-i ,
Connaissant ainsi les sommes de puissances semblables des racines de l'équation en y, on pourra former cette équation.
On peut y arriver encore de la manière suivante. On résoudra les équations (3) par rapport aux puissances Jî*, x',,.., x*^'*, et l'on portera leurs valeurs dans ré-* quation (2). Ce procédé a l'avantage de dojiner la valeur
4 3^ COURS d'ALCÈBRE SUPÉRieURIB.
de X exprimée ratîonneUement en j", 6n sorte qu'on connaitra chaque racine de Tëqnalion proposée, quand ob aura résolu Féquation finale enj^.
Représentons par
cette équation en j^, où ^i, ^i,..., ^^ sont fonctions entières des indéterminées a^^ ai, etc., ot qui exprime)» condition pour que ks équations (i) et (2) aient une racine commune. Je dis que de cette seule équation (5) on peut déduire la valeur de x qui correspond, à chaque valenr de^, et même la valeur d'une puissance quelconque dex. En effet, désignous par Y ce que devient le second membre de la formule (a) quand on y remplace le coefficient a
par a -h /i, et soit
(6) y-hQ.Y— '-4^Q,Y— ^^-. ..^-Q^iY-*- Qu = o
Tëquation de laquelle dépend Y. Chaque coefficient Q^ est une fonction entière de a -i-hy et si on rordonne
suivant les puissances de h^ on aura évidemment
l*- 1.2, '*fji.
D^ 9tf> D^ ^,,... représen la rtt les dérivées successives du polynôme Çi par rapport à ai on a d'ailleurs
Y = ^ + kxf".
Si 1 on porte ces valeurs dans Téquation (6), celle-ci deviendra identique, quel que soit A, quand on attribuera à a: et à j' leurs valeurs simultanées; en conséquence^ les coefficients des diverses puissances de h doivent être nuls. En égalant à zéro la partie indépendante de A, on retrouve réqualion (5), et si Ton égale è zéro Irscooffi-
SECTfO> II. — GHAPtTUl^ I. 4^?
cîeiils dt; ]a. première puissance de b^ il viendra «»l, par siiite.
jr/*
on aura, en particulier,
__ Da,(r'" + yir"^' -h ... -4- y,»-.r -^ y^)
On voit donc qu'il suffira de résoudre l'équation (5) pour avoir résolu par cela même Téquation (i).
Cela posé, on peul disposer des indéterminées a^^ «1, etc., de manière à faire évanouir n termes de l'équation en y\ par exemple, si l'on veut faire disparaître les n termes qui suivent le premier, il 8uffips| de poser
Oj ^nr O y oj — O , • . • ^ Oj^ — O.
Or, en se reportant aux équations (4), on voit que S, est du premier degré par rapport à a©, «i, etc., que Sj est du deuxième degré, Ss du troisième, etc,, S^ du w'^'"'. Donc, d'après le théorème de Bezout (n** 70), la détermination de ces indéterminées, dont l'une peut être prise ^p^itr^^ren^enty dépeiwi d'une équatiofi du degré
et, si To^i voulait faire diaparaitre de l'équation (5) tous les termes, à l'exceptiqu du premier et du dernier, le problème dépendrait d'unp équation du degré
